專題06平面直角坐標系與幾何結合的點坐標問題選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了3次，分別為2021年第9題，2020年第9題，2018年第9題。該題一般為選擇題型，分值3分，平面直角坐標系與幾何相結合的題型每年中招試題中均有涉及，規(guī)律型問題（2022年真題第9題、2019年真題第10題，專題均已歸納總結）、尺規(guī)作圖相結合問題。本題屬于幾何題型，側重于對題意的幾何理解，難度系數(shù)中等，得分率偏高。本專題主要歸納總結幾何中的平移、旋轉、折疊中設計到的求點坐標問題。根據(jù)已有的圖像與文字提供的信息，按照以下思維過程解題：①對平面直角系相關知識點充分了解，判定所求點位置坐標；②運用平移、旋轉、折疊等相關性質求解對應量；③利用點的坐標表示出相應線段的長度和利用線段的長度表示相應點的坐標。真題展現(xiàn)2021年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，?OABC的頂點O（0，0），A（1，2），點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D．將△ODA繞點O順時針旋轉得到△OD′A′，當點D的對應點D′落在OA上時，D′A′的延長線恰好經過點C，則點C的坐標為（）A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）【答案】B【解析】延長A′D′交y軸于點E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經過點C，利用點A的坐標可求得線段AD，OD，OA的長，由題意：△OA′D′≌△OAD，可得對應部分相等；利用OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，可得△A′OE為等腰三角形，可得OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1；利用△OED′∽△CEO，得到比例式可求線段OC，則點C坐標可得．【詳解】解：延長A′D′交y軸于點E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經過點C，如圖，∵A（1，2），∴AD＝1，OD＝2，∴OA＝．由題意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．則OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE為等腰三角形．∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC＝2．∴C（2，0）．故選：B．【總結】本題主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，坐標與圖形的性質，三角形相似的判定與性質，利用點的坐標表示出相應線段的長度和利用線段的長度表示相應點的坐標是解題的關鍵．2020年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為（﹣2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，點D的坐標為（）A．（，2） B．（2，2） C．（，2） D．（4，2）【答案】B【解析】根據(jù)已知條件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根據(jù)正方形的性質得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根據(jù)相似三角形的性質得到BO′＝3，于是得到結論．【詳解】解：如圖，設正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點A，B的坐標分別為（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴當點E落在AB邊上時，點D的坐標為（2，2），故選：B．【總結】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形性質，相似三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．2019年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（）A．2 B．4 C．3 D．【答案】A【解析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質得出AF＝FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長．【詳解】解：如圖，連接FC，則AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA與△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故選：A．【總結】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，難度適中．求出CF與DF是解題的關鍵．2018年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，已知?AOBC的頂點O（0，0），A（﹣1，2），點B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點F；③作射線OF，交邊AC于點G，則點G的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 【答案】A【解析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依據(jù)∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，進而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．【詳解】解：∵?AOBC的頂點O（0，0），A（﹣1，2），∴AH=1，HO=2，∴Rt△AOH中，AO=，由題可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG=∠EOG，又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴HG=﹣1，∴G（﹣1，2），故選：A．【總結】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質的運用，解題時注意：求圖形中一些點的坐標時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．模擬演練1．如圖，在平面直角坐標系中，，，，，將四邊形向左平移個單位后，點恰好和原點重合，則的值是A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【解析】如圖，過點作交于，交于，連接．，，，，．，，，，，，，，，設，，，解得，，將四邊形向左平移個單位后，點恰好和原點重合，，故選：．【總結】本題考查了平移的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、一元二次方程的應用等知識，利用點的坐標求出相應相應的值是解答本題的關鍵．2.如圖，將繞點旋轉得到，設點D的坐標為，則點A的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設點A的坐標是，根據(jù)旋轉變換的對應點關于旋轉中心對稱，再根據(jù)中點公式列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點A、點D關于點C對稱，點C是線段AD的中點，設點A的坐標是，，，，，解得，，點的坐標是故選D．