第2講函數的綜合問題真知真題掃描

考點考法探究教師備用習題

模塊一

真知真題掃描C[解析]函數g(x)=f(x)+x+a有2個零點,即方程f(x)=-x-a有2個不同的解,即函數f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個不同的交點.分別作出函數f(x)的圖像與直線y=-x-a,由圖可知,當-a≤1,即a≥-1時,函數f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個不同的交點,即函數g(x)有2個零點.真知真題掃描

C

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B

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B

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D真知真題掃描

真知真題掃描

真知真題掃描

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)[解析]根據條件(1)可得f(0)=0,f(1)=1,又因為關于x的方程f(x)=a無實數解,所以a≠0且a≠1,故a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).考點考法探究

函數的零點個數A

考點考法探究

B[解析]當x>0時,由|lnx|-3=0,得lnx=±3,∴x=e3或x=e-3;當x≤0時,由-2x2-4x-3=0,得2x2+4x+3=0,∵Δ=16-4×2×3<0,∴方程沒有實數根.故函數y=f(x)-3的零點個數是2.故選B.考點考法探究【規律提煉】確定函數零點個數的常用方法:(1)當方程易求解時,用解方程判定法;(2)應用零點存在性定理;(3)數形結合:轉化為熟悉的兩個函數圖像的交點個數問題求解.考點考法探究自測題1.已知f(x)為定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=lgx,則函數f(x)的零點個數為(

)A.4 B.3C.2 D.1B[解析]由奇函數的定義可知,f(0)=0.當x>0時,f(x)=lgx,由f(x)=lgx在(0,+∞)上單調遞增且f(1)=lg1=0可知,當x>0時,f(x)有1個零點.根據奇函數的性質可知,f(x)在(-∞,0)上也單調遞增,且f(-1)=-f(1)=0.綜上可知,f(x)有3個零點,分別為0,-1,1.故選B.考點考法探究2.函數f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數為 (

)A.2 B.3C.4 D.6C[解析]函數f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點個數,即方程|lgx2|=-x2+2|x|的根的個數,令g(x)=|lgx2|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),h(x)=-x2+2|x|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),則g(x),h(x)均是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數.當x>0時,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出兩函數在(0,+∞)上的圖像,如圖所示.由圖可知,兩函數的圖像在(0,+∞)上共有2個交點,即當x>0時,|lgx2|=-x2+2|x|有2個根,根據對稱性可得,當x<0時,|lgx2|=-x2+2|x|有2個根,所以|lgx2|=-x2+2|x|共有4個根,即函數f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數為4.故選C.考點考法探究

C

考點考法探究4.已知函數f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a>0)的零點為x1,x2(x1<x2),函數f(x)的最小值為y0,且y0∈[x1,x2),則函數y=f[f(x)]的零點個數是(

)A.2或3B.3或4C.3 D.4A

考點考法探究

已知函數零點個數求參數D考點考法探究

考點考法探究

B

考點考法探究

B

考點考法探究【規律提煉】已知函數零點個數求參數問題的解題方法:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍;(2)分離參數法:將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決;(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖像,然后數形結合求解.考點考法探究

B考點考法探究

考點考法探究

ABC

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(8,+∞)

考點考法探究

(-∞,2)∪(4,+∞)考點考法探究

函數零點的應用D

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6

考點考法探究【規律提煉】函數零點的應用大都體現在判斷圖像的位置問題、根的分布問題、根的取值范圍問題等,主要體現了數形結合與轉換化歸的思想.考點考法探究自測題1.已知{x1,x2,x3,x4}?{x>0|(x-3)·sinπx=1},則x1+x2+x3+x4的最小值為(

)A.12 B.15C.12π D.15πA

考點考法探究

B[解析]畫出函數f(x)的圖像,如圖所示.不妨令a<b<c,則1-2a=2b-1,則2a+2b=2,結合圖像可得4<c<5,故16<2c<32,所以18<2a+2b+2c<34.故選B.考點考法探究

不等式恒成立問題A

考點考法探究

A

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A

考點考法探究【規律提煉】1.對于恒成立問題,常用到以下兩個結論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.2.解決恒成立問題的常用方法是依據不等式的特點,等價變形,構造函數,借助圖像觀察,或參變分離轉化為求函數的最值問題來處理,此時要遵循“知道誰的范圍,誰是變量;求誰的范圍,誰是參數”的原則.

