高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省騰云聯盟2025屆高三上學期12月聯考(一模)數學試卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，因為，所以，所以，解得，即的取值范圍是，故選：C.2.已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.的焦點在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長軸長是短軸長的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對于A選項，橢圓的焦點在軸上，A錯誤；對于B選項，橢圓的焦距，B錯誤；對于C選項，橢圓離心率為，C正確；對于D選項，橢圓的長軸長為，橢圓的短軸長為，的長軸長是短軸長的倍，D錯誤.故選：C.3.展開式中含項的系數為（）A.40 B. C.20 D.【答案】B【解析】展開式的通項為，所以令，解得，所以展開式中含項的系數為，故選：B.4.高三教學樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵著同學們專心學習，每天進步一點點，時間會給我們帶來驚喜.如果每天的進步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進步”是“落后”的230萬倍，現張三同學每天進步，李四同學每天落后，假設開始兩人相當，則大約（）天后，張三超過李四的100倍（參考數據：）A.7 B.17 C.27 D.37【答案】B【解析】經過天后，張三超過李四的100倍，所以，兩邊取以10為底的對數得，所以，又，所以,所以大約17天后，張三超過李四的100倍.故選：B5.已知函數是減函數，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因為函數是減函數，所以對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.6.已知實數滿足，則最大值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當且僅當，即時取等號，，即最大值為2，故選：A.7.已知數列為等比數列，，若的前9項和為，則數列的前9項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記數列公比為且，則，故，所以公比也為，則前9項和.故選：D8.設雙曲線的左?右焦點分別為，左?右頂點為，已知為雙曲線一條漸近線上一點，若，則雙曲線的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因雙曲線C:x2a2由雙曲線的對稱性不妨設，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.，兩邊平方得，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列關于向量與復數的說法正確的有（）A.若復數滿足，則B.若復數滿足，則C.若，則或D.若，則或【答案】BD【解析】對于A，，滿足，但，顯然，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，若是兩個單位向量，有，但兩個單位向量的方向可以任意，即可不共線，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，所以或，故D正確.故選：BD.10.已知函.（）A.的最小值為B.在區間上單調遞減C若當時，取得極大值，則D.若在區間恰有3個零點，則【答案】ACD【解析】對于A，易知，由二次函數性質可得當時，取得最小值為，即A正確；對于B，當有正負，可知B選項錯誤，對于C，由B可知當時，單調遞增，當時，單調遞減；所以當時，取得極大值時，即C正確；對于D，易知，當時，由正弦函數圖象性質可得有3個零點時滿足，解得，即D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數分別滿足：為偶函數，，則下列結論正確的是（）A.函數為周期函數B.C.的圖像關于點中心對稱D.【答案】ACD【解析】對于A，由可得，即的周期為2，A正確.對于B，因為為偶函數，令可得無法確定，B錯誤，對于C，因為為偶函數，所以，可得，因此關于點中心對稱，即C正確；對于D，，，累加可得，所以，即D正確.故選：ACD三?填空題：本題共13小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則__________.【答案】【解析】易知直線的斜率存在且為，由可知，且，所以.故答案為：13.已知三棱錐的四個頂點都在球體的表面上，若，且，則球體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖所示：取的中點，連接，因為，所以，又，，所以，因為，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又是的外心，所以三棱錐的外接球球心在直線上，設，則，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以球體的表面積為.故答案為：.14.已知中，①__________；②為邊的中點，若，則__________.【答案】①.②.【解析】，即由正弦定理角化邊可得由余弦定理可得；設由余弦定理結合①得在中，在中，所以，即，，等式兩邊同時除以可得，解得或（舍去），所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數列滿足.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，求數列的前項和.（1）證明：因為，所以，所以，所以，又，所以是以1為首項，1為公差的等差數列.（2）解：由（1）可知令對照系數可得（其中），16.已知.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間內存在極小值點，求的取值范圍.