機(jī)密★啟用前三湘名校教育聯(lián)盟五市十校教研教改共同體屆高三2月入學(xué)大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)．全卷滿分分，考試時(shí)間分鐘．注意事項(xiàng)：．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上．．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，若，則A．B．C．D．2．的虛部為A．B．C．D．3．已知函數(shù)，則A．B．1C．D．4．已知非零向量滿足，且，則A．B．C．1D．5．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則A．1B．2C．2025D．20226．已知，則A．1B．C．D．27．已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切，若圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6，下底面半徑是上底面半徑的2倍，則球的表面積為A．B．C．D．8中，分別為橢圓作軸的垂線交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為A．7或10B．6C．7或9D．10二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分．9．已知函數(shù)，則A．的最小值為B．的最小正周期為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象10．設(shè)，則使得“”成立的一個(gè)充分不必要條件是A．B．C．D．．已知等比數(shù)列的公比，當(dāng)取得最小值時(shí)，下列說法正確的是A．B．不為整數(shù)C．中有且僅有一項(xiàng)為奇數(shù)D．中的所有整數(shù)之和三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12．某高三年級(jí)組采用隨機(jī)抽樣的方式抽取了20名學(xué)生在某次數(shù)學(xué)周測(cè)中解答填空壓軸題的時(shí)間記錄如下表：解答時(shí)間/分鐘頻數(shù)2882根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)這20名學(xué)生解答時(shí)間的平均值為_________，中位數(shù)為_________．13為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心，1為半徑作得圓作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形MANB周長(zhǎng)的最小值是________．14．若，則________．四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．1513分）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．1615分）如圖四棱錐中，平面，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．1715的離心率為的實(shí)軸長(zhǎng)為4．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的上焦點(diǎn)為，過第一象限上一點(diǎn)分別作直線與的垂線，垂足分別為點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為8時(shí)，求的值．1817分）已知函數(shù)．（1）若，且與在切點(diǎn)處的切線相同，求的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，探究與在這兩個(gè)交點(diǎn)處是否各存在一條與兩函數(shù)圖象相切的公切線？若存在，求出一組滿足題意的的值；若不存在，給出證明．1917為其分布列與未知參數(shù)有關(guān)的離散型隨機(jī)變量，其中的取值范圍為．若對(duì)已知結(jié)果，有為在下的一個(gè)極大似然估計(jì)．（1i）若服從二項(xiàng)分布，求在下的極大似然估計(jì)；（ii）若服從二項(xiàng)分布，求在下的極大似然估計(jì)．（2）若某臺(tái)抽獎(jiǎng)機(jī)上有一個(gè)按鈕，參與者需要連續(xù)快速點(diǎn)擊按鈕來累積積分換取獎(jiǎng)品．已知每次點(diǎn)擊按鈕后，獲得1積分的概率為，不獲得積分的概率為．小麗參加這個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)后總共獲得了積分，用極大似然估計(jì)的方法估計(jì)她點(diǎn)擊按鈕的總次數(shù)的取值為，證明：，并指出等號(hào)成立的條件．三湘名校教育聯(lián)盟五市十校教研教改共同體屆高三2月入學(xué)大聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1D【解析】由可知，當(dāng)時(shí)，，解得或，即．故，故選D．2A【解析】，其虛部為，故選A．3B【解析】易得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故選B．4B【解析】由兩邊平方得，整理得，所以，所以，故選B．5A【解析】易知，故，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，故為常數(shù)列，則，故，故選A．6C【解析】由，可得，即，即有，解得，故，故選C．7D的中點(diǎn)為，易知，由過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)相等得，而，故可知，故，即，故球的表面積，故選D．8D【解析】由題意可知，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，中，，在中，以，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，故選D．9BC【解析】，最小值為－2，故A錯(cuò)誤；由最小正周期，可知B正確；因?yàn)?，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故D錯(cuò)誤，故選BC．10【答案】BCD【解析】由題意可得，易知函數(shù)單調(diào)遞增，故，對(duì)于A，，故“”是“”的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，由可得，故C于D，或，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確，故選BCD．BCD【解析】由題意可得，要使取得最小值，則函數(shù)要取得最小值，這等價(jià)于函數(shù)取得最小值，易得，因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，時(shí)，取得最小值，故A錯(cuò)誤；不為整數(shù)，故B正確；由于，若為4的倍數(shù)，則為整數(shù)；若不為4的倍數(shù)，則不為整數(shù)，且均不為整數(shù)，將代入，解得，則均不為整數(shù)，所以中有且僅有一項(xiàng)為奇數(shù)，中的所有整數(shù)之和，故CD正確，故選BCD．12【答案】10，10（第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分）【解析】．因?yàn)榻獯饡r(shí)間位于區(qū)間的頻率為，所以解答時(shí)間的中位數(shù)為10．故答案為10，10．13【解析】易得，其中．設(shè)點(diǎn)，則，故，于是四邊形周長(zhǎng)的最小值是．故答案為．147【解析】等式兩邊求導(dǎo)可得，代入，有，故，故答案為－7．151）由已知得，由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)椋裕?）外接圓半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則．故外接圓面積的最小值為．161）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，則，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）因?yàn)?，所以，易知四邊形為矩形，所以，又，所以，所以為等腰直角三角形，其斜邊上的高為．以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則取，可得．設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．171）由的實(shí)軸長(zhǎng)為4，得，由，得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離，同理點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)橹本€與互相垂直，所以四邊形為矩形，其面積為，由點(diǎn)在上，得，所以，所以，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，代入的方程得，所以，又，所以直線的方程為，與聯(lián)立消整理得，由，得，由平面幾何知識(shí)可得．181）易得，則，，，解得．（2）由題意可得，則，故在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（3）法一：由題意可轉(zhuǎn)化為兩次與軸相切．，可轉(zhuǎn)化為存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，設(shè)，其中，顯然，則在區(qū)間和上為正，在區(qū)間上為負(fù)，若，則；若，則不可能與軸相切兩次，故不存在．法二：假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)分別為，不妨，則，即，則，則關(guān)于的二次方程有兩相異實(shí)根，故，同時(shí)，顯然，而相減得，整理得，故，先證，即證，令，設(shè)函數(shù)，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，原不等式成立，則，兩邊平方得，由于，故，得與，矛盾，故不存在．191i）由題意可得，故當(dāng)時(shí)取最大值，其極大似然估計(jì)為．（ii）由題得，且，，令，則，其中．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，故在或有最大值，則在下的極大