第十四講數(shù)論相關(guān)的計(jì)數(shù)例題：答案：18詳解：一個(gè)數(shù)能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍數(shù)．6，7，8，9的最小公倍數(shù)為504，所有滿足條件的數(shù)都是504的倍數(shù)．，故1~9999中共有19個(gè)數(shù)是504的倍數(shù)．，故1~999中共有1個(gè)數(shù)是504的倍數(shù)．則四位數(shù)中有個(gè)數(shù)是504的倍數(shù)．即能同時(shí)被6，7，8，9整除的四位數(shù)有18個(gè)．

答案：72

詳解：用1，2，3，4，5，7各一次組成六位數(shù)，六個(gè)數(shù)字的和為22．若為11的倍數(shù)，則奇位和與偶位和的差只能為0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考慮到1，3，7可以互換，2，4，5可以互換，故共有種填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36種填法，共72種填法．

答案：（1）24；（2）15

詳解：（1）若兩個(gè)數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，則其中至少有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)．1~10中是3的倍數(shù)的有3，6，9這3個(gè)數(shù)，不是3的倍數(shù)的有7個(gè)．分兩種情況：<1>兩個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是3的倍數(shù)，有種選法；<2>兩個(gè)數(shù)均為3的倍數(shù)，有種選法．共有24種選法．另解：排除法：不加任何條件選兩個(gè)數(shù)的方式減去，沒有3的倍數(shù)的情況，；（2）將1~10這10個(gè)數(shù)按除以3的余數(shù)不同進(jìn)行分類．除以3余0的有（3，6，9），除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若兩數(shù)之和為3的倍數(shù)，分兩種情況：<1>兩個(gè)數(shù)除以3均余0．有種選法．<2>其中一個(gè)數(shù)除以3余1，另一個(gè)數(shù)除以3余2．有種選法．共有種選法．

答案：56

詳解：可以將題目條件分成兩部分，先看能被8整除的數(shù)，，因此能被8整除的數(shù)有25個(gè)．再看含有數(shù)字8的數(shù)，我們可以從反面考慮較為方便，即看不含有數(shù)字8的數(shù)有多少個(gè)．百位可以選0或1（百位選0，表示其為兩位數(shù)），十位可以選除8以外的9個(gè)數(shù)，個(gè)位也可選除8以外的9個(gè)數(shù)，共有個(gè)數(shù)不含有數(shù)字8．0~199共有200個(gè)數(shù)，含有數(shù)字8的有個(gè)．考慮到有些數(shù)既能被8整除，又含有數(shù)字8，這樣的數(shù)有8，48，88，128，168，以及80和184，共7個(gè)數(shù)．因此吉利數(shù)有個(gè)．

答案：3479

詳解：若上升數(shù)的首位為1，剩下的3位可以從2~9中選，且順序一定，有種選法，即首位為1的上升數(shù)有56個(gè)．同理，若首位為2，剩下的3位可以從3~9中選，有種選法，即首位為2的上升數(shù)有35個(gè)．再考慮首位為3的上升數(shù)，依次為3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100個(gè)上升數(shù)為3479．

答案：900；900；200詳解：六位“回文數(shù)”應(yīng)為的形式，a有1~9這9種選擇，b有0~9這10種選擇，c有0~9這10種選擇，由乘法原理這樣的數(shù)共有個(gè)．五位“回文數(shù)”應(yīng)為的形式，a有1~9這9種選擇，b有0~9這10種選擇，c有0~9這10種選擇，由乘法原理這樣的數(shù)共有個(gè)．若回文數(shù)為4的倍數(shù)，則末兩位為4的倍數(shù)，可為04，08，12，16，……，96共24個(gè)數(shù)，除去20，40，60，80這四個(gè)不滿足條件的數(shù)，共有20種選擇．考慮到c有0~9這10種選擇，故共有個(gè)五位回文數(shù)是4的倍數(shù)．“

練習(xí)：答案：15

簡(jiǎn)答：4、5、6的最小公倍數(shù)是60，三位數(shù)中60的倍數(shù)有個(gè)．

答案：8

簡(jiǎn)答：用1，2，3，4各一次組成四位數(shù)，四個(gè)數(shù)字的和為10．若為11的倍數(shù)，則奇位和與偶位和的差只能為0．奇位填1，3，偶位填2，4，考慮到1，3，可以互換，2，4，可以互換，故共有種填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4種填法，共8種填法．

答案：38；22

簡(jiǎn)答：解法同例3．

答案：55簡(jiǎn)答：先看能被9整除的數(shù)，，因此能被9整除的數(shù)有22個(gè)．再看含有數(shù)字9的數(shù)，仍可從反面考慮，即看不含有數(shù)字9的數(shù)有多少個(gè)．百位可以選0或1（百位選0，表示其為兩位數(shù)），十位可以選除9以外的9個(gè)數(shù)，個(gè)位也可選除9以外的9個(gè)數(shù)，共有個(gè)數(shù)不含有數(shù)字9．0~199共有200個(gè)數(shù)，含有數(shù)字9的有個(gè)．考慮到有些數(shù)既能被9整除，又含有數(shù)字9，這樣的數(shù)有9，99，189，90，198，共5個(gè)數(shù)．因此含有數(shù)字9或者能被9整除的有個(gè)．作業(yè)答案：14，15

簡(jiǎn)答：，7的倍數(shù)有14個(gè)；，，．除以7余2的有15個(gè)．

答案：35

簡(jiǎn)答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5個(gè)．和為3的倍數(shù)，那么兩數(shù)可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一種有種選法，第二種有種選法，一共有35種選法．

答案：432

簡(jiǎn)答：能被11整除，說(shuō)明這個(gè)七位數(shù)奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)．而奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的和是，那么奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和可以都是16，或者是27和5，后面這種情況不可能．偶數(shù)位有3個(gè)數(shù)字，和為16可能是，，．那么一共可以組成個(gè)能被11整除的七位數(shù)．

答案：157

簡(jiǎn)答：前兩位為12的上升數(shù)有7個(gè)，前兩位為13的上升數(shù)有6個(gè)，前兩位為14的上升數(shù)有5個(gè)．那么第19個(gè)上升數(shù)是156，第20個(gè)上升數(shù)是157．

答案：72

簡(jiǎn)答：如果首位數(shù)字除以3余0，那么其余的所有