函數奇偶性、單調性、周期性、對稱性歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：奇偶性基礎 1題型二：單調性基礎 3題型三：周期性基礎 4題型四：中心與軸對稱應用：左右平移 5題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型 6題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型 7題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱 7題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱 8題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和 9題型十：中心與軸應用：“隱對稱點” 10題型十一：雙函數型中心、軸互相“傳遞” 10題型十二：函數型不等式：“優函數”型 11題型十三：類周期型函數 12題型十四：“放大鏡”函數類周期性質 13題型一：奇偶性基礎判定函數的奇偶性的常見方法：判定函數的奇偶性的常見方法：（1）定義法：確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱，再化簡解析式驗證貨等價形式是否成立；（2）圖象法：若函數的圖象關于原點對稱，可得函數為奇函數；若函數的圖象關于軸對稱，可得函數為偶函數；（3）性質法：設的定義域分別為，那么它們的公共定義域上.常見的函數奇偶性經驗結論（在定義域內）：1.加減型：奇+奇→奇偶+偶→偶奇-奇→奇偶-偶→偶奇+偶→非奇-偶→非2.乘除型（乘除經驗結論一致）奇X奇→偶偶X偶→偶奇X偶→奇奇X偶X奇→=偶簡單記為：乘除偶函數不改變奇偶性，奇函數改變3.上下平移型：奇+c→非偶+c→偶4.復合函數：若f(x)為奇函數，g(x)為奇函數，則f[g(x)]為奇函數若f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，則f[g(x)]為偶函數1.（2023·全國·高三專題練習）若，，分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則下列函數不是偶函數的是（

）A． B．C． D．2.（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（2023春·湖北武漢·高三武漢市開發區一中校考階段練習）已知是定義域為的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．4.（2023·吉林延邊·高三延邊二中校考開學考試）函數是的奇函數，是常數．不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍為A． B．C． D．5.（2023秋·山西·高三校聯考期中）已知函數為奇函數，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．106.（2024年高考天津卷）下列函數是偶函數的是（）A. B. C. D.題型二：單調性基礎單調性的運算關系：單調性的運算關系：①一般認為，－f(x)和eq\f(1,fx)均與函數f(x)的單調性相反； ②同區間，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)是[a,b]上的增函數； ②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)是[a,b]上的__減函數__；(3)復合函數單調性結論：同增異減．1.（21-22高三·全國·課后作業）如果函數f(x)在[a，b]上是增函數，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>02.（23-24高三·福建廈門·模擬）已知定義在上的奇函數滿足①；②，，且，，則的解集為（

）A． B．C． D．3.（22-23高一上·重慶沙坪壩·期末）已知為偶函數，若對任意，，總有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4.（22-23高三·浙江·模擬）設，都是上的單調函數，有如下四個命題，正確的是（

）①若單調遞增，單調遞增，則單調遞增；②若單調遞增，單調遞減，則單調遞增；③若單調遞減，單調遞增，則單調遞減；④若單調遞減，單調遞減，則單調遞減.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5.（23-24高三·河北邢臺·階段練習）已知定義在上的函數滿足，對任意的，且，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型三：周期性基礎周期性周期性①若f(x＋a)＝f(x－b)?f(x)周期為T＝a＋b.②常見的周期函數有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期均為T＝2a.1.（22-23高三·重慶沙坪壩·模擬）函數的定義域為，且，.若對任意實數，都有，則（

）A． B．-1C．0 D．12.（2023高三·全國·專題練習）定義在R上的非常數函數滿足：為偶函數，且，則一定是()A．是偶函數，也是周期函數B．是偶函數，但不是周期函數C．是奇函數，也是周期函數D．是奇函數，但不是周期函數3.（23-24高三·湖南衡陽·階段練習）已知函數滿足，對任意實數x，y都有成立，則（

