練素養證明圓的切線的七種常用方法集訓課堂

蘇科版九年級上第二章對稱圖形——圓12345678溫馨提示：點擊進入講評習題鏈接1如圖，⊙O的直徑AB＝12，P是AB延長線上一點，且PB＝4，C是⊙O上一點，PC＝8.求證：PC是⊙O的切線．證明：如圖，連接OC.∵⊙O的直徑AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．2如圖，以AB為直徑的⊙O經過點P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延長線上一點，PA＝PD.試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由．解：PD與⊙O相切，理由如下：如圖，連接PO，∵AP＝AP，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.∴∠OPD＝180°－(∠OAP＋∠OPA)－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半徑，∴PD與⊙O相切．⌒⌒3【母題：教材P91復習題T6】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC上一點，以BD為直徑的⊙O過點A，連接AD，∠CAD＝∠C.(1)求證：AC是⊙O的切線；證明：如圖，連接OA，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∴∠OAB＝∠C.∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°.∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，即OA⊥AC.

又∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線．(2)若AC＝4，求⊙O的半徑．【點方法】作輔助線判定圓的切線的常用方法：1.有切點，連半徑，證垂直．如果已知直線經過圓上的一點，那么連接這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可，簡記為：有切點，連半徑，證垂直．2.無切點，作垂直，證半徑．如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑即可，簡記為：無切點，作垂直，證半徑．4【2023·江蘇科技大學附中模擬】如圖，△ABC的外角∠BAM的平分線與它的外接圓相交于點E，連接BE，CE，過點E作EF∥BC，交CM于點D.求證：(1)BE＝CE；證明：∵四邊形ACBE是圓內接四邊形，∴∠EBC＋∠EAC＝180°.又∵∠EAM＋∠EAC＝180°，∴∠EAM＝∠EBC.∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.解：如圖，連接EO并延長交BC于點H，連接OB，OC.∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線EO垂直平分BC.

∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF.∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線．(2)EF為⊙O的切線．5如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，點F，C是⊙O上兩點，連接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，垂足為D.(1)求證：CD是⊙O的切線；證明：∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC.∵AC平分∠BAF，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠ACO.∴DA∥OC.∴∠OCD＝180°－∠ADC＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(2)求DF的長．解：如圖，連接BF，交OC于點E.∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°.∴∠BFD＝90°.又∵∠ADC＝∠DCO＝90°，∴四邊形DCEF是矩形．∴∠OEB＝∠CEF＝90°，CE＝DF.6【2023·鎮江江南中學模擬】如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A，B兩點，CD與⊙O有公共點E，且AD＝DE.證明：連接OD，OE，∵AD切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90°.∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS)．∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(1)求證：CD是⊙O的切線；解：過點C作CH⊥AD于點H，∵AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A，B兩點，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°.∴四邊形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.

∴DH＝AD－AH＝AD－4.∵CB，CD是⊙O的切線，∴CE＝BC＝4.(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的長．又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9.7如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點B.求證：CD與⊙O相切．證明：如圖，過點O作OH⊥CD于點H，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.∵DO平分∠ADC，OH⊥