第04講單位圓與三角函數線課程標準學習目標1．了解三角函數線的意義，能用三角函數線表示一個角的正弦、余弦和正切．(重點)2．能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題．1．通過三角函數線概念的學習，培養學生的數學抽象和直觀想象核心素養．2．借助三角函數線的應用，培養學生的邏輯推理及直觀想象核心素養.知識點01正弦線與余弦線1、單位圓與三角函數：在平面直角坐標系中，坐標滿足的點做成的集合，角的終邊與單位圓相交于點，如圖，則，，，則角的終邊與單位圓的交點為2、三角函數線綜合圖示（1）過角的終邊與單位圓的交點作軸的垂線，垂足為；（2）角的終邊（或其反向延長線）與直線交于點。3、正弦線的定義：為角的正弦線的方向與軸的正方向相同時，表示是正數，且；的方向與軸的正方向相反時，表示是負數，且。4、余弦線的定義：為角的余弦線的方向與軸的正方向相同時，表示是正數，且；的方向與軸的正方向相反時，表示是負數，且。【即學即練1】（2024高一上·江蘇·專題練習）如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（）A．正弦線為，正切線為B．正弦線為，正切線為C．正弦線為，正切線為D．正弦線為，正切線為知識點02正切線1、正切線的定義：為角的正切線當角的終邊在第二、三象限或軸的負半軸上，終邊與直線沒有交點，但終邊的反向延長線與有交點，而且交點的縱坐標也正好是角的正切值。2、三角函數線的特征（1）位置：三條三角函數線中有兩條在以坐標為原點的單位圓內，一條以坐標原點為圓心的單位圓外；（2）方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向軸上的垂足；正切線由切點指向切線與的終邊（或其反向延長線）的交點；（3）正負：三條三角函數線的正負可簡記為“同向為正，反向為負”；（4）書寫：起點（比如點）在前，終點（比如點）在后，寫為【即學即練2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）角和角有相同的（

）A．正弦值 B．余弦值 C．正切線 D．不能確定題型01三角函數線的作法【典例1】（24-25高一上·全國·課前預習）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線.(1)；(2).【變式1】（24-25高一上·上海·課前預習）請作出下列各角的正弦線：(1)；(2)；(3).【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）已知，在單位圓中角θ的正弦線、余弦線、正切線分別是，則它們的大小關系是（

）A． B．C． D．題型02利用三角函數線比較大小【典例2】（（24-25高一上·全國·課后作業）把，，，由小到大排列為．【變式1】（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知，那么下列命題不成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則【變式2】（24-25高一下·全國·課后作業）利用正弦線比較的大小關系是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·北京·期中）若，則下列關系中正確的是（

）A． B．C． D．題型03利用三角函數線解不等式【典例3】（24-25高一下·廣西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合為（

）A． B．C． D．【變式1】（2024高一·全國·專題練習）使不成立的x的一個變化區間是（

）A． B．C． D．【變式2】若，且，，利用三角函數線，得到的取值范圍是.【變式3】（23-24高一下·上海·假期作業）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；題型04利用三角函數線證明不等式【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業）應用單位圓證明：若，則.【變式1】（2024高一·上海·專題練習）若，證明：(1)；(2).題型05新定義問題【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數，正割函數，余割函數，正矢函數，余矢函數.如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．【變式1】（23-24高一下·湖北·期末）如圖所示，角（）的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊與單位圓的交點為，分別過點作軸的垂線，過點作軸的垂線交角的終邊于，，根據三角函數的定義，．現在定義余切函數，滿足，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．一、單選題1．已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則的終邊在（）A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、第四象限的角平分線上D．第一、第三象限的角平分線上2．如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，PM⊥x軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT3．（23-24高一下·上海·假期作業）若，，則，的大小關系為（

）A． B． C． D．不能確定4．如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于直線對稱 D．關于原點對稱5．在上，利用單位圓，得到不成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．,,的大小關系是A． B．C． D．7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪8．已知，，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（）A．一定時，單位圓中的正弦線也一定 B．在單位圓中，有相同正弦線的角相等C．和有相同的余弦線 D．具有相同正切線的兩角的終邊在同一條直線上10．（23-24高一下·浙江杭州·開學考試）下列不等式中，正確的是（

