1.3.2球的體積和表面積球的體積和表面積公式(1)體積公式:V=πR3.(2)表面積公式:S=4πR2.【思考】從公式看,球的表面積和體積分別是關于哪個量的函數?提示:從公式看,球的表面積(或體積)只與球的半徑有關,給定球的半徑R有唯一確定的S(或體積V)與之對應,故表面積和體積是關于球的半徑R的函數.【素養小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)球的表面可以展開成平面. (

)(2)兩個球的半徑之比為1∶2,則其表面積之比為1∶4.(

)(3)兩個球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶4.(

)提示:(1)×.球的表面不能展開成平面圖形,故錯誤.(2)√.根據球的表面積公式可知此說法正確.(3)×.兩個球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶8.2.直徑為6的球的表面積和體積分別是 (

)A.144π,144π B.144π,36πC.36π,144π D.36π,36π【解析】選D.R=3,S=4πR2=36π,V=πR3=36π.3.兩個半徑為1的鐵球,熔化成一個大球,這個大球的半徑為 (

)A.2 B.C. D.【解析】選C.設大球半徑為r,則πr3=2×,所以r=.類型一球的表面積和體積【典例】1.(2019·株洲高一檢測)兩個球的體積之比為8∶27,那么這兩個球的表面積之比為 (

)A.2∶3

B.4∶9C.∶ D.∶2.(1)若球的表面積為64π,則它的體積為__________.

(2)若球的體積為π,則它的表面積為__________.

3.若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等,求圓錐側面積與球的表面積之比.【思維·引】1.以球的表面積和體積公式為依據,先由體積之比推出半徑之比,然后推出表面積之比2.(1)借助球的表面積公式先列方程求半徑,進而計算球的體積.(2)借助球的體積公式先列方程求半徑,進而計算球的表面積.3.根據題目條件列出方程,用圓錐的高表示底面半徑和母線,然后代入公式求比值.【解析】1.選B.設這兩個球的半徑分別為r,R,則

,所以,則這兩個球的表面積之比為

=()2=.2.(1)設球的半徑為R,則4πR2=64π,解得R=4,所以球的體積V=πR3=π·43=π.(2)設球的半徑為R,則πR3=π,解得R=5,所以球的表面積S=4πR2=4π×52=100π.答案:(1)π

(2)100π

3.設圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長為l,球的半徑為R,則由題意得π(2R)2·h=πR3,所以R=h,r=2h,所以l=h,所以S圓錐側=πrl=π×2h×h=2πh2,S球=4πR2=4πh2,所以.【內化·悟】利用球的表面積和體積主要可以解答哪兩類問題?提示:(1)已知球半徑可以利用公式求它的表面積和體積;(2)已知體積或表面積也可以求其半徑.【類題·通】求球的表面積與體積的一個關鍵和兩個結論(1)關鍵:把握住球的表面積公式S球=4πR2,球的體積公式V球=πR3是計算球的表面積和體積的關鍵,半徑與球心是確定球的條件.把握住公式,球的體積與表面積計算的相關題目也就迎刃而解了.(2)兩個結論:①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方;②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.【習練·破】1.把一個鐵制的底面半徑為r,高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球,則這個鐵球的半徑為(

)A. B. C. D.【解析】選C.因為πr2h=πR3,所以R=.2.(1)火星的直徑約為地球直徑的一半,地球的體積約是火星體積的多少倍?(2)木星的表面積約為地球表面積的120倍,木星的體積約是地球體積的多少倍?【解析】(1)設火星的半徑為R,則地球的半徑為2R,因此=8.故地球的體積約是火星體積的8倍.(2)設木星和地球的半徑分別為r,R.依題意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2R,所以

.故木星的體積約是地球體積的240倍.【加練·固】圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________cm.

【解析】設球的半徑為r,放入3個球后,圓柱液面高度變為6r.則有πr2·6r=8πr2+3·πr3,即2r=8,所以r=4cm.答案:4類型二與球有關的組合體問題【典例】1.(2019·資陽高一檢測)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,圖中四邊形是邊長為1的正方形,虛線所示為半圓,那么該幾何體的體積為 (

)A.1- B.1-C.1- D.1-2.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(

)A.1 B.2C.4 D.83.如圖所示,圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉一周所形成的幾何體的體積為________. 【思維·引】1.根據三視圖及其數據得出幾何體的直觀圖為棱長為1的正方體中挖空了一個半球,利用組合體的體積公式求解即可.2.先判斷該組合體的結構特征,然后根據表面積列方程,求出半徑r.3.先判斷該組合體的結構特征,然后求出有關幾何量求其體積.【解析】1.選B.因為題干圖為某幾何體的三視圖,圖中四邊形為邊長為1的正方形,虛線所示為半圓,幾何體是正方體挖去一個半球,球的半徑為,幾何體的體積為:1-××=1-.2.選B.如圖,該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體,球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,則表面積S=×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π,所以r2=4,r=2.3.由題知旋轉一周后形成的幾何體是一圓臺去掉一個半球,其中圓臺的體積為V=×(π×22++π×52)×4=,半球的體積V=××π×23=,則所求體積為.答案:

