高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市多校2024-2025學年高二上學期12月聯考數學試卷一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數列的一個通項公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】觀察數字規律可知：每項的符號是交替出現，故有，除去符號則為一個以為公比，首項為的等比數列，所以通項公式為：，故整個數列的通項為：，故選：B.2.在等差數列中，，且，則等于（）A.－3 B.－2 C.0 D.1【答案】A【解析】根據題意,設等差數列的公差為d,首項為a1，若,則有+4d=9，又由,則2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=?3；故選A.3.設是等差數列的前項和且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是等差數列，，所以，則，則，即.故選：A.4.如圖，正四棱錐中，為頂點在底面內的投影，為側棱的中點，且，則直線與平面的夾角是（）A.45° B.90° C.30° D.60°【答案】C【解析】如圖，以O為坐標原點，以為x軸，以為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz．設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0，0，a），P（，0，），則（0，﹣2a，0），（，a，），（﹣a，﹣a，0），設平面PAC的一個法向量為，則，，∴，可取（1，0，1），設直線與平面的夾角為，則，由，，故選：C5.若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以故選：A.6.若拋物線過焦點的弦被焦點分成長為m和n兩部分，則m與n的關系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令過焦點的弦為，與拋物線交點分別為A、B，聯立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：C7.過點的直線交拋物線于兩點(異于坐標原點),若，則該直線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設直線的方程為聯立整理化簡可得：，，也即（*）因為，所以，則，或滿足（*）但是當直線方程為時，與拋物線的交點其中一個為坐標原點，不滿足，故舍去．

∴，該直線的方程為即，

故選：.8.在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列,且，，公積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在正方體中，分別是中點．下列結論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】對A：連接，，則交于，又為中點，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對B：連接，，由正方體性質可知平面，可得平面，故B正確；對C：與所成角就是，連接，由正方體性質可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯誤；對D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10.下列說法正確的是（）A.過點且垂直于直線的直線方程為B.過點且在x、y軸截距相等的直線方程為C.曲線過點的最短弦長為；D.直線與曲線有兩個不同交點，則實數的取值范圍【答案】AC【解析】A：與直線垂直的直線斜率為，故所求直線為，即，對；B：若截距不為0時，令直線為，則，此時直線方程為，錯；C：由，是焦點為的拋物線，故過點的最短弦為通徑，長度為，對；D：由過定點，圓上半部分，如下圖，當動直線與半圓的左上方相切時，有，即，得，當動直線過半圓左側端點時，即，結合圖知，，D錯.故選：AC11.若數列滿足，則稱為“平方遞推數列”.已知數列是“平方遞推數列”，且，則（）A.是等差數列 B.是等比數列C.是“平方遞推數列” D.是“平方遞推數列”【答案】BC【解析】對A，因為是“平方遞推數列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數列，A不正確.對B，因為，所以是等比數列，B正確.對C，因為，所以以是“平方遞推數列”，C正確.對D，因為，所以不是“平方遞推數列”，D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數列{}的前n項和為，則=___________．【答案】8【解析】=故答案為813.已知雙曲線左右焦點分別為，，過的直線在第一象限與雙曲線相交于點，與軸的負半軸交于點，且，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】因為且，可設，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知為正方體外接球的球心，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】如圖，在正方體中，為棱的中點，為的中點，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系設正方體的棱長為2，則所以設異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖所示，三個正方形的邊AB、BC、CD的長組成等差數列，且AD＝21cm，這三個正方形的面積之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的長；（2）以AB、BC、CD的長為等差數列的前三項，以第10項為邊長的正方形的面積是多少？解：（1）設公差為，，則，.由題意得，解得或(舍去)．所以，，．（2）正方形的邊長組成首項是，公差是的等差數列，所以，所求正方形的面積為.16.已知橢圓，焦距為2，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的左焦點為，橢圓上A點橫坐標為，求橢圓的長軸長、短軸長及的面積.解：（1）由題意得，解得，故，故橢圓方程為；（2）由題意得F1橢圓的長軸長為，短軸長為，將代入中得，，不妨設，顯然⊥軸，故.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，是邊長為2的正三角形，，平面平面ABCD.（1）求證：；（2）直線PB與平面APD所成角的正弦值；（3）求平面APD與平面PCD夾角的余弦值.解：（1）如圖，取CD的中點，連接OP，，因為是邊長為2的正三角形，所以，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，所以，又，，平面OPB，所以平面OPB，又平面OPB，所以；（2）由（1）得，，因為平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD，如圖，以點為原點，分別以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.因，則，，，設平面PAD的法向量為，則有，令，則，，所以，所以PB與平面APD所成角的正弦值為；（3）因為軸平面PCD，所以可取平面PCD的法向量為，由（2）得平面PAD的法向量為，則，所以平面APD與平面PCD夾角的余弦值為.18.等差數列{an}的前項和為，，其中成等比數列，且數列{an}（1）求數列通項；（2）設，的前項和記為，求證：.解：（1）因為成等比數列，所以，即，解得或（舍去），所以.（2）由（1）知：.則，.19.已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.解：（1）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.（2）設直線,,把代入得故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.福建省廈門市多校2024-2025學年高二上學期12月聯考數學試卷一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數列的一個通項公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】觀察數字規律可知：每項的符號是交替出現，故有，除去符號則為一個以為公比，首項為的等比數列，所以通項公式為：，故整個數列的通項為：，故選：B.2.在等差數列中，，且，則等于（）A.－3 B.－2 C.0 D.1【答案】A【解析】根據題意,設等差數列的公差為d,首項為a1，若,則有+4d=9，又由,則2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=?3；故選A.3.設是等差數列的前項和且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是等差數列，，所以，則，則，即.故選：A.4.如圖，正四棱錐中，為頂點在底面內的投影，為側棱的中點，且，則直線與平面的夾角是（）A.45° B.90° C.30° D.60°【答案】C【解析】如圖，以O為坐標原點，以為x軸，以為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz．設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0，0，a），P（，0，），則（0，﹣2a，0），（，a，），（﹣a，﹣a，0），設平面PAC的一個法向量為，則，，∴，可取（1，0，1），設直線與平面的夾角為，則，由，，故選：C5.若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以故選：A.6.若拋物線過焦點的弦被焦點分成長為m和n兩部分，則m與n的關系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令過焦點的弦為，與拋物線交點分別為A、B，聯立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：C7.過點的直線交拋物線于兩點(異于坐標原點),若，則該直線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設直線的方程為聯立整理化簡可得：，，也即（*）因為，所以，則，或滿足（*）但是當直線方程為時，與拋物線的交點其中一個為坐標原點，不滿足，故舍去．