）．A． B．C． D．11．如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與x軸正半軸交于點．已知點在圓O上，點T的坐標是，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．若，則三、填空題12．函數ylg(2sinx－1)＋的定義域為.13．已知角，則的大小關系為．第04講單位圓與三角函數線課程標準學習目標1．了解三角函數線的意義，能用三角函數線表示一個角的正弦、余弦和正切．(重點)2．能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題．1．通過三角函數線概念的學習，培養學生的數學抽象和直觀想象核心素養．2．借助三角函數線的應用，培養學生的邏輯推理及直觀想象核心素養.知識點01正弦線與余弦線1、單位圓與三角函數：在平面直角坐標系中，坐標滿足的點做成的集合，角的終邊與單位圓相交于點，如圖，則，，，則角的終邊與單位圓的交點為2、三角函數線綜合圖示（1）過角的終邊與單位圓的交點作軸的垂線，垂足為；（2）角的終邊（或其反向延長線）與直線交于點。3、正弦線的定義：為角的正弦線的方向與軸的正方向相同時，表示是正數，且；的方向與軸的正方向相反時，表示是負數，且。4、余弦線的定義：為角的余弦線的方向與軸的正方向相同時，表示是正數，且；的方向與軸的正方向相反時，表示是負數，且。【即學即練1】（2024高一上·江蘇·專題練習）如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（）A．正弦線為，正切線為B．正弦線為，正切線為C．正弦線為，正切線為D．正弦線為，正切線為【答案】D【分析】根據三角函數線的定義得到答案.【詳解】角在第三象限，故正弦線為，正切線為.知識點02正切線1、正切線的定義：為角的正切線當角的終邊在第二、三象限或軸的負半軸上，終邊與直線沒有交點，但終邊的反向延長線與有交點，而且交點的縱坐標也正好是角的正切值。2、三角函數線的特征（1）位置：三條三角函數線中有兩條在以坐標為原點的單位圓內，一條以坐標原點為圓心的單位圓外；（2）方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向軸上的垂足；正切線由切點指向切線與的終邊（或其反向延長線）的交點；（3）正負：三條三角函數線的正負可簡記為“同向為正，反向為負”；（4）書寫：起點（比如點）在前，終點（比如點）在后，寫為【即學即練2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）角和角有相同的（

）A．正弦值 B．余弦值 C．正切線 D．不能確定【答案】D【分析】根據角和角的終邊在一條直線上，結合正切線的作法可得兩個角有相同的正切線，得到答案.【詳解】因為，可知角和角的終邊互為反向延長線，即兩個角的終邊在同一條直線上，設為直線，因此，過點作單位圓的切線，與直線有且只有一個交點，可得，都等于有向線段的長，即兩角有相同的正切線.

題型01三角函數線的作法【典例1】（24-25高一上·全國·課前預習）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線.(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】根據三角函數線概念，結合單位圓和三角函數概念畫圖即可.【詳解】（1）如圖，有向線段DP，OD，AT分別表示的正弦線、余弦線、正切線.（2）如圖，有向線段DP，OD，AT分別表示的正弦線、余弦線、正切線.【變式1】（24-25高一上·上海·課前預習）請作出下列各角的正弦線：(1)；(2)；(3).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】根據正弦線的作法即可作出（1）（2）的正弦線；（3）在上，和終邊相同的角是，再作出正弦線即可.【詳解】（1）如圖所示，正弦線為（2）如圖所示，正弦線為（3）因為，所以的正弦線和的正弦線一樣，如圖所示，正弦線為【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）已知，在單位圓中角θ的正弦線、余弦線、正切線分別是，則它們的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根據角的范圍，畫出的終邊大概所在位置，結合三角函數線的定義即可求解.【詳解】畫出圖象如下圖所示，由圖可知，.題型02利用三角函數線比較大小【典例2】（（24-25高一上·全國·課后作業）把，，，由小到大排列為．【答案】【分析】由三角函數的定義，利用三角函數線即可比較大小.【詳解】如圖所示，在平面直角坐標系中,以為圓心作單位圓，分別作出已知角，則，，，．而，∴，∴．故答案為：【變式1】（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知，那么下列命題不成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則【答案】A【分析】根據題意，結合三角函數線，以及三角函數的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函數線，如圖1所示，則，因為，所以，所以A錯誤；

對于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函數線得到有向線段，如圖2所示，則，所以，所以B錯誤；

對于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函數線得到有向線段，如圖3所示，則，所以，所以C錯誤；

對于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函數線得到有向線段，如圖4所示，則，所以，所以D正確..

【變式2】（24-25高一下·全國·課后作業）利用正弦線比較的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據正弦線的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，在單位圓中，觀察正弦線可知，在區間，的長度隨著增大而增大，所以

【變式3】（23-24高一下·北京·期中）若，則下列關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意，在坐標系畫出單位圓，并且作出角的正弦線、余弦線和正切線，再由的范圍比較三角函數線的大小即可.【詳解】由三角函數線定義作出如圖：是角的終邊，圓是單位圓，則，，，，，即.題型03利用三角函數線解不等式【典例3】（24-25高一下·廣西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知條件，結合余弦函數的圖象，即可求解．【詳解】由，則，又，所以所求集合為．．【變式1】（2024高一·全國·專題練習）使不成立的x的一個變化區間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據三角函數線，即可得出相應的區間.【詳解】當x的終邊落在如圖所示的陰影部分時，滿足．

【變式2】若，且，，利用三角函數線，得到的取值范圍是.【答案】【分析】根據單位圓及三角函數線直接求解即可.【詳解】如圖所示單位圓，由于，，若終邊為（不可取），所以滿足，且，，所以的取值范圍是.

