3-1-4多次相遇和追及問題

1.學會畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3.能夠利用比例解多人相遇和追及問題

板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時間”這一條基本關系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復

雜,但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數量,問題即可迎刃而解.

［例1］甲、乙兩名同學在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑3.5米,乙每秒

鐘跑4米洞：他們第十次相遇時，甲壞需跑多少米才能問到出發點？

【鞏固】甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米,如果他們

同時分別從直路兩端出發,10分鐘內共相遇幾次？

【鞏固】甲、乙兩人從400米的環形跑道上一點A背向同時出發,8分鐘后兩人第五次相遇,已知每秒鐘甲

比乙多走0?1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米？

【例2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行,6時后相遇.如果二人的速度各增加1千米/時,

那么相遇地點距前一次相遇地點1千米.問：甲、乙二人的速度各是多少？

板塊二、運用倍比關系解多次相遇問題

【例3】上午8點8分，小明騎自行車從家里出發,8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追

上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這

時是幾點幾分？

［例4］甲、乙兩車同時從A地出發，不停的往返行駛于A,B兩地之間.已知甲車的速度比乙車快，并且兩

車出發后第一次和第二次相遇都在途中C地.問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【例5】如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線

運動，當乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米史又第二次相遇.求此圓形場地

的周長.

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點

第二次相遇.已知C離A有75米,D離B有55米,求這個圓的周長是多少米？

【鞏固】如右圖,A,B是圓的直徑的兩端.甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇,

在D點第二次相遇.已知C離A有8。米,D離B有60米，求這個圓的周長.

【鞏固】在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發反向而行,6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點,

又過8分兩人再次相遇.甲、乙環行一周各需要多少分？

板塊三、多次相遇與全程的關系

1.兩地相向出發：第1次相遇，共走1個全程;

第2次相遇，共走3個全程;

第3次相遇，共走5個全程;

第N次相遇，共走2N-1個全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程.即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米.

2.同地同向出發：第1次相遇，共走2個全程；

第2次相遇，共走4個全程;

第3次相遇，共走6個全程;

第N次相遇，共走2N個全程:

3、多人多次相遇追及的解題關鍵

多次相遇追及的解題關鍵幾個全程

多人相遇追及的解題關健路程差

【例6】甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續前進

到達目的地后又立刻返回，第二次在離R地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千

米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇

地點之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地7千

米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇

地點之間的距離.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地6千

米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地4二米處第二次相遇，求兩人第5

次相遇地點距B多遠.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地7千

米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相

遇時共走了多少千米.

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地3千

米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000次

相遇地點與第2001次相遇地點之間的距離.

t鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地18

千米，相遇后二人繼續前進,走到對方出發點后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩

地之間的距離.

【鞏固】甲、乙兩車同時從A,B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇.他們各自到達對方車站后立即返

回原地，途中又在距A地42千米處相遇.求兩次相遇地點的距離.

【鞏固】湖中有A,B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個來回.兩人分別從A,B兩島同時出發，他們第一

次相遇時距A島700米，第二次相遇時距B島400米.問：兩島相距多遠？

【例7】A.B兩地相距2400米，甲從4地、乙從E地同時出發，在4、B間往返長跑.甲每分鐘跑300米,

乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動.甲、乙兩人在第幾次相遇時4地最近？最近距離是多

少米？

【鞏固】A、5兩地相距950米.甲、乙兩人同時由A地出發往返鍛煉半小時.甲步行，每分鐘走40米；乙

跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第次迎面相遇時距B地最近.

【例8】如圖8,甲、乙兩艘快船不斷往返于4、〃兩港之間.若甲、乙同時從4港出發，它們能否同時到達

下列地點？若能，請推出它們何時到達該地點；若不能，請說明理由：

(1)A港口；

(2)3港口；

(3)在兩港口之間且距離3港30千米的大橋.

甲：群水航速兩港睡

；勺5/0kmm180lai)

水洗速度

jOkinh

乙：搟水鐮速

50kinh

圖8

［例9］甲、乙二人進行游泳追逐賽，規定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時開始游,直到一方追上

另一方為止，追上者為勝.己知甲、乙的速度分別為1?0米/秒和0.8米/秒.問：(1)比賽開始后

多長時間甲追上乙？(2)甲追上乙時兩人共迎面相遇了幾次？

【例10】甲、乙兩車分別從A,B兩地出發，并在A,B兩地間不斷往返行駛.已知甲車的速度是15千米/時,

乙車的速度是25千米/時.甲、乙兩車第三次相遇地點與第四次相遇地點相差10()千米.求A,B

兩地的距離.