∴，該直線的方程為即，

故選：.8.在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列,且，，公積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在正方體中，分別是中點．下列結論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】對A：連接，，則交于，又為中點，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對B：連接，，由正方體性質可知平面，可得平面，故B正確；對C：與所成角就是，連接，由正方體性質可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯誤；對D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10.下列說法正確的是（）A.過點且垂直于直線的直線方程為B.過點且在x、y軸截距相等的直線方程為C.曲線過點的最短弦長為；D.直線與曲線有兩個不同交點，則實數的取值范圍【答案】AC【解析】A：與直線垂直的直線斜率為，故所求直線為，即，對；B：若截距不為0時，令直線為，則，此時直線方程為，錯；C：由，是焦點為的拋物線，故過點的最短弦為通徑，長度為，對；D：由過定點，圓上半部分，如下圖，當動直線與半圓的左上方相切時，有，即，得，當動直線過半圓左側端點時，即，結合圖知，，D錯.故選：AC11.若數列滿足，則稱為“平方遞推數列”.已知數列是“平方遞推數列”，且，則（）A.是等差數列 B.是等比數列C.是“平方遞推數列” D.是“平方遞推數列”【答案】BC【解析】對A，因為是“平方遞推數列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數列，A不正確.對B，因為，所以是等比數列，B正確.對C，因為，所以以是“平方遞推數列”，C正確.對D，因為，所以不是“平方遞推數列”，D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數列{}的前n項和為，則=___________．【答案】8【解析】=故答案為813.已知雙曲線左右焦點分別為，，過的直線在第一象限與雙曲線相交于點，與軸的負半軸交于點，且，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】因為且，可設，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知為正方體外接球的球心，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】如圖，在正方體中，為棱的中點，為的中點，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系設正方體的棱長為2，則所以設異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖所示，三個正方形的邊AB、BC、CD的長組成等差數列，且AD＝21cm，這三個正方形的面積之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的長；（2）以AB、BC、CD的長為等差數列的前三項，以第10項為邊長的正方形的面積是多少？解：（1）設公差為，，則，.由題意得，解得或(舍去)．所以，，．（2）正方形的邊長組成首項是，公差是的等差數列，所以，所求正方形的面積為.16.已知橢圓，焦距為2，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的左焦點為，橢圓上A點橫坐標為，求橢圓的長軸長、短軸長及的面積.解：（1）由題意得，解得，故，故橢圓方程為；（2）由題意得