第一章集合與常用邏輯用語、不等式第2節常用邏輯用語1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對兩種命題進行否定.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的______條件，q是p的______條件p是q的____________條件p?q且q?/

pp是q的____________條件p?/

q且q?pp是q的______條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?/

q且q?/

p充分必要充分不必要必要不充分充要2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“____”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“____”表示.??3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記_____________?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)______________?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)1.會區別A是B的充分不必要條件(A?B且B?/

A)，與A的充分不必要條件是B

(B?A且A?/

B)兩者的不同.2.p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件.3.含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”.4.命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難，可判斷此命題否定的真假.常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)至少有一個三角形的內角和為π是全稱量詞命題.(

)(2)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.(

)(3)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.(

)(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.(

)×√√√解析(1)錯誤，至少有一個三角形的內角和為π是存在量詞命題.2.(必修一P22習題1.4T2改編)命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等腰三角形”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析由“三角形是等邊三角形”可得到“該三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.3.(必修一P30例4(3)改編)命題“有一個偶數是素數”的否定是________________________.任意一個偶數都不是素數4.使－2＜x＜2成立的一個充分條件是________(答案不唯一，寫出一個即可).0＜x＜2解析只要是{x|－2＜x＜2}的一個子集都是使－2＜x＜2成立的充分條件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一充分條件、必要條件的判定例1

(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件B解析若a2＝b2，則當a＝－b≠0時，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2?/

a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.(2)(2023·全國甲卷)設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B解析甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導出sinα＋cosβ＝0；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲.綜上，甲是乙的必要不充分條件.(3)(多選)ab＋b－a－1＝0的一個充分不必要條件可以是(

)A.a＝－1 B.a＝bC.b＝1 D.ab＝1AC解析由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故選AC.感悟提升充分、必要條件的兩種判定方法：(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.ACD解析對于A，由a>b?/ac2>bc2(c＝0時不成立)，由ac2>bc2?a>b，則“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，A中命題是真命題；(2)(2023·泰安模擬)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是(

)A.p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數B.p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象不過第二象限C.p：x≥2且y≥2，q：x2＋y2≥4D.p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>dD解析對于A，p是q的充要條件；對于B，函數f(x)＝ax－b的圖象不過第二象限，則a>1，1－b≤0，即a>1，b≥1，所以p是q的充分不必要條件；對于C，p是q的充分不必要條件；對于D，結合不等式的性質知p是q的必要不充分條件，D符合題意.考點二充分、必要條件的應用例2

已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.即所求m的取值范圍是[0，3].遷移

本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍.解∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，∴A

B，解得m≥9，故m的取值范圍是[9，＋∞).感悟提升充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區間端點值的檢驗.訓練2(1)(2023·衡水調研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b為實數.

①若A是B的充要條件，則b＝___________；

②若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是______________.②若A是B的充分不必要條件，則A

B，(2)(2024·駐馬店模擬)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是____________.[3，＋∞)解析由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4，設p對應的集合為A，則A＝[－3，4].由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，解得－m≤x≤2m＋1(m>0)，設q對應的集合為B，則B＝[－m，2m＋1](m>0).因為p是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，所以實數m的取值范圍是[3，＋∞).考點三全稱量詞與存在量詞角度1含量詞命題的否定例3(1)(2024·西安模擬)若命題p：?x∈R，ex≥x＋1，則綈p是(

)A.?x∈R，ex≤x＋1 B.?x∈R，ex<x＋1C.?x∈R，ex≤x＋1 D.?x∈R，ex<x＋1D解析?x∈R，ex≥x＋1的否定是?x∈R，ex<x＋1，故選D.(2)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為(

)A.?n∈N，n2≥2n＋5B.?n∈N，n2≤2n＋5C.?n∈N，n2＜2n＋5D.?n∈N，n2＝2n＋5C解析綈p為?n∈N，n2＜2n＋5，所以C正確.角度2含量詞命題的真假判斷例4

(2024·九江聯考)下列命題的否定是真命題的為(

)A.任意兩個等邊三角形都相似B.?x∈R，x2－x＋1＝0C.存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直D.?x∈R，x＋|x|≥0B解析對于A，任意兩個等邊三角形都相似是真命題，所以其否定是假命題，故A錯誤；對于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程無解，所以該命題是假命題，其否定是真命題，故B正確；對于C，存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直，是真命題，其否定是假命題，故C錯誤；對于D，?x∈R，x＋|x|≥0是真命題，其否定是假命題，故D錯誤.D所以m≤(sinx)min，感悟提升1.含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結論.2.判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x，使p(x)成立即可.3.由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的范圍；二是利用等價命題，即p與綈p的關系，轉化成綈p的真假求參數的范圍.訓練3

(1)已知命題p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列說法正確的是(

)A.p為真命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xB.p為假命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xC.p為真命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xD.p為假命題，綈p：?x?(0，＋∞)，3x＋4≠3xC解析方程3x＋4＝3x可化為3x＋4－3x＝0，設f(x)＝3x＋4－3x，則方程3x＋4＝3x的根就是函數f(x)＝3x＋4－3x的零點，當x＝2時，f(2)＝3×2＋4－32>0，當x＝3時，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零點存在定理知函數f(x)＝3x＋4－3x在區間(2，3)內存在零點，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p為真命題.根據存在量詞命題的否定方法可得綈p：?x∈(0,＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正確.(2)已知命題“?x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命題，則實數m的取值范圍是______________________.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命題為真命題，則?x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，則－4<m<6；故若原命題為假命題，則實數m的取值范圍為(－∞，－4]∪[6，＋∞).課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.命題“?x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(

)A.?x＞0，x2－2|x|≥0 B.?x≤0，x2－2|x|≥0C.?x＞0，x2－2|x|≥0 D.?x≤0，x2－2|x|≥0C解析由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知“?x＞0，x2－2|x|＜0”的否定為“?x＞0，x2－2|x|≥0”.2.(2022·浙江卷)設x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件A3.已知命題：“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實數a的取值范圍是(

)A.(－∞，4) B.(－∞，4]C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)B解析“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.CA解析由2a＞2，得a＞1；D對于B，因為當x＝5時，25＝32>52＝25，所以?x∈R，2x>x2為真命題，其否定為假命題，故B錯誤；7.(2021·全國甲卷)等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數列，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B

解析當a1＜0，q＞1時，an＝a1qn－1＜0，此時數列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.

當數列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0(n∈N*)，即q＞0；

若a1＜0，則qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要條件.

綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.8.(2024·云南名校聯考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.

若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍為(

)A.[－1，0] B.(－1，0)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)A解析由題意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，則A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，解得－1≤a≤0，所以a的取值范圍為[－1，0].解析因為“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，10.(2023·北京海淀區模擬)設a>0，b>0，則使得命題“若ln(a＋b)>0，則lna＋lnb>0”為假命題的一組a，b的值是_____________(答案不唯一).a＝1，b＝1解析根據題意，滿足題意的a，b需滿足ln(a＋b)>0，則lna＋lnb≤0，即ln(a＋b)>ln1，ln(ab)≤ln1，解得a＋b>1，ab≤1，不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，滿足題意.12.(2023·湖南部分名校調研)已知p：?x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，則綈p是q的______________條件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中選一個填入).必要不充分解析若綈p：?x∈R，ax2＋2x＋1≥0為真命題，則a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.因為(1，＋∞)

[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分條件.AD對于B，命題“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B錯誤；對于C，因為x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性質得x2＋y2≥8時，取x＝0，y＝3，不滿足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，當a≠0，b＝0時，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件，故D正確.14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“a>