）A． B． C．2 D．14.（22-23高三安徽·階段練習）已知是定義在上的函數，，且，則（

）A． B． C． D．5.（21-22高三·貴州六盤水·）函數的定義域為，若且，則（

）A． B． C． D．題型四：中心與軸對稱應用：左右平移圖形變換圖形變換時，對稱軸和堆成中心也跟著平移(1)平移變換：上加下減，左加右減(2)對稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關于y＝x對稱))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關于y軸對稱的圖象))y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·閬中中學校考模擬預測）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．2.．（2023·全國·高三專題練習）已知為R上的奇函數，為R上的偶函數，且當時，，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．3.（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．4.（2023·陜西·統考二模）已知是定義在上的奇函數，若為偶函數且，則（

）A．3 B． C． D．65.（2022秋·河南·高三校聯考階段練習）已知函數的定義域為，若為奇函數，為偶函數．設，則（

）A． B． C． D．題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型帶系數：系數不為1，類比正弦余弦的帶系數形式，提系數平移帶系數：系數不為1，類比正弦余弦的帶系數形式，提系數平移平移變換：左右或者上下左加右減1.（2023·寧夏吳忠·統考模擬預測）已知是定義域為的函數，為奇函數，為偶函數，則有①為奇函數，②關于對稱，③關于點對稱，④，則上述推斷正確的是（

）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④2.（2022秋·河北·高三校聯考階段練習）設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則一定有（

）A． B．C． D．3.（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考階段練習）已知定義域為R的函數滿足是奇函數，是偶函數，則下列結論錯誤的是（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C． D．的一個周期為84.（2023秋·湖北恩施·高三校聯考模擬）已知函數及其導函數的定義域都為，且為偶函數，為奇函數，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．5.（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中校考階段練習）已知及其導函數的定義域均為，若為奇函數，為偶函數．設，則（）A． B． C． D．題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型1.（2023上·山東濟寧·高三統考期中）已知函數關于直線對稱，則．2.（2023上·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）已知定義在上的函數滿足，若方程有且僅有三個根，且為其一個根，則其它兩根為.3.（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學校考期中）已知函數滿足，且當時，，設，則的大小關系是．4.（廣東省七校聯合體2020-2021學年高二下學期2月聯考數學試題）若函數有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.5（四川省成都外國語學校、成都實驗外國語學校聯合考試2021屆高三第一學期11月月考）.已知，，，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱軸變換，又叫直線鏡面變換：軸變換，又叫直線鏡面變換：1.（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考階段練習）已知函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，則函數的單調遞增區間是.2.（2023·高三單元測試）函數與的圖象關于直線對稱,,則．3.（2022下·遼寧·高二瓦房店市高級中學校聯考模擬）已知函數是定義在上的奇函數，函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則．4.（2023上·上海閔行·高三校聯考期中）設曲線與函數的圖像關于直線對稱，設曲線仍然是某函數的圖像，則實數的取值范圍是.5.（2022·湖南永州·統考三模）已知直線:，函數，若存在切線與關于直線對稱，則．題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱中心對稱：中心對稱：（1）若函數滿足，則的一個對稱中心為（2）若函數滿足，則的一個對稱中心為（3）若函數滿足，則的一個對稱中心為.函數變換，又叫原點變換：1.（湖北省武漢二中2022-2023學年高三下學期4月第三次測試數學試題）已知函數，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2.（四川省達州市大竹縣大竹中學2020-2021學年高一下學期5月月考數學試題）已知函數，，若使關于的不等式成立，則實數的范圍為___________.3.函數，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.4.（廣東省深圳市人大附中學深圳學校2022-2023學年高三數學試題）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，則____________.5.（江蘇省南京師范大學附屬中學2022-2023學年高三模擬檢測2數學試題）已知函數．若存在使得不等式成立，則實數的取值范圍是________．題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和類比正弦：類比正弦：①兩中心②兩垂直軸③一個中心，一條軸1.（2022·廣東惠州·模擬）已知是定義在上的奇函數，且，若，則（

）A．3 B．0 C．3 D．20182.（2022·廣西南寧·一模）定義在上的偶函數滿足：對任意的實數都有，且，．則的值為（）A．2017 B．1010 C．1008 D．23.（2023·山東·一模）已知是定義在上的奇函數,且為偶函數,若,則（