考點考法探究

D[解析](1)當x≤1時,f(x)=x2-2kx+2k,∴f(x)的圖像的對稱軸為直線x=k,且開口向上.考點考法探究①當k<1時,f(x)在(-∞,k)上單調遞減,在(k,1]上單調遞增,∴只需f(k)≥0,解得0≤k≤2,∴0≤k<1.②當k≥1時,f(x)在(-∞,1]上單調遞減,∴只需f(1)≥0,1≥0顯然成立,此時k≥1.∴當x≤1時,k≥0.(2)當x>1時,f(x)=(x-k-1)ex+e3,則f'(x)=(x-k)ex.①當k≤1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞增,∴只需-ke+e3≥0,∴k≤e2,此時k≤1.②當k>1時,f(x)在(1,k)上單調遞減,在(k,+∞)上單調遞增,∴只需f(k)=-ek+e3≥0,∴k≤3,此時1<k≤3.∴當x>1時,k≤3.綜上,0≤k≤3,故選D.考點考法探究

[-3,1]

考點考法探究3.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)=3x2,若不等式f(x+m2)≥4f(x)對任意的x∈[m,m+2]恒成立,則實數m的取值范圍是

.

(-∞,-1]∪[2,+∞)

考點考法探究

考點考法探究

函數的同構問題C[解析]令f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1,又x>0,故f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增,原不等式可化為ex-x-1>m[eln(x+1)-ln(x+1)-1].易知x>ln(x+1),則ex-x-1>eln(x+1)-ln(x+1)-1>0,則m≤1.故選C.考點考法探究

e5

考點考法探究

e5

考點考法探究【規律提煉】1.同構式是指除了變量不同,其余地方均相同的表達式.2.同構式的應用:(1)在方程中的應用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現同構特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個根;(2)在不等式中的應用:如果不等式的兩側呈現同構特征,則可將相同的結構構造為一個函數,進而和函數的單調性找到聯系,可比較大小或解不等式;考點考法探究(3)在解析幾何中的應用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構式,則A,B為方程所表示曲線上的兩點,特別地,若滿足的方程是直線方程,則該方程即為直線AB的方程;(4)在數列中的應用:可將遞推公式變形為“依序同構”的形式,即關于(an,n)與(an-1,n-1)的同構式,從而將同構式設為輔助數列便于求解.考點考法探究

B

考點考法探究

2

教師備用例題[備選理由]例1考查函數的零點個數,將函數的零點問題轉化為兩函數圖像的交點問題是處理此類問題的常用方法,取整函數是難點,有助于學生理解分段函數.例2利用函數圖像考查根的存在性及根的個數判斷,能培養學生的邏輯思維能力,數形結合思想意識,有助于理解復合函數的概念.例3考查函數的圖像與性質的應用、函數的零點問題,解決本題的關鍵是要根據已知條件得出函數的周期,把函數的零點個數問題轉化為兩個函數圖像的交點個數問題,有助于培養學生轉化思想和數形結合思想的綜合應用.例4主要考查根據方程的根、函數圖像的交點求參數的取值范圍,考查化歸與轉化的數學思想方法.教師備用例題例5考查函數的零點個數問題,解題關鍵是轉化為函數圖像與直線的交點個數問題,有利于培養學生利用數形結合思想解題的能力.例6考查函數的零點個數問題,解題時可利用導數研究函數的單調性與極值,運用極限思想研究函數值的變化趨勢,結合圖像得出結論是解題的關鍵.例7考查已知方程根的個數求參數的取值范圍,有利于培養學生利用數形結合思想解題的能力.例8考查函數圖像的對稱性,有利于提高學生分析問題的能力和知識遷移能力,提升數學核心素養.例9考查同構函數,較為典型,有利于學生理解構造的意義與方法.教師備用例題例1

[配例1使用]定義在R上的函數f(x)=x2-[x]-2([x]表示不大于實數x的最大整數)的零點個數為 (

)A.0 B.1C.2 D.3D

教師備用例題例2

[配例1使用]定義域和值域均為[-a,a](常數a>0)的函數y=f(x)和y=g(x)的圖像如圖所示,則方程g[f(x)]=0的根的個數不可能是(

)A.1 B.2C.3 D.4D[解析]由題圖知,當x∈[-a,a]時,g(x)=0有唯一根,不妨設為k,由g(x)的圖像可知k∈(0,a),則由g[f(x)]=0可得f(x)=k.因為k∈(0,a),所以由f(x)的圖像可知f(x)=k可能有1個根,2個根或3個根,不可能有4個根,故選D.教師備用例題例3

[配例1使用]已知f(x)為定義在R上的偶函數,且f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=2x2,則函數g(x)=f(x)-log2|x|的零點個數為 (

)A.3 B.4C.5 D.6D[解析]因為f(x+2)=f(x),所以函數f(x)的周期T=2.函數g(x)=f(x)-log2|x|的零點個數即為方程f(x)-log2|x|=0的根的個數,即為函數f(x)的圖像與y=log2|x|的圖像的交點個數.作出兩函數的圖像,如圖所示,由圖可知兩函數圖像的交點個數為6,故選D.教師備用例題例4

[配例2使用]已知函數f(x)=x3-4x,過點A(