六年級數學奧數基礎教程目30講全+奧數測試題及答案匯集

小學奧數基礎教程（六年級）

第1講比較分數的大小第2講巧求分數

第3講分數運算的技巧第4講循環小數與分數

第5講工程問題（一）第6講工程問題（二）

第7講巧用單位“1”第8講比和比例

第9講百分數第10講商業中的數學

第11講圓與扇形第12講圓柱與圓錐

第13講立體圖形（一）第14講立體圖形（二）

第15講棋盤的覆蓋第16講找規律

第17講操作問題第18講取整計算

第19講近似值與估算第20講數值代入法

第21講枚舉法第22講列表法

第23講圖解法第24講時鐘問題

第25講時間問題第26講牛吃草問題

第27講運籌學初步（一）第28講運籌學初步（二）

第29講運籌學初步（三）第30講趣題巧解

第一講比較分數的大小

同學們從一開始接觸數學，就有比較數的大小問題。比較整數、小數的大小的方法比較簡單，而比較

分數的大小就不那么簡單了，因此也就產生了多種多樣的方法。

對于兩個不同的分數，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大

小的方法是：

分母相同的兩個分數，分子大的那個分數比較大；

分子相同的兩個分數，分母大的那個分數比較小。

第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第

一種情況，再比較大小。

由于要比較的分數千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外兒種方法。

1.“通分子”。

當兩個已知分數的分母的最小公倍數比較大，而分子的最小公倍數比較小時，可以把它們化成同分子的分

數，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。

腳的:分腳小公牒三速,好的易松麟是60,出

口幃也翩色>色所以E>口。

1785'2288'因8588,"U22

如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。

2.化為小數。

有啾已知分懶為小解酬戢大九植分等方祛更筒鼠

213213)13

?吟一看歉道我66…，^=0.65,所以含

J乙Uj4VJwv

這種方法對任意的分數都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。

3.先約分，后比較。

有時已知分數不是最簡分數，可以先約分。

腳票與票，的分翩個分燔吟,所此們是相等的。

OJOJOJOJOJOJ

4.根據倒數比較大小。

對于分數m枷，如果'<1,那么m>n。

mn

；19亡20211/120七“20、19

例SIA如n,而與討因為獷5<1行?討所叼》討

5.若兩個真分數的分母與分子的差相等、則分母(子)大的分數較大；若兩個假分數的分子與分母的

差相等，則分母(子)小的分數較大。也就是說，

如果a>b,k>0,那么學

如果aVb,k>0,那么2>豆牛。

aa+k

例如W因為9-7=13-11,所以,>%又如，段與苴荒，因

嚙=罌5?0-1110=5541-1111,所以黑啜.

類微,囑與號因為9-8=12-11,所以》等

6.借助第三個數進行比較。有以下幾種情況：

(1)對于分數m和n,若m>k,k>n,則m>n。

例如,部因為所*4。遵借助于;。

111V114乙1J111乙

w品23匚22田+23\2323.2223.11

又如可為,因為獷亓廣彳所6F以;N獷費

(2)對于分數m和n,若m-k>n-k,則m>n。

例如m:翳，.黑，兩個分數都比;略大，于是可以借助

斗

184184

m-=----n—=----

3654321'3456789

前一個差比較小，所以mVn。

（3）對于分數田和n,若k-mVk-n,則m>n。

物綽肺也3"22>2折射>￡

網島7瞅19191717'191；'叫17

避僦孔

注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數k小于原來的兩個分數m和n；（3）中借助的數k大

于原來的兩個分數m和n。

（4）把兩個已知分數的分母、分子分別相加，得到一個新分數。新分數一定介于兩個已知分數之間,

即比其中一個分數大，比另一個分數小。

例如2與1，新分數空=9,

J

17叫7初刀打3+7103107

利用這一點，當兩個已知分數不容易比較大小，新分數與其中一個已知分數容易比較大小時，就可以

借助于這個新分數。

腳:旃翻峨新通震，-看歉靛等于歷小吩,用髀-醴X，J*,標4

11J*II'/Zfav?UVII11WV，11Z

比較分數大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發現總結，但無論哪種方法，均來源于：“分

母相同，分子大的分數大：分子相同，分母小的分數大”這一基本方法。

練習1

1.比較下列各組分數的大小：34..3236,.1715

（1）萬于⑵而為⑶69167

,、的6661,、117207,八103217

⑷而，麗；⑸標，而；⑹而，湎°

2.將下列各組分數用”連接起來：

AA2.

