2.2直線的方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：點(diǎn)斜式直線方程 2題型二：斜截式直線方程 3題型三：兩點(diǎn)式直線方程 4題型四：截距式直線方程 5題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式 7題型六：直線的一般式方程 8題型七：直線方程的綜合應(yīng)用 9題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn) 12題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題 12題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用 15【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 18【高考真題】 28【題型歸納】題型一：點(diǎn)斜式直線方程1．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角等于直線的傾斜角的一半，則直線的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則斜率，又，故，設(shè)直線的的傾斜角為，則，直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的點(diǎn)斜式方程為：.故答案為：.2．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線過點(diǎn)（,4），傾斜角為，則直線的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【解析】因?yàn)閮A斜角為，故直線斜率，又直線過點(diǎn)（,4），所以直線的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：3．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線的斜截式方程為；與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程為.【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，與直線平行的直線的斜率為，與直線垂直的直線斜率為.由得，由兩直線平行知.所以所求直線方程為，即；由兩直線垂直知，所以與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：;4．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則l的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【解析】依題意直線的傾斜角為或，所以直線的斜率或，所以直線方程為；故答案為：5．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，且，則直線l的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【解析】因?yàn)椋裕剩种本€l經(jīng)過點(diǎn)，故直線l的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：.題型二：斜截式直線方程6．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）與直線垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為；它與y軸的交點(diǎn)為.【答案】【解析】設(shè)所求直線斜率為k，則，即，又在y軸上的截距為4，則直線為，與y軸交點(diǎn)為.故答案為：；.7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）傾斜角為，且過點(diǎn)的直線斜截式方程為．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，則直線的斜率，所以直線的方程，即.故答案為：.8．（2024·高二·重慶南岸·期中）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】斜率，點(diǎn)斜式方程為，斜截式方程為.故選：A9．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗蟮闹本€與直線垂直，所以，得.設(shè)所求直線為,又因?yàn)樗笾本€在x軸上的截距為2即過點(diǎn)，求得,所以所求直線的斜截式方程為，故選：B.題型三：兩點(diǎn)式直線方程10．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程（

）A．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式B．可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式C．可以寫成點(diǎn)斜式或截距式D．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式或斜截式或點(diǎn)斜式【答案】B【解析】由于直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，所以直線的斜率存在，且直線上任意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)都不相同，所以直線能寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式．由于直線在坐標(biāo)軸上的截距有可能為0，所以直線不一定能寫成截距式．故選：B11．（2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程是．【答案】【解析】由題意，不和坐標(biāo)軸垂直，符合兩點(diǎn)式方程的使用條件，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，兩點(diǎn)式方程為：，于是直線的兩點(diǎn)式方程為：.故答案為：12．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）過點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為．【答案】【解析】過點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為故答案為：13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)?的直線的兩點(diǎn)式方程為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)?，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，可得，即，所以直線的兩點(diǎn)式方程為.故答案為：.題型四：截距式直線方程14．（2024·高二·山西太原·期末）直線在軸和軸上的截距分別為（

）A．，2 B．，2 C．， D．，【答案】B【解析】直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸和軸上的截距分別為，2.故選：B15．（2024·高二·天津南開·階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為y=2x，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故C項(xiàng)正確.故選：C.16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直線過點(diǎn)(2,1)，且橫截距、縱截距滿足，則該直線的方程為（

）A．2x+y5=0 B．x+2y4=0C．x2y=0或x+2y4=0 D．x2y=0或2x+y5=0【答案】C【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，因?yàn)橹本€過點(diǎn)(2,1)，所以，即，則直線方程為：；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)（2，1），所以，則，所以直線方程為，即，綜上：直線的方程為：x2y=0或x+2y4=0，故選：C題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D18．（2024·高二·江蘇徐州·期中）直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】因A、兩點(diǎn)在x軸和軸上，設(shè)，因是線段的中點(diǎn)，則，故直線的截距式方程為：.故答案為：.19．（2024·高一·內(nèi)蒙古包頭·期末）直線被直線和所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)直線與和，分別交于點(diǎn)和，因?yàn)樗氐玫木€段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，解得，所以和，則，可得直線的方程為，即.故答案為：.20．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）直線l過點(diǎn)，且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)（A?B不重合），若點(diǎn)M恰為線段的中點(diǎn)，則直線l的方程為.【答案】.【解析】由題意，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，則直線l的方程為：.故答案為：.題型六：直線的一般式方程21．（2024·高二·江蘇徐州·開學(xué)考試）過點(diǎn)且斜率為1的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得直線為，化簡得.故選：D22．（2024·高二·新疆昌吉·階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)且斜率為，所以直線方程為，即.故選：D.23．（2024·高二·江蘇淮安·期末）直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線與，軸圍成的三角形面積為.