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第一章復數與復變函數一.復數定義,代數運算,幾何表示二.復變函數定義，簡單性質第1頁第一節復數及其代數運算本節給出復數概念，它幾何表示，以及對應運算。第2頁1.復數概念例:錯誤!兩個復數相等它們實部和虛部對應相等(imaginarypart)(realpart)第3頁為何討論復數？第4頁求解二次方程解表示式這正是卡丹諾所考慮負數平方根。但卡丹諾當初摒棄了這種解，說它是“沒有用處”。并不是卡丹諾缺乏繼續追究這件事所需想象力，而是他很有理由不去這么做。第5頁能夠看成是求拋物線與直線交點。在情況下，問題確實有解；從代數上說，在情況下，問題顯然沒有解；從代數上說，解式中出現了“不可能”數正確地宣示了解不存在。二次方程第6頁并不是二次方程迫使我們嚴厲地考慮復數。而是三次方程迫使人們這么做。卡丹諾在《大術》一書中，給出了解表示式這個方程代表求一個三次曲線與直線交點。第7頁在這個公式出現大約30年后，龐貝利發覺它有一些奇怪悖論式地方。所以，我們就有必要去考慮復數（或者復數相關運算）!例：解為但此時，三次曲線與直線是相交！交點：第8頁（1）點表示一一對應一一對應一一對應2.復數在平面上幾何表示第9頁第10頁復數模:性質:第11頁第12頁復數輻角:(argument:輻角,變元)第13頁輻角主值:注:第14頁第15頁2-2例:O第16頁-11O第17頁第18頁例:解:三角表示式:指數表示式:第19頁3.復數運算設,定義運算以下:加法:減法:乘法:除法:第20頁共軛運算:性質:(2)(3)第21頁設求解:第22頁預備知識：復數乘冪第23頁兩個復數乘法:結論：

注:等式(2)了解－－所表示輻角全體或輻角集合相同，即左端集合中一個元素總可在右端集合中找到，反之亦成立。第24頁復數乘積指數形式：運算規則與實數完全一致！第25頁逆時針方向旋轉角度--向量旋轉，伸縮第26頁例1:已知正三角形兩個頂點為求它另一個頂點.解:可經過將向量逆時針旋轉角度，伸長到1倍得到。第27頁類似地，第28頁類似地,可分析兩個復數除法運算:結論：第29頁注:兩個復數乘法特殊情況：棣莫弗公式應用？第30頁解:第31頁復數方根(乘冪逆運算)第32頁第33頁注:結論：第34頁解:因為所以第35頁即四個根是內接于中心在原點,半徑為21/8圓正方形四個頂點.第36頁解:移項,得因為所以,第37頁4.復球面及無窮大

對復平面內任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外全部點和復平面上全部點有一一對應關系.

N點對應點可代表無窮遠點,記作

.這么球面稱作復球面.第38頁擴充復平面---復平面引進一個“理想點”:無窮遠點

∞.約定:無窮遠點∞:無限遠離原點全部點注：區分于實數域中正無窮，負無窮。第39頁小結2.熟練掌握:復數幾個代數表示形式間相互轉化.3.熟練掌握:計算復數模,輻角,輻角主值.4.了解：無窮遠點(

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