【內化·悟】由三視圖計算與球有關的組合體的表面積和體積,應注意什么?提示:關鍵是還原組合體,并弄清組合體的結構特征和三視圖中數據的含義,在此基礎上可以設計算法計算表面積和體積.【類題·通】解決與球有關的組合體問題的解題技巧(1)與球有關的組合體問題:解題時要認真分析圖形,明確切點位置,明確有關元素間的數量關系,并且作出合適的截面圖.(2)球與旋轉體的組合,通過作它們的軸截面解題.(3)球與多面體的組合,通過多面體的一條側棱和球心、切點或接點作出截面圖.【習練·破】(2019·包頭高一檢測)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 (

)A.(3+2)π B.(4+4)πC.(3+4)π D.(4+2)π【解析】選A.由題意可知幾何體是上部為半球,下部是兩個圓錐的組合體,球的半徑為1,圓錐的底面半徑為1,高為1,所以幾何體的表面積為:2π×12+2××2π×+π×12=(3+2)π.【加練·固】1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側視圖均是由三角形與半圓構成,俯視圖由圓與內接三角形構成,根據圖中的數據可得此幾何體的體積為 (

)A.

B.C. D.

【解析】選C.由已知的三視圖可知原幾何體的上方是三棱錐,下方是半球,所以V=××1+×=+.2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積和體積分別為________與________.

【解析】由三視圖可知,其對應的幾何體是一個組合體,上半部分是一個直徑為2的球,下半部分是一個棱柱,棱柱的底面是邊長為2的正方形,高為4,則該幾何體的表面積S=4π×12+2×22+4×2×4=40+4π,幾何體的體積:V=π×13+22×4=16+π.答案:40+4π

16+類型三有關球的切、接問題【典例】1.一塊硬質木料的三視圖如圖所示,正視圖是邊長為3cm的正方形,俯視圖是3cm×4cm的矩形,將該木料切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑最接近 (

)A.1cm

B.2cmC.3cm D.4cm2.(2019·亳州高一檢測)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為________.

3.已知四面體的各面都是邊長為a的正三角形,求它外接球的體積及內切球的半徑. 【思維·引】1.先判斷最大球的半徑是多少,然后計算.2.解答本題的依據是:若正方體內接于球,則2R=a(a為正方體的棱長).3.方法一:找到球心的位置,建立方程求外接球半徑,然后求外接球的體積及內切球的半徑.方法二:補形為正方體.【解析】1.選A.由題意得最大球的半徑為直角三角形(直角邊長為3和4)內切圓的半徑,所以r==1.2.設此球的半徑為R,由題意得正方體的棱長為2,所以2R=,所以R=,所以該球面的表面積為4πR2=12π.答案:12π3.方法一:如圖,設SO1是四面體S-ABC的高,則外接球的球心O在SO1上.設外接球半徑為R.因為四面體的棱長為a,O1為正△ABC的中心,所以AO1=×a=a,SO1=a.在Rt△OO1A中,R2=A=A+(SO1-R)2,即R2=,解得R=a,所以所求外接球體積V球=πR3=πa3.所以OO1即為內切球的半徑,OO1=a,所以內切球的半徑為

a.方法二:以四面體的各棱為正方體的面對角線,將其補形為正方體.由于過不共面的四點有且只有一個球,所以該四面體的外接球就是正方體的外接球.設正方體的棱長為x,外接球的半徑為R,則2R=x且a=x,所以R=a,所求外接球體積V球=πR3=πa3,設該四面體的內切球的半徑為r,利用體積分割法可知此多面體的體積為4×××a2×r=a2r.利用補形法可知此多面體的體積可由正方體的體積減去四個三棱錐得到,即

,所以a2r=a3,解得r=a.【素養·探】在解球的外接幾何體問題中,經常利用核心素養中的數學運算,通過研究球與其外接幾何體的結構特征,找到相關幾何量之間的關系,然后進行計算.將本例2條件改為“三個相鄰面的面積分別為2,3,6的長方體”,求該長方體外接球的表面積.【解析】設長方體的棱長分別為a,b,c,則所以(abc)2=36,于是設球的半徑為R,則4R2=a2+b2+c2=14,所以這個球面的表面積為4πR2=14π.【類題·通】常見的與球有關的切接問題(1)正方體的內切球.球與正方體的六個面都相切,稱球為正方體的內切球,此時球的半徑為r1=,過在一個平面上的四個切點作截面如圖①.(2)球與正方體的各條棱相切.球與正方體的各條棱相切于各棱的中點,過球心作正方體的對角面有r2=,如圖②.(3)長方體的外接球.長方體的八個頂點都在球面上,稱球為長方體的外接球,根據球的定義可知,長方體的體對角線是球的直徑,若長方體過同一頂點的三條棱長為a,b,c,則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3=,如圖③.(4)正方體的外接球.正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R=a.【習練·破】1.(2019·濟南高一檢測)設正方體的表面積為24cm2,一個球內切于該正方體,那么這個球的體積是 (

)A.πcm3 B.πcm3C.πcm3 D.πcm3【解析】選A.因為正方體的全面積為24cm2,所以正方體的棱長為2cm,又因為球內切于該正方體,