新知一覽平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定平行四邊形平行四邊形邊和角的性質(zhì)平行四邊形對角線的性質(zhì)三角形的中位線多邊形的內(nèi)角和與外角和利用四邊形對角線的性質(zhì)判定平行四邊形利用四邊形邊的關(guān)系判定平行四邊形平行線間的距離及平行四邊形判定與性質(zhì)的綜合6.4

多邊形的內(nèi)角和與外角和第六章平行四邊形問題1上圖中廣場中心的邊緣是一個五邊形，你能設法求出它的五個內(nèi)角的和嗎?與同伴交流，1多邊形的內(nèi)角和問題2小明、小亮分別利用下面的圖形求出了五邊形的五個內(nèi)角的和，你知道他們是怎樣做的嗎?五邊形的內(nèi)角和＝3個三角形內(nèi)角和之和＝180°×3＝540°.五邊形的內(nèi)角和＝5個三角形內(nèi)角和之和－周角＝180°×5－360°＝540°.

你還有其他方法嗎？

按照

問題2的方法一，六邊形能分成多少個三角形?

n

邊形呢?

你能確定

n

邊形的內(nèi)角和嗎?

想一想4個n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)···0n-

3

1231234n-

2

(n-

2)×180°1×180°=180°2×180°=360°

3×180°=540°4×180°=720°···············由特殊到一般

定理

n邊形的內(nèi)角和等于

(n

-

2)×180°(

n

是大于或等于

3

的自然數(shù)).總結(jié)歸納按照

問題2的方法二再試一試？多邊形的內(nèi)角和公式例1

在四邊形

ABCD

中，∠A+∠C=180°，那么

∠B與∠D有什么關(guān)系？BADC如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.典例精析解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4

-2)×180°=360°，∴∠B

+∠D=360°－(∠A

+∠C)

=180°.想一想：正n邊形的一個內(nèi)角是

度.想一想

正三角形

(等邊三角形)

、正四邊形

(正方形)

、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內(nèi)角分別是多少度?

60°108°90°120°135°議一議剪掉一張長方形紙片的一個角后，紙片還剩幾個角?這個多邊形的內(nèi)角和是多少度?與同伴交流.540°360°180°2多邊形的外角和如圖，小剛沿一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步.(1)小剛每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時，跑步方向改變的角是哪個角?在圖上標出這些角.情境探究跑步方向改變的角分別是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.(2)他每跑完一圈，跑步方向改變的角一共有幾個?它們的和是多少?小剛是這樣思考的，∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEA=180°，∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°

-540°=360°.即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，

多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角.

在多邊形每個頂點處各取一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和.歸納總結(jié)多邊形的外角與外角和想一想如果廣場的形狀是六邊形、八邊形，那么結(jié)果會怎樣?6×180°－(6－2)×180°=360°8×180°－(8－2)×180°=360°定理

多邊形的外角和都等于

360°.例2

一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設這個多邊形是

n

邊形，則它的內(nèi)角和是(n

-

2)·180°

，外角和等于

360°.典例精析根據(jù)題意，得(n

-

2)·180

=

3×360°，解得

n

=1080°，所以，這個正多邊形是八邊形.多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計算公式(n-

2)×180°(n≥3的整數(shù))外角和多邊形的外角和等于360°.特別注意：與邊數(shù)無關(guān).正多邊形內(nèi)角=，外角=1.判斷對錯：(1)當多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也隨著增加.()(2)當多邊形邊數(shù)增加時，它的外角和也隨著增加.()(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等．()2.一個正多邊形的內(nèi)角和為

720°，則這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于_____．120°3.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個角后，求得到的多邊形的內(nèi)角和.解：∵1800÷180＝10，∴