【答案】【解析】直線的斜率為，故直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與，軸圍成的三角形面積為.故答案為：24．（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）若原點(diǎn)在直線上的射影為，則直線的一般式方程為．【答案】【解析】因?yàn)椋裕瑒t直線的方程為，即.故答案為：25．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）寫出滿足下列條件的直線的方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)和；(2)平行于向量，并且經(jīng)過點(diǎn)．【解析】（1）由已知條件可知直線的一個(gè)方向向量，直線的一個(gè)法向量．因此可設(shè)直線的一般式方程為，代入，得，所求直線的方程為．（2）所求直線平行于向量，所求直線的斜率為．又直線經(jīng)過點(diǎn)，所求直線的方程為，整理得．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用26．（2024·高一·廣西桂林·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，求：(1)所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程.【解析】（1）由，，得直線的斜率為，所以所在直線的方程為，即.（2）由（1）知，直線的斜率為，而，則邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，即.27．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.(1)求BC邊上的中線AD所在直線方程；(2)求BC邊上的高AE所在直線方程.【解析】（1）由題意可知，作出圖形如圖所示因?yàn)椋訠C的中點(diǎn)為，因?yàn)樵贐C邊上的中線上，所以所求直線方程為，即.即BC邊上的中線所在直線的方程為.（2）由題意可知，作出圖形如圖所示因?yàn)椋灾本€BC的斜率為，因?yàn)锽C邊上的高所在直線與直線BC垂直，所以BC邊上的高所在直線的斜率為，因?yàn)樵贐C邊上的高上，所以所求直線方程為，即.即BC邊上的高所在直線的方程為.28．（2024·高二·黑龍江大慶·期中）已知?jiǎng)又本€和是兩直線的交點(diǎn)，是兩直線和分別過的定點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】直線，即，所以直線過定點(diǎn).直線，即，所以直線過定點(diǎn).所以，由于，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：29．（2024·高二·河南南陽·期中）在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由題意，，又，故，解得，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以直線的方程為，即；（2）設(shè)所求直線為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，直線的斜率為，由于直線與垂直，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即．題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)30．（2024·高二·福建廈門·期中）不論k為何實(shí)數(shù)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【解析】直線即，令，得，所以直線恒過定點(diǎn).故答案為：.31．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)m變化時(shí)，直線（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒過定點(diǎn).【答案】（－1，－1）【解析】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化為（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定點(diǎn)坐標(biāo)是（－1，－1）.【考查意圖】直線過定點(diǎn).32．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線經(jīng)過的定點(diǎn)是．【答案】【解析】由，則，得，直線過定點(diǎn).故答案為：題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題33．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知直線過點(diǎn)且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求三角形面積取最小值時(shí)直線的方程；(2)求取最小值時(shí)直線的方程．【解析】（1）由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值，所以面積，所以當(dāng)，時(shí)，面積最小，此時(shí)直線的方程為，即，（2）因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，的值最小，此時(shí)直線的方程為，即．34．（2024·高一·浙江寧波·期末）已知直線.(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.【解析】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為，即.35．（2024·高二·天津靜海·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.【解析】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí),解得,化為.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，則直線斜率為1，故,解得,可得直線的方程為:.綜上所述，直線的方程為或.（2）,∵不經(jīng)過第二象限,∴,解得.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.綜上有.∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值是6，此時(shí)直線方程，即題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用36．（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）一根鐵棒在40℃時(shí)長12.506m，在80℃時(shí)長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個(gè)方程，并根據(jù)這個(gè)方程求出這根鐵棒在100℃時(shí)的長度．【解析】依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：，是常數(shù)，于是得，解得，則l與t的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，所以所求直線的方程為，鐵棒在100℃時(shí)的長度是m.37．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）一河流同側(cè)有兩個(gè)村莊A，B，兩村莊計(jì)劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？【解析】如圖，以河流所在直線為x軸、y軸通過點(diǎn)A，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0，300)，B(x，700)．設(shè)點(diǎn)B在y軸上的射影為H，則x＝|BH|＝＝300，故點(diǎn)B(300，700)．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，－300)，則直線A′B的斜率k＝，直線A′B的方程為y＝x－300.令y＝0，得x＝90，得點(diǎn)P(90，0)，故水電站建在P(90，0)處電線用料最省．38．（2024·高二·上海浦東新·期中）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)矩形的草坪，其中，點(diǎn)Q在上，且，，經(jīng)測量，，，．（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，求線段所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大，確定此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)并求出此最大面積（精確到）【解析】（1）由題意得，所以線段所在直線的方程為，即；（2）設(shè)，則草坪的占地面積故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．39．（2024·高二·上海浦東新·期中）足球比賽中，攻方隊(duì)員在守方隊(duì)員的逼搶下，其行進(jìn)路線可看作一條直線，已如球門兩根立柱的坐標(biāo)分別為，，直線過兩點(diǎn)，．球場的長度、寬度分別100，60（單位：米）．現(xiàn)攻方隊(duì)員在行進(jìn)過程中尋求機(jī)會(huì)射門，其位置用點(diǎn)表示，（1）若以攻方隊(duì)員與球門中心（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離最近為標(biāo)準(zhǔn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若以攻方隊(duì)員對(duì)球門范圍的視角最大（即最大）為標(biāo)準(zhǔn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，由于直線過兩點(diǎn)，，故直線的方程為，化簡得.（1）當(dāng)直線時(shí)，攻防隊(duì)員與球門中心的距離最近，直線的方程為.由解得.（1）設(shè)，則，①當(dāng)，時(shí)，軸，.②當(dāng)，時(shí)，軸，.