【例11】歡歡和樂樂在操場上的A、B兩點之間練習往返跑，歡歡的速度是每秒8米，樂樂的速度是每秒5

米.兩人同時從A點出發，到達B點后返回，已知他們第二次迎面相遇的地點距離的中點5

米,之間的距離是.

【例12】甲、乙兩車同時從A、8兩地相對亦開出,兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車繼續行

駛，各自達到3、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則A、B兩地間的距

離是千米.

【例13］小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅的速

度為4米/秒.他們同時從跑道兩端出發，連續跑了12分鐘.在這段時間內，他們迎面相遇了多少

次？

【例14】A、8兩地間有條公路，甲從A地出發，步行到8地,乙騎摩托車從8地出發，不停地往返于A、B

兩地之間,他們同時出發,80分鐘后兩人第一次相遇,100分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達8

地時，乙追上甲幾次？

【例15】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時出發相向而行，乙的速度是甲的2,二人相遇后繼續行進，甲到8

3

地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米,那么,A、

“兩地相距千米.

【鞏固】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發，相向而行，兩人第一次在距

甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的距離為

千米.

【鞏固】A,B兩地相距540千米.甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是到達一地之后立即返回,乙車較

甲車快.設兩輛車同時從A地出發后第一次和第二次相遇都在途中P地.那么到兩車第三次相遇為

止，乙車共走了多少千米？

【例16］小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發,在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們

在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離

乙村多遠（相遇指迎面相遇）？

［例17］A,B兩地間有條公路，甲從A地出發步行到B地,乙騎摩托車從B地出發不停頓地往返于A,B兩

地之間,他們同時出發,80分后兩人第一次相遇,100分后乙第一次超過甲.問：當甲到達B地時,

乙追上甲幾次？

【例18］電子玩具車4與A在一條軌道的兩端同時出發相向而行，在軌道上往返行駛.已知A比“的速度

快50%，根據推算，第2007^次相遇點與第20082°0s次相遇點相距5S厘米，軌道長_厘米.

板塊四、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間■距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點

個數即可完成.折線示意圖往往能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”,“相遇的地點”,以及“由相遇的地

點求出全程“，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少.如果不畫

圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易.

【例19】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約,且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途

中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約

開來的輪船？

【鞏固】一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發出開往乙站,

全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發沿電車線路騎車前往甲站.他出發的時候，恰好有一輛電

車到達乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達甲站時,恰好又有一輛電車從甲站開

出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例20］甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如

果他們同時分別從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

［例21］A.B兩地位于同一條河上地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時出發,

相向而行，甲船到達8地、乙船到達A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜

水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點相距20千米,那么兩船在靜水中的速度是

米/秒.

【例22】A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時出發，在A、B兩地間往返鍛煉.乙跑步

每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米,在30分鐘內，甲、乙兩人第幾次相遇時距B地最近（從

后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？

【鞏固】A、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時由A地出發往返鍛煉半小時.甲步行，每分鐘走40米;

乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地最近？

【鞏固】A、8兩地相距950m,甲、乙兩人同時從A地出發，往返A、8兩地跑步90分鐘.甲跑步的速度

是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時間內他們面對面相遇了數次，請問在第

幾次相遇時他們離8點的距離最近？

【鞏固】A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時出發，在A、B兩地間往返鍛煉.甲每分

鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動.甲、乙兩人第幾次相遇時距A地最

近？最近距離是多少？

板塊五、多次相遇問題——變道問題

【例23】甲、乙兩車同時從同一點4出發,沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時行駛

65千米，乙車每小時行駛55千米.一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面追上乙

車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發后第11次相遇的地點距離A點有多少米？（每一次甲車追上乙

車也看作一次相遇）

【例24】下圖是一個邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時從A點出發，甲逆時針每分行75米，乙順時針每

分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點）上相遇，是出發以后的第幾次相遇？

【例25】如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發跑步.跑道右半部分（粗線部分）

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米,而在泥濘道路

上兩人的速度均為每秒4米.兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點還有

米.

【例26】如圖，學校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑，兩人同時從兩跑

道的交點A處出發，當他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？

甲一A甲—年

【例27】下圖中有兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米.兩只甲蟲同時從A點出

發,按箭頭所指的