解：（1）當時，，可得所以，又，所以切線方程：，即.（2）由已知得1.若，，當時，，上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以在取得最小值，符合題意.2.若，i）若即，當，所以在上單調遞減，當，所以在上單調遞增，所以在取得最小值，ii）當，，所以無極值，不符合題意，iii）當即，當，所以在上單調遞減，當，所以在上單調遞增，所以在取得極小值符合.3.若，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，在取得極小值，符合題意；綜上所述：的取值范圍為.17.如圖，在平行四邊形中，為的中點，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動點.（1）若為的中點，證明：在翻折過程中均有平面；（2）若，①證明：平面平面；②記四棱錐體積為，三棱錐的體積為，若，求點到平面的距離.（1）證明：取PA中點G，連FG，EG，因為分別為的中點，則∥，且，由題意可知：∥，且，則∥，且，可知四邊形CFGE為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）①證明：在四邊形中，連接，由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，則，且，則，可知，即，且，若，且，則，可知，且，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面；②解；取中點，中點，連，則，∥，可得，因為為等邊三角形，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平行四邊形的高即為等邊的高，設點到平面的距離為，若，則，解得，即，可知為中點，以為原點，OA，OH，別為軸建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，可得，所以點到平面的距離.18.如圖，已知拋物線，過點作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當時，為的中點.（1）求拋物線的方程；（2）若，證明：；（3）若直線過點，證明：直線過定點，并求出該定點坐標.（1）解：當時，，聯立消去，可得，設，拋物線C方程為：.（2）證明：由題知，設，，代入拋物線可得，，又，同理.（3）證明：因為，所以，代入點得①，設，同理，過點②，結合①②可得又因為所以，整理得所以直線過定點.19.在某一次聯考中，高三（9）班前10名同學的數學成績和物理成績如下表：學生編號12345678910數學成績11613112412612111010699118117數學名次71324891056物理成綃80787981746563707384物理名次35426910871（1）從這10名同學任取一名，已知該同學數學優秀（成績在120分（含）以上），則該同學物理也優秀（物理成績在78分（含）以上）的概率；（2）已知該校高中生的數學成績，物理成績，化學成績兩兩成正相關關系，經計算這10名同學的數學成績和物理成績的樣本相關系數約為0.8，已知這10名同學物理成績與化學成績的樣本相關系數約為，分析相關系數的向量意義，求的樣本相關系數的最大值.（3）設為正整數，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同，按照由大到小的順序，記在中排名是位在中的排名是位.定義變量和變量的斯皮爾曼相關系數（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數.記，其中，證明：，并用上述公式求這組學生的數學成頻和物理成績的斯皮爾曼相關系數（精確到0.01）（參考公式：相關系數）（1）解：由題意可得數學優秀的學生有4名，這4名中物理優秀的有3名同學，由條件根概率公式可得；（2）解：分析r的向量意義，設，則，分別令的樣本相關系數，的樣本相關系數，與的樣本相關系數為，則，，，，夾角余弦值最大值為；（3）證明:都是一個排列，同理.結合圖表湖北省騰云聯盟2025屆高三上學期12月聯考(一模)數學試卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，因為，所以，所以，解得，即的取值范圍是，故選：C.2.已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.的焦點在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長軸長是短軸長的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對于A選項，橢圓的焦點在軸上，A錯誤；對于B選項，橢圓的焦距，B錯誤；對于C選項，橢圓離心率為，C正確；對于D選項，橢圓的長軸長為，橢圓的短軸長為，的長軸長是短軸長的倍，D錯誤.故選：C.3.展開式中含項的系數為（）A.40 B. C.20 D.【答案】B【解析】展開式的通項為，所以令，解得，所以展開式中含項的系數為，故選：B.4.高三教學樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵著同學們專心學習，每天進步一點點，時間會給我們帶來驚喜.如果每天的進步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進步”是“落后”的230萬倍，現張三同學每天進步，李四同學每天落后，假設開始兩人相當，則大約（）天后，張三超過李四的100倍（參考數據：）A.7 B.17 C.27 D.37【答案】B【解析】經過天后，張三超過李四的100倍，所以，兩邊取以10為底的對數得，所以，又，所以,所以大約17天后，張三超過李四的100倍.故選：B5.已知函數是減函數，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因為函數是減函數，所以對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立，所以，又，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.6.