B19，23，19113，

小、18414751

⑵布，nT*129*139°

答案與提示練習1

?人,3、4心、32、36,.17.15

1.⑴ii>@⑵妖）方⑶破

3661,6661，117.207小103,2"

“碗’麗；5448>8085⑹而〈閑

》.八6,6/7,7

1（1）S<i9<19<13

小、47/51/18/41

、,12913949111

第二講巧求分數

我們經常會遇到一些分數的分子、分母發生變化的題R,例如分子或分母加、減某數，或分子與分母

同時加、減某數，或分子、分母分別加、減不同的數，得到一個新分數，求加、減的數，或求原來的分數。

這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。例有一個微分孤躺簡5短軒檄瞪跳1；,m數。

63

分折：:比原分數多3個分數單位，:比原分數少3個分數單機所以

05

人;的和正好題分數的他即原分數是的平蝴。

0565

睇（混尸2=/

伽有一個分配它那濕加,可列簡為;;分琳1

GJ

這愣蠅緲?

分析：若把這個分數的分子、分母調換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1,這樣就可

以用例1求平均數的方法求出分子、分與調換位置后的分數，再求倒數即可.

解：（,+6+2=（，/的倒數是:

佛有一個分數,分子加上2幫情忌，分丑蛀何藥筒為;,來這

o2

個分數。

分析與解：因為加上和減去的數不同，所以不能用求平均數的方法求解。

；蝴費多2悌嬋機嬸蝴情雌螂同腦2+

的頒靴,卻赫跪慨加怫i靴,

（|一當+（2+1）?A"擊

這個分數為|5-（1x2=署131或1*13例4一個分數,它的分胤吐3財分心7前分嬲去2可約分明0

,這個分數是多少？

分析與解：如果把這個分數的分子與分母調換位置，問題就變為：

一個分數,它的分子加上3可的分為，7，它的分子減去河的分為?，，這個分數是多少？

Jfal

于是與例3類似，可以求出

7351

（弓一/（3+2）二十5二

■匚或上工X2?U

366八266

原分數=lg=*

011

在例1?例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？

為？數。

例滁畔的分竊投分聊h則分螭分后勤,拓然a

435

分析與解：分子減去a,分母加上a,（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與

分母之和變為3+5=8,所以分子、分母約掉3X92145-43=2。

的因子尚2+8=9,甥浦的分數是為,王出喊出點29-27=2次

佛分效等44的分句吩琨僦去同一個自然數,新曲分轆分石是2京求這個自然數

07/

同一個自然數，得到的新分數如果不約分，那么差還

分析與熊分數434的分子與分母的差是取44=45,分子利浦都減去

07

是45,新分數約分后變

2

吟分子與分母的差變詢?2=5,由45+5=咖,分子與分卑僻了9,

哪詢必等$所以好分母同怫的姓896:26或

I/xyoj

44-18=26.

例7一個分數的分子與分母之和是23,分母增加19后得到一個新分數,

把這個分數化為最簡分數是最求原來的分數。

牖揶新分數分刊相的和是23+19=42,化爆筒分數,

分子與分母的和是1+5=6,是由新分數的分子、分母同時除以42+6=7得到

1X7777

的，所幽分數是g=募，原分數是一=之

例g常孩的分子加上10.要使分數的大小不變，分母應加多少？

0

分析與解：分子加10,等于分子增加了104-5=2（倍），為保持分數的大小不變，分母也應增加相同的倍

數，所以分母應加。

8X2=16例潞24堂分母觸10,要使分數的大林變,分例去多仍

0

分析與解分母減去10,等于分號減少了原耒的1。+25彳，刈呆持分

在例8中，分母應加的數是

8X(10+5)=10X(8+5)=10^|

o

在例9中，分子應加的數是

24

24X(10+25)=10X(24+25)=10X—0

由此，我們得到解答例8、例9這類分數問題的公式：

分子應加（減）的數二分母所加（減）的數X原分數；

分母應加（減）的數=分子所加（減）的數+原分數。

伽有一懶,蹶那可囑簡媼它的冊就可嬲

4

獻;,救忸瓢

W

分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數，可以說是這類題中最難的，我們用設未知數列方程

的方法解答。

魁緝知分子般由“好貼可防帽解”，帶份峽（升5）

觸吩球瓶可照簡為;”，的份*為2x+2,fi罄肪也

3

2x+2=（x+5）+-,

（2x+2）X3=（x+5）X4,

6x+6=4x+20,

2x=14,

x=7?