故答案為：【變式3】（23-24高一下·上海·假期作業）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；【答案】（1）；（2）或【分析】（1）畫出畫出單位圓中三角函數線，結合圖象可得.

（2）畫出畫出單位圓中三角函數線，結合圖象可得或.【詳解】（1）由可知，角x對應的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，

可知角的終邊可能是，也可能是，又因為，所以或，再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，因此，滿足條件的角的取值范圍.（2）畫出單位圓中三角函數線，如圖．由圖可知角的范圍是：或.題型04利用三角函數線證明不等式【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業）應用單位圓證明：若，則.【答案】證明見解析【分析】通過三角函數線可得：，，，則只需比較，，的大小，轉換為面積，即可得到大小關系，得證.【詳解】證明：如圖，由三角函數線得：，，，

∵，∴，∴，即.【變式1】（2024高一·上海·專題練習）若，證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用正切線與余弦線的定義，結合三角形兩邊之和大于第三邊即可得證；（2）利用三角函數線的定義，結合三角形與扇形的面積大小即可得證.【詳解】（1）如圖，在平面直角坐標系中作出角，角的正弦線和余弦線.

由，為直角三角形，且，，，在中，，所以.（2）如圖，，分別為角的正弦線和正切線，連結，

由，顯然有，而，，，所以，即.題型05新定義問題【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數，正割函數，余割函數，正矢函數，余矢函數.如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用單位圓以及三角函數的定義可知，，，然后結合新定義簡單計算可判斷各個選項.【詳解】根據題意，易得，對于A，因為，即，故A錯誤；對于B，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，故D錯誤..【變式1】（23-24高一下·湖北·期末）如圖所示，角（）的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊與單位圓的交點為，分別過點作軸的垂線，過點作軸的垂線交角的終邊于，，根據三角函數的定義，．現在定義余切函數，滿足，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形相似，即可求解.【詳解】由圖象可知，，則，即，所以.一、單選題1．已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則的終邊在（）A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、第四象限的角平分線上D．第一、第三象限的角平分線上【答案】D【分析】由題意可知角終邊上的點的縱坐標和橫坐標互為相反數，即可得出答案.【詳解】因為角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，所以角終邊上的點的縱坐標和橫坐標互為相反數，所以的終邊在第二、第四象限的角平分線上..2．如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，PM⊥x軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT【答案】A【分析】根據題圖及三角函數線的定義判斷角的正弦線?余弦線?正切線.【詳解】由題圖知：圓O為單位圓，則，且，故角的正弦線?余弦線?正切線分別是有向線段MP，OM，AT.3．（23-24高一下·上海·假期作業）若，，則，的大小關系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】作出的正弦線、余弦線，即可判斷.【詳解】因為，作出的正弦線，余弦線，所以，，所以，即．4．如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于直線對稱 D．關于原點對稱【答案】A【分析】由單位圓中的余弦線即可求解.【詳解】如圖：角的終邊與單位圓相交于點，過點作軸于點，由三角函數線的定義可知：，由圖知：設角的終邊與單位圓相交于點，當角的終邊與角的終邊關于軸對稱時，過點作軸的垂線，則垂足為點，所以，所以當角與的終邊關于軸對稱時，，.5．在上，利用單位圓，得到不成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正余弦、正切函數的定義，應用數形結合判斷即可.【詳解】如圖所示，在單位圓中，設，則，，，由圖形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒不成立，即在第一象限恒不成立，以為分界線，當時，即，當時，即；綜上在第一象限無解；由圖形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限無解；由圖形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限無解；有圖形可得在第四象限大于0，小于0，且恒不成立，即在恒不成立，所以在第四象限的解為，綜上在的解集為，6．,,的大小關系是A． B．C． D．【答案】A【分析】在單位圓中作出1弧度角的正弦線、余弦線、正切線，由圖可觀察出它們的大小．【詳解】如圖所示,作出1弧度角的正弦線?余弦線?正切線分別為,,,由圖知,,,且,所以..

【點睛】本題考查三角函數線的應用．三角函數線可能用來求三角函數值，解三角不等式，比較三角函數式的大小等．7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】A【分析】根據題意，畫出三角函數線，找出角度范圍，即可表示.【詳解】角α的取值范圍為圖中陰影部分如下所示吧：

即∪故選：.【點睛】本題考查由三角函數值的范圍，求角度的范圍，涉及三角函數線的應用，屬基礎題.8．已知，，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，故可得，由指數函數和冪函數的單調性即可比較大小.【詳解】因為，故可得，根據指數函數是單調減函數，可得，即可得；根據冪函數是單調增函數，可