已知實數滿足，則最大值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當且僅當，即時取等號，，即最大值為2，故選：A.7.已知數列為等比數列，，若的前9項和為，則數列的前9項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記數列公比為且，則，故，所以公比也為，則前9項和.故選：D8.設雙曲線的左?右焦點分別為，左?右頂點為，已知為雙曲線一條漸近線上一點，若，則雙曲線的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因雙曲線C:x2a2由雙曲線的對稱性不妨設，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.，兩邊平方得，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列關于向量與復數的說法正確的有（）A.若復數滿足，則B.若復數滿足，則C.若，則或D.若，則或【答案】BD【解析】對于A，，滿足，但，顯然，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，若是兩個單位向量，有，但兩個單位向量的方向可以任意，即可不共線，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，所以或，故D正確.故選：BD.10.已知函.（）A.的最小值為B.在區間上單調遞減C若當時，取得極大值，則D.若在區間恰有3個零點，則【答案】ACD【解析】對于A，易知，由二次函數性質可得當時，取得最小值為，即A正確；對于B，當有正負，可知B選項錯誤，對于C，由B可知當時，單調遞增，當時，單調遞減；所以當時，取得極大值時，即C正確；對于D，易知，當時，由正弦函數圖象性質可得有3個零點時滿足，解得，即D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數分別滿足：為偶函數，，則下列結論正確的是（）A.函數為周期函數B.C.的圖像關于點中心對稱D.【答案】ACD【解析】對于A，由可得，即的周期為2，A正確.對于B，因為為偶函數，令可得無法確定，B錯誤，對于C，因為為偶函數，所以，可得，因此關于點中心對稱，即C正確；對于D，，，累加可得，所以，即D正確.故選：ACD三?填空題：本題共13小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則__________.【答案】【解析】易知直線的斜率存在且為，由可知，且，所以.故答案為：13.已知三棱錐的四個頂點都在球體的表面上，若，且，則球體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖所示：取的中點，連接，因為，所以，又，，所以，因為，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又是的外心，所以三棱錐的外接球球心在直線上，設，則，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以球體的表面積為.故答案為：.14.已知中，①__________；②為邊的中點，若，則__________.【答案】①.②.【解析】，即由正弦定理角化邊可得由余弦定理可得；設由余弦定理結合①得在中，在中，所以，即，，等式兩邊同時除以可得，解得或（舍去），所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數列滿足.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，求數列的前項和.（1）證明：因為，所以，所以，所以，又，所以是以1為首項，1為公差的等差數列.（2）解：由（1）可知令對照系數可得（其中），16.已知.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間內存在極小值點，求的取值范圍.解：（1）當時，，可得所以，又，所以切線方程：，即.（2）由已知得1.若，，當時，，上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以在取得最小值，符合題意.2.若，i）若即，當，所以在上單調遞減，當，所以在上單調遞增，所以在取得最小值，ii）當，，所以無極值，不符合題意，iii）當即，當，所以在上單調遞減，當，所以在上單調遞增，所以在取得極小值符合.3.若，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，在取得極小值，符合題意；綜上所述：的取值范圍為.17.如圖，在平行四邊形中，為的中點，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動點.（1）若為的中點，證明：在翻折過程中均有平面；（2）若，①證明：平面平面；②記四棱錐體積為，三棱錐的體積為，若，求點到平面的距離.（1）證明：取PA中點G，連FG，EG，因為分別為的中點，則∥，且，由題意可知：∥，且，則∥，且，可知四邊形CFGE為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）①證明：在四邊形中，連接，由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，則，且，則，可知，即，且，若，且，則，可知，且，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面；②解；取中點，中點，連，則，∥，可得，因為為等邊三角形，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平行四邊形的高即為等邊的高，設點到平面的距離為，若，則，解得，即，可知為中點，以為原點，OA，OH，別為軸建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，可得，所以點到平面的距離.18.如圖，已知拋物線，過點作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當時，為的中點.（1）