分母是2x+2=16,所求分數是

1o

練習2

1有一情教,分前酮簡吊,分竊網筒城癱個分數。2有一忸就分項胴蛔欹;,猾拗瞄簡自市川檄

UJJM

3-W，粕加上2昭嫡號3,分刊底1昭惆舌,2這個分數

夥少？

4一個分數,軸I上河的簡為分母弒去2可的簡為;,這個分數

是多少？

?h,新舲徽痂舒;,脂熟

瓢

6解施熊鼬吐同一怕翻嬲耦能軒）求

0/10

新酷就

卜個觥旖姍13,分湖俯嘟為;,林掰溯8.梏曲分子蛤，要使分數瞅小保持不變,分母應減去刎

9.一1的分母加上9,要使分數加小保持不變,分子應加上幾?

XW

1噴一情乳電的分布去2可的簡*,胡)分母加上何的簡定，

W?

利悌t

答案與提示練習2

,5曲/1、仁5

1.—。解：(―+T)2=—。

12'2S12

2^52772

叼。解：(彳+彳)+2=71+二］。

3-c解：(---)*(2+1)=-,-+-=-o

15聽,55，')1551515

/2袒35...131171712

4.-0IB：(---).(1+2)=-,丁總卷11r1r

5.5o解：(53+79)+(4+7)=12,a=53-4X12=5。

6.13o解：(67-22)4-(16-7)=5,7X5-22=13。

5初/、/\2X2+15

?.常斛03+1)*(9-2)=2,方廠市。

885。解：3+*8.5。

93.75。解：9X^=3-必

_????)J??/'??/'r?

解：設分子為X,根據分母可列方程

(x-2)X2=x+■1-1。解得x=15,分母為(x.2)X2=260所求分數是

y26

第三講分數運算的技巧

對于分數的混合運算，除了掌握常規的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高

運算速度，解答較難的問題。

1.湊整法

與整數運算中的“湊整法”相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律(如交換律、結合

律、分配律)，使部分的和、差、積、商成為整數、整十數……從而使運算得到簡化。

12317

X^J1P7+6-+l-+8-)X(2-—)

434320

解:

132…17

原式=[(3]+1-)+(6-+8-)]X(2--)

7

=(5+15)x(2--)

7

=20X2-20X—

=40-7=33。

14

例24-X25+32-^4+0.25X125

14

解：原式=4x25+『25+32+4+14+025x4x31

=100+5+8+^+31=144^

77

2.約分法

1x2x3+2x4x6+7x14x21

例3-------------------------------------------

1x3x5+2x6x10+7x21x35

解原H_1X2X3+2：X(1X2X3)+7：X(1X2X3)

舞：-1x3x5+23x(1X3X5)+73x(1x3x5)

_(lX2X3)X(l+23+73)

"(lX3X5)X(l+23+73)

_1X2X32

=1X3X5=5

那99X(1-1)X(1-1)X(1-1)X-X(1-1).

解:原式二99X§X彳X彳X…X盆=1°

23499

3.裂項法

若能將每個分數都分解成兩個分數之差，并且使中間的分數相互抵消，則能大大簡化運算。

根據3」-」7供機碌自鍛0，在i愎若二個分數之彳瞰

n>(n+d)nn+d

例5

"2612203042

11111

解:胤式=

1x22x33x44x55x66x7

11111111111

=1--+—+—+—+—+—

22334455667

S1-一1一=.6

77

例」—+」—+」—1

6++

1x33x55x797x99

12222

解：^=1x(—+—+—d

''八2以33x55x797x99,

11111111

—-Xfl—+....-+------,+---------)

2’3355797W

2’99，29999

例7在自然數1?100中找出10個大同的數，使這10個數的倒數的和等于U

分析與解：這道題看上去比較復雜，要求10個分子為1,而分母不同的

猴前抑制柞喇糊“焉,看加

就非常簡單了。

因丸=匕+；-；+；-；+：-!+3…，所以可彳據題中所求像上

223344））

括號c此題要求的是10個數的倒數和為1,于是做成:

1=n--）+（—）+（—）+（---）+（---）+（—）+（—）+（—）

I2,’23，‘3斐45，＜56，%T78,包9）

_1111I11111

一而++詬+才而+川+麗,+肅+肅+而+

1111111111

261220304256729010

所求的10個數是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。

本蹦不燃淌聊心+"+〈詢用涮錯蟒鐘

10JOy45

的10和30,仍是符合題意的解。

4?代數法例8Q+LLL）x（LLL二）+

'234，12345，＜2345，、23/

分析與睇通分計算太麻煩，不可取。注意到每個括號中都有:+；+：,

234

不妨設J+<+J=A'則

乙D1

原式=(l+A)x(A+g)-(l+A+g)xA

1.1.11

=A+-+A2+-A-A-A2--A=-o

5.分組法...11112222—333、分析與解:利用加法交換律和結合

例9份+針彳+…+罰+弓+彳+5+…+罰+勺+M…+刑+…

1818、19

,1920，20

律，先將同分母的分數相加。分母為n的分數之和為

12n-11

----=-x[l+2+…+(n-1)]

nnnn

1[l+(n-l)]x(n-l)n(n-l)n-1

=-x-------------------?--------

2~Y~

原式中分母為2?20的分數之和依次為

工？23…”原式123419

=-+-+-+-++—

2'2'2'2''222222

1/、

=-X(1+2+3+4+-+19)

=2X190=95。

2

練習3

1口T卓〈+0。）戶17%

7337

2.125--(11--4—+2.25--)

8'42020,

696969x696696

.969969x969696

1+5+11+19+20

26122030

"2L3L4L5L6，。

2612203042

8.在自然數1-60中找出8個不同的數，使這8個數的倒數之和等于1。

9規鼾酬T肱裸耕的現髓出，是立列鯽的第幾個?

1121231234

『?『3"2"T『3"5’『

答案與提示練習3

1.3。

2.13—o

4

1..2345

3.-o提示：除數=2*(1彳+27+3工+4工)。

L34J0

.667

4------

1292

解冷式_69xl0101x696x100169x696_667

群'=969x1001x96x10101=969x96=1292

5.4^0解：原式=5-(：+，+]+：+記)=5-(1-/=4々。

6Z。"ZU5U0

6.2用解，原式=(1+2+3+4+5+?(1+1+1+1+1+1)

=21+5；)=24。

/

解:設;+；+5=A，

則原式=(g+A)X(A+、)-(；+A+*)XA

1111,11

=5A+65+A3+/-十…-a=而

8.2,6,8,12,20,30,42,56。

111111

'2k23k78,8

11111111

=-+-+—+-+—+—+—+-0

2612203042568

9.5680o

解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人……一般地，

分子與分母之和等于n的有（nT）個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（個）

卷是分子與分母之和等于108的第9個分數，是這列數的第

567149=5680（個）。

第四講循環小數與分數

任何分數化為小數只有兩種結果，或者是有限小數，或者是循環小數，而循環小數又分為純循環小數

和混循環小數兩類。那么，什么樣的分數能化成有限小數？什么樣的分數能化成純循環小數、混循環小數

呢？我們先看下面的分數。

（1）r05,等"。⑵親■曷”。煬

⑵5=0.3,y=0.714285,^=0.39；(3)-(=-)=083,^(=^)=0.38285714,

°'°。6/xs乂X/

1011013U

T7T(=73~7~~=0.2805?

3602〃5義9)

(1)中的分數都化成了有限小數，其分數的分母只有質因數2和5,化

成的翻慨的僦嶼分母特有做與5忖轆多胡娜同，如:

40

因為4O=2'X5,含有3個2,1個5,所以化成的小數有三位。

（2）中的分數都化成了純循環小數，其分數的分母沒有質因數2和5。

（3）中的分數都化成了混循環小數，其分數的分母中既含有質因數2或5,又含有2和5以外的質因數,

化成的混循環小數中的不循環部分的位數與

分母中含都與中他瞰多的怫同,端SM=52X7,含前個

5,所以化成混循環小數中的不循環部分有兩位。

于是我們得到結論：

一個最簡分數化為小數有三種情況：

（1）如果分母只含有質因數2和5,那么這個分數一定能化成有限小數，并且小數部分的位數等于

分母中質因數2與5中個數較多的那個數的個數；

（2）如果分母中只含有2與5以外的質因數，那么這個分數一定能化成純循環小數；

（3）如果分母中既含有質因數2或5,又含有2與5以外的質因數，那么這個分數一定能化成混循

環小數，并且不循環部分的位數等于分母中質因數2與5中個數較多的那個數的個數。

例1判斷下列分數中，哪些能化成有限小數、純循環小數、混循環小數？能化成有限小數的，小數部

分有幾位？能化成混循環小數的，不循環部分有幾位？

5431231003

32r21，250,龍’H7,850

分析與解：上述分數都是最簡分數，并且

32=2*21=3X7,250=2X53,78=2X3X13,

H7=33X13,850=2X52X17,

根據上面的結論，得到：

最能化成五位有限小數，合能化成三位有限小數。

（，黑能化成純循環小數。

為3沏㈱楸目

/o0JV

不循環部分有兩位。

將分數化為小數是非常簡單的。反過來，將小數化為分數，同學們可能比較熟悉將有限小數化成分數的方

法，而對將循環小數化成分數的方法就不一定清楚了。我們分純循環小數和混循環小數兩種情況，講解將

循環小數化成分數的方法。

1.將純循環小數化成分數。

例2將0.5化成分數。例3將0.382化成分數。

將I:兩式相減，得將上兩式相減，得

解：0.5X10=5.5,解：0.382X1000=382.382,

0.5=0.5。0.382=0,382o

從例2、例3可以總結出將純循環小數化成分數的方法。

0.5X(10-1)=5,0.382X(1000-1)=382,

65X9=5,0.382X999=382,

…c382

0.382=—

999

純循環小數化成分數的方法:

分數的分子是一個循環節的數字組成的數,分母的各位數都是9,9的個數與循環節的位數相同。

/小n八75719…414416

例如：0.7=-,0.57=-=-,0.144=—=—,

2.將混循環小數化成分數。例40.18X100=188,

0.18X10=1.8o

將上兩式相減,得0.18XC1OO-1O)=18-1,^50,257X1000=257.57

0.18X90=17,

.170.257X10=2.57

°18=90°

將上兩式相減，得Q257X(1000-10)=255,

0.257X990=255,

0257="上

99066

從例4、例5可以總結出將混循環小數化成分數的方法。

混循環小數化成分數的方法:

分數的分子是小數點后面第一個數字到第一個循環節的末位數字所組成的數，減去不循環數字所組成

的數所得的差；分母的頭幾位數字是9,末幾位數字都是0,其中9的個數與循環節的位數相同，0的個

數與不循環部分的位數相同。..17-1168

例Bl如：°】"才=獷存，

-136-11353

0.136-------------,

99099022

1745-17172848

99009900275

掌握了將循環小數化成分數的方法后，就可以正確地進行循環小數的運算了。

例6計算下列各式:291192-1375526-5

(1)0,291-0192+0.375+0.526；解:(1)原式999-990+999+990

(2)0.330X0.186,291+375521-191

--------+

999----990

,666+■I330I——2+—1=]

99999033

/、…330186-1330X1855

(2)原式=荻><刀鼠999X990=81

練習4

1.下列各式中哪些不正確？為什么？

（1）=。力78125；

13

（2）—=0.590；

乙乙

45

（3）==0152027；

9g

（4）—=0.9702o

2.劃去小數0.27483619后面的若干位，再添上表示循環節的兩個圓點，得到一個循環小數，例如

0.274836。請找出這樣的小數中最大的與最小的。

3.將下列純循環小數化成最簡分數:

0.8,0.39,0,231,0.135。

＜將下列混循環小數化成最簡分數:

0.28,0,315,0,225,0.517.

5.計算卜列各式：Q）0253+0513+0.413-0.180；

（2）3,3x0.075.

（3）0.9168+0.4620。

答案與提示練習4

1.（1）（3）（4）不正確。曰,曰??曰?曰??

2.最大是0.2748,最小是0.27。

,8,?13,?,77,?5

3.0.8=-,0.39=-0.231=—；0,135=-o

933}33337

...?1352203__'233_，八,25200

4028=45}0315=]6550225=9001⑹的5.（DL（2）-⑶

IoT

⑼228513372120

解：⑴原式=通+荻+麗-荻

,、237525

—國t

（）原式=皈916而8「.泰458麗4=2而00。

第五講工程問題（一）

顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面

的問題，也括行路、水管注水等許多內容。

在分析解答工程問題時，一般常用的數量關系式是:

工作量=工作效率x工作時間，

工作時間:工作量+工作效率，

工作效率;工作量+工作時間。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可

凝散打程量,常用頒俵示。琳,工翻一舉茄誠;,工檔的三分工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所