【總結】本題考查了利用旋轉進行坐標與圖形的變化，根據(jù)旋轉的性質得出點D、點A關于點C成中心對稱是解題的關鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方．3.如圖，在平面直角坐標系中，等邊的頂點在原點上，在軸上，，為邊的中點，將等邊向右平移，當點落在直線：上時，點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過作軸于，根據(jù)等邊三角形的性質得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出點的縱坐標，根據(jù)平移的性質得出平移后點的縱坐標不變，把點的縱坐標代入，求出即可．【詳解】解：過作軸于，是等邊三角形，，，，，由勾股定理得：，為的中點，點的縱坐標是，當將等邊向右平移，當點落在直線上時，點的縱坐標還是，把代入得：，解得：，即點的坐標是，故選：．【總結】本題考查了一次函數(shù)圖形上點的坐標特征，坐標與圖形變化平移，等邊三角形的性質和勾股定理等知識點，能求出點的縱坐標是解此題的關鍵．4.如圖，在平面直角坐標系中，已知，，點與坐標原點關于直線對稱．將沿軸向右平移，當線段掃過的面積為20時，此時點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接AA1、BB1，過C點作CE⊥x軸于E點，過B點作BD⊥CE，交EC的延長線于點D，根據(jù)A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，進而得到AC=2，BC=4，再證Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，設AE=x，則有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，則C點坐標可求，再根據(jù)AB掃過的面積為20，求得，可知△ABC向右平移了5個單位，則問題得解．【詳解】平移后的效果如圖，連接AA1、BB1，過C點作CE⊥x軸于E點，過B點作BD⊥CE，交EC的延長線于點D，根據(jù)平移的性質可知AA1=BB1，且，即有四邊形是平行四邊形．∵CE⊥x軸，BD⊥CE，∴∠D=∠CEA=90°，根據(jù)對稱的性質可知△AOB≌△ACB，∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC，∵A(-2，0)、B(0，4)，∴OA=2，OB=4，∴AO=AC=2，OB=BC=4，∵∠ACB=90°=∠D，∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴Rt△DBC∽Rt△ECA，∴，設AE=x，則有CD=2x，∴OE=AO+AE=2+x，∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB，∴四邊形OBDE是矩形，∴BD=OE，即BD=2+x，∵，∴，∴在Rt△ACE中，，∴有，解得，（負值舍去），∴，∴，，∴C點坐標為，根據(jù)平移的性質可知直線AB掃過的圖形為是平行四邊形，∴根據(jù)題意有，∵，∴，∴，∴可知△ABC向右平移了5個單位，∴C也向右平移了5個單位才得到C1，∴即，∴C1點坐標為，故選：B．【總結】本題考查了平移的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、一元二次方程的應用等知識，求出C點的坐標是解答本題的關鍵．5.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A的坐標為，點B的坐標為，點E為對角線的交點，點F與點E關于y軸對稱，則點F的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點D作DH⊥y軸于H，根據(jù)正方形的性質得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根據(jù)余角的性質得到∠ADH＝∠BAO，根據(jù)全等三角形的性質得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于是得到答案．【詳解】解：∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，0），∴OA＝2，OB＝4，過D作DH⊥y軸于H，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，∵∠AHD＝∠AOB＝90°，∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，∴∠ADH＝∠BAO，∴△ADH≌△BAO（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，∴OH＝6，∴D（2，6），∵點E是BD的中點，點B的坐標為（4，0），∴點E的坐標是（，）,∴E（3，3），∵點F與點E關于y軸對稱，點F的坐標為（﹣3，3），故選：D．【總結】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，關于y軸對稱的點的坐標，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6.如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，，，若，則點C的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用已知條件求出D點坐標，再證明為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線合一”性質求出，進一步可求出C點坐標．【詳解】解：∵與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，且，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線合一”性質可知，∴點C的坐標為：．故選：D.【總結】此題考查位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，理解關于原點位似的兩個圖形對應點坐標之間的關系是解題的關鍵．7.如圖，在△AOB中，頂點O與原點重合，，，，點C為邊OA上一點，且．將△AOB向右平移，當點C的對應點恰好落在直線上時，點B的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先求得點，的坐標，根據(jù)平移后縱坐標相等，求得點的坐標，進而求得平移距離，即可求得點的坐標．【詳解】解：如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，過點作軸，與的延長線交于點，則四邊形是矩形，設，則，又，∵，∴中，將△AOB向右平移，當點C的對應點恰好落在直線上時，解得平移點的對應點的坐標為．故選B【總結】本題考查了坐標與圖形，平移的性質，一次函數(shù)的性質，平行線分線段成比例，求得點的坐標是解題的關鍵．8.在平面直角坐標系中，已知兩點，，先將線段向右平移1個單位，再向上平移1個單位，然后以原點為位似中心，將其縮小為原來的，得到線段，則點的對應點的坐標為（）A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】先根據(jù)平移得出點A平移后的坐標，再根據(jù)關于原點成位似變換的點的坐標特點即可求出答案.【詳解】解：∵點A平移后的坐標為（8，6），∴以原點O為位似中心，位似比為的對應點C的坐標為（8，6）或（8，6），即C的坐標為（4，3）或（－4，－3）.故選B.【總結】本題考查了坐標系中的平移與位似變換.掌握平移和位似變換的性質是解題的關鍵.9.如圖，在平面直角坐標系中Rt△ABC斜邊BC在x軸上，點B坐標為（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先繞B點順時針旋轉180°，然后再向下平移2個單位，則A點的對應點A′的坐標為（）A.（﹣4，﹣2﹣） B.（﹣4，﹣2+） C.（﹣2，﹣2+） D.（﹣2，﹣2﹣）【答案】D【解析】本題主要考查了直角三角形的性質，勾股定理