）A．4 B．2 C．0 D．-24.（22-23高三上·湖南永州·階段練習）已知定義在上的奇函數滿足，若，則（

）A． B．0 C．2 D．20205.（2023·廣東梅州·三模）已知函數是定義在上的奇函數，為偶函數，且，則（

）A．10 B．20 C．15 D．5題型十：中心與軸應用：“隱對稱點”兩圖象上有對稱點轉化為方程有根的問題求解，然后再根據兩函數的特征選擇用導數的幾何意義求解，具有綜合性，難度較大．兩圖象上有對稱點轉化為方程有根的問題求解，然后再根據兩函數的特征選擇用導數的幾何意義求解，具有綜合性，難度較大．1.（21-22高三·云南紅河·模擬）對于函數，若存在，使得，則稱點與點是函數的一對“隱對稱點”，若函數，存在“隱對稱點”，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.（2022廣西柳州·一模）已知函數與的圖像上存在關于軸對稱的對稱點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．3.（2022遼寧沈陽·模擬預測）函數與的圖象上存在關于軸的對稱點，則實數的取值范圍為（

）(為自然對數的底)A． B． C． D．4.（2023·河北衡水·一模）若函數圖象上存在兩個點，關于原點對稱，則對稱點為函數的“孿生點對”，且點對與可看作同一個“孿生點對”.若函數恰好有兩個“孿生點對”，則實數的值為A．0 B．2 C．4 D．65.（22-23高三下·上海寶山·期中）若存在與正數，使成立，則稱“函數在處存在距離為的對稱點”．設（），若對于任意，總存在正數，使得“函數在處存在距離為的對稱點”，則實數的取值范圍是…A． B． C． D．題型十一：雙函數型中心、軸互相“傳遞”雙函數性質：雙函數性質：1.雙函數各自對應的對稱中心和對稱軸等性質2.雙函數之間存在著互相轉化或者互相表示的函數等量關系傳遞中心，對稱軸，與周期若函數關于軸對稱，關于中心對稱，則函數的周期為，若函數關于軸對稱，關于軸對稱，則函數的周期為，若函數關于中心對稱，關于中心對稱，則函數的周期為.1.（22-23高三上·江西·階段練習）已知函數的定義域均為R，且滿足則（

）A．3180 B．795 C．1590 D．15902.（23-24高三上·遼寧·階段練習）已知函數，的定義域均為R，且，，若的圖像關于對稱，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．203.（2023·遼寧·模擬預測）已知函數，的定義域均為R，是奇函數，且，，則下列結論正確的是．（只填序號）①為偶函數；②為奇函數；③；④.4.（2023·河南·模擬預測）已知為定義在上的奇函數，是的導函數，，，則以下命題：①是偶函數；②；③的圖象的一條對稱軸是；④，其中正確的序號是．5.（2023·四川南充·二模）設定義在上的函數和.若，，且為奇函數，則.題型十二：函數型不等式：“優函數”型有有，則稱為優函數。類似這類函數不等式，可以借助“類周期”思維進行放縮。1.（2024年高考1卷）已知函數為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（）A. B.C. D.2.（2021·四川德陽·一模）已知函數，若，，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（2020高三·全國·專題練習）已知是定義在R上的函數，，且對任意都有：與成立，若，則．4.（22-23高二上·上海浦東新·開學考試）設是定義在上的函數，且對于任意的整數，滿足，，則的值為..5.（22-23高三·北京順義·模擬）如果函數滿足對任意s，，有，則稱為優函數．給出下列四個結論：①為優函數；②若為優函數，則；③若為優函數，則在上單調遞增；④若在上單調遞減，則為優函數．其中，所有正確結論的序號是．題型十三：類周期型函數1.（2023·上海·統考模擬預測）在上非嚴格遞增，滿足，若存在符合上述要求的函數及實數，滿足，則的取值范圍是.2.（2021下·天津武清·高二天津市武清區楊村第一中學校考期末）已知函數，若對于正數，直線與函數的圖像恰好有個不同的交點，則.3.已知fx=12x+a,x≤0,fx?14.（2023上·四川資陽·高三統考模擬）已知函數，函數在處的切線為，若，則與的圖象的公共點個數為．5.（福建省長汀縣第一中學2022屆高三上學期第二次月考數學試題）定義在0,+∞上的函數fx滿足f（i）f2021（ii）若方程fx?