之一林心

干的工作量。單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。

工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下,

一般不寫工作效率的單位。

例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工

程乙隊干還需多少天？

分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效

率是熱同理,曲的工作瓣是需。瞅肝的工翻軸（+5）。（焉+念）*5。=￡+!=|

由“工幢=工佃蟀X工作B澗”,5。天的工作覲

新的工作量是（卜》由“工作咖=工健-工僦笈”，新的工（1令+*=25（天）。

作量由乙肝還需

例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退

出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？

分析：將題目的條件倒過來想，變為“乙隊先干18天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一

來，問題就簡單多了。到八1e31、

解：（1一天閻Y新+留

213

=（1-5）+而=5、20=12（天）。

答：甲隊干了12天。

例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三人隊一起干，因工作需要甲隊

中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲

隊實際工作了

口一店+如6戶奈=3（天）.

例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張

師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，

1-（U=12（時）。

7030

棘出酬珅批王多做瞬件數,60-12=5（個）。

最后求出部零件的蟋，5-（〉。=3。0（付。

uvJU

例5—水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排

完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水

分布與照嘛也K為鄲九1怫管可使加部;，軻信可使用

碼麗刑,卿%；）。蝌愀嘛，解I遍

群地漏爰（；-；1所墉潺I糊丸B需

11,113.2二5；（時）。

'25，、5T1035

例6甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發后5分鐘，

甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的

關系來解答。甲出發5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發15分鐘。

我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘,乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需

多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。

解"1—飆5）+焉+4[+《=15（分）。

答：甲再出發后15分鐘兩人相遇。

練習5

1.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半?

2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉交給乙隊干，后來甲隊重新

回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數。

3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。

這條水渠由甲隊單獨挖需多少天?

4甲、乙二墟禮若鞠赧朋憶所瓢時間彩若瞅舒,則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？

5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現在兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750

米處相遇。這段公路長多少米？

6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池,

那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？

7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從

乙般]腆多用的1時跳如果兩車同時開出，那么棚朋快菊麒車多行40千米。求甲、乙兩地的距離。

答案與提示練習51J天。解，9舄+臺=3（天）。

2.14天。解；口，乂（6+10）廣卜10=14（天）。

405。

3.120天。11

解：乙隊的工作效率為（1.旬乂12）+24=而,

甲隊單獨挖需L弓得）=120（天）o4?350棵。

熊乙曲工傾軸峭觸微啡叫甲瓶/翻共有50+（齊）=350（棵）。

5.6000米?！虿?000（米）。

解：750X2*

6.8時。

提示：甲管12時都開著，乙管開.]、1「X、

（1-花X12）--=8（時）。

7.280千米。解:快車從乙地到甲地用8+（1+；）=6（%。解（杲）4（時）,

50o/

相酎蝌比磨多行第的（1）X*,卿、z雕雕

00II

4。十280（瑞。

第六講工程問題（二）

上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在

題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。

例1一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天

可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？

分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：

甲5天乙20天

葭女乙反

從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工

作量,于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工

程需用20+4=24（天）

完成，羽乙的工作效率為《°又因為乙工作4天的工作量用甲工作5天的工作

量相等颼虹作姓是乙吟，為杲*

甲、乙合做這一工程，需用的時間為

1+（/如嗎（天）

例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現在乙隊先做7天，然后

甲蝴無蜿賊虹畔，據職余的工程超硼嬲那

么還要幾天才能完成？

分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作

的工假蟀是;,但甲、乙瞅一天也醺合作也好齦好問題,我

0

們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉化為“甲、乙合做4天，乙再單獨

做3天”，這樣，就可以把合作的工作效率:用上了。

0

甲.乙瞅合作供制油工程量是1;X4《,,乙郵儲天就可完成工

05

履庫,1?由蝌乙的工作蟀為

得管+（7-4）$

剩下的工程乙隊還需干（1-5）+[=2（天）。

例3單獨完成一件工作，甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才能完成。如果甲、

乙二人合做2天后，剩下的繼續由乙單獨做，那么剛好在規定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完

成？

分析與解：乙單獨做要超過3天，用、乙合做2天后乙繼續做，剛好按E寸完成，說明甲做2天等于乙

做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的3位

5皓。

瞅鋤,乙驕締3+2=5（天），蒯糯翳。1）=（天）

It

，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

】嗚+5=6（天）。

例4放滿一個水池的水，若同時打開1,2,3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2,3,4號

閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1,3,4號閥門，則28分鐘可