③當(dāng)且時(shí)，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，也即取得最大值，此時(shí).【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)與A、B不重合，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，有，故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為故選:2．（2024·高二·北京西城·期中）任意的，直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋矗灾本€恒過定點(diǎn).故選：C.3．（2024·高二·廣東廣州·期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的斜率，則該直線的傾斜角為.故選：B.4．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）若直線的傾斜角為，則直線的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的傾斜角為，直線的斜率，直線的一個(gè)方向向量為，則直線的一個(gè)法向量為．故選：B.5．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．不能表示過點(diǎn)Mx1,yB．在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為C．直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為bD．設(shè)，，若直線與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由可知，所以不過點(diǎn),，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，在軸、軸上的截距分別為0的直線不可用表示，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：直線與軸的交點(diǎn)為，到原點(diǎn)的距離為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：直線方程可化為，恒過定點(diǎn)，畫出圖形，如圖所示，

，，若直線與線段有交點(diǎn)，則，或，即或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A．6．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)到直線距離的最大時(shí)，直線l的一般式方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€，所以可將直線方程變形為，，解得，，由此可得直線系恒過點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于，，直線的斜率為，，，直線的一般方程為．故選：A7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線的圖象如圖，則（）A．若，則， B．若，則，C．若，則， D．若，則，【答案】C【解析】易知，由直線，可得，根據(jù)圖象可得，，若，則，；若，則，．故選：C8．（2024·高二·廣東佛山·期中）過點(diǎn)的直線可表示為，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】可化為①，要使與兩坐標(biāo)軸能圍成三角形，則且，由①令得；令得，依題意，，所以或,所以或，設(shè)，則或，則或解得或，即或，即或，所以這樣的直線有條.故選：D9．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為3，C選項(xiàng)中的直線斜率符合；當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為，B選項(xiàng)中的直線斜率符合.故選：BC10．（多選題）（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．方程與方程可表示同一直線C．經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為D．過兩點(diǎn)的直線都可用方程表示【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；對(duì)于B，表示過點(diǎn)斜率為k的直線，但不含點(diǎn)，而表示過點(diǎn)斜率為k的直線，且含點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：經(jīng)過點(diǎn)，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示經(jīng)過任意兩點(diǎn)Px1,y1、故選：AD.11．（多選題）（2024·高二·安徽六安·期末）已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）A．始終過定點(diǎn) B．若，則或C．若，則或2 D．當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：：，令，得，過點(diǎn)，A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，得或2，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，：始終過，斜率為負(fù)，不會(huì)過第三象限，故D正確.故選：ACD12．（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）已知直線不過第一象限，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，故直線不過原點(diǎn)，則直線一定通過三個(gè)象限，而直線不過第一象限，故其必過第二，三，四象限，得到，解得.故答案為：13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線l過原點(diǎn)，且垂直于向量．若角的終邊落在直線l上，則．【答案】/【解析】因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)，且垂直于向量，所以直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，所以若角的終邊落在直線l上，則，．故答案為：14．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為.【答案】6x－5y－9＝0【解析】先計(jì)算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，根據(jù)解得答案.由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，聯(lián)立直線AC與直線CM方程得解得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（4，3）.設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，聯(lián)立解得所以頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，－3）.于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.故答案為：6x－5y－9＝015．（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長.【解析】（1）證明：由可得：，令，所以直線過定點(diǎn)．（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)為，令x=0，得；令，得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小，此時(shí)，，，的周長為.所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長為.16．（2024·高二·廣西·開學(xué)考試）已知直線，直線.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）因?yàn)椋裕淼媒獾没?當(dāng)時(shí)，重合；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故.（2）因?yàn)椋越獾没?17．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)．(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線方程；(2)若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．【解析】（1）直線，則直線過定點(diǎn)，①當(dāng)，時(shí)，設(shè)的方程為．點(diǎn)在直線上，．若，則，直線的方程為，若，則，，直線的方程為；②當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)，直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或；（2）令，則；令，則，直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為24，此時(shí)，直線．18．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線.(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述.19．（2024·高二·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求直線的方程.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，且由，得，由直線過點(diǎn)，得，解得，所以直線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，且直線不經(jīng)過原點(diǎn)，由題意知，，，解得或，所以直線的方程為或.20．（2024·高二·浙江·階段練習(xí)）已知，由確定兩個(gè)點(diǎn).(1)寫出直線的方程（答案含）；(2