第十一章立體幾何初步（B卷能力提升）

——高一數(shù)學(xué)人教B版(2019)必修四單元測試AB卷【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列說法中，正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.一個(gè)多面體至少有4個(gè)面C.有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)2.在直角坐標(biāo)系中，水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，.在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中，四邊形的周長為()A.8 B.10 C. D.3.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則()A. B. C. D.4.已知l，m，n是空間中三條互不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：①若，，，則②若，，則③若，，，，則④若，，，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.35.如圖所示，圓錐底面半徑為1，母線，D為弧AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，則異面直線AC與DE夾角的正弦值是()A. B.1 C. D.6.在邊長為4的菱形ABCD中，.將該菱形沿對(duì)角線AC折起，得到大小為的二面角，如圖所示.若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F的軌跡的長度為()A. B. C. D.7.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，側(cè)棱底面，T是的中點(diǎn)，Q是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則Q的軌跡長為()A. B. C. D.8.如圖，在梯形ABCD中，，，，將沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且，則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M在線段上，，過A，，M三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面記為，記BD與截面的交點(diǎn)為N，則()A.截面的形狀為等腰梯形 B.C.平面 D.三棱錐的體積為10.古希臘哲學(xué)家發(fā)現(xiàn)并證明了只存在5種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，其中正八面體是由8個(gè)等邊三角形構(gòu)成.正八面體在計(jì)算機(jī)科學(xué)中用于三維模型和場景的構(gòu)建，以及人工智能領(lǐng)域中用于圖象識(shí)別和處理，另外在晶體和材料科學(xué)中也被廣泛應(yīng)用.現(xiàn)有一個(gè)棱長為2的正八面體PABCDQ，如圖所示，下列說法中正確的是()A.若點(diǎn)P，A，B，C，D，Q在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積為B.若該正八面體的12條棱中點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為C.該正八面體內(nèi)任意一點(diǎn)到8個(gè)側(cè)面的距離之和為定值D.已知正方體的中心與該正八面體的中心重合，當(dāng)該正方體繞中心任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若該正方體始終未超出該正八面體，則該正方體棱長的最大值為11.如圖，E為正方形ABCD的邊CD上異于C，D的動(dòng)點(diǎn)，將沿AE翻折成，在翻折過程中，下列說法正確的有()A.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得B.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得平面SBCC.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得直線SB與平面ABCE所成的角為D.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得二面角的大小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正方體中，截面與底面ABCD所成的二面角的正切值為__________.13.如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段，上，且，G在上且平面平面，則___________.14.若正四棱錐內(nèi)接于球O，且底面ABCD過球心O，球的半徑為4，則該四棱錐內(nèi)切球的體積為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）如圖，在三棱柱中，平面，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，求四棱錐的高.16.（15分）如圖，E是直角梯形ABCD底邊AB的中點(diǎn)，，將沿DE折起形成四棱錐.（1）求證：平面ABE；（2）若二面角的大小為，求二面角的余弦值.17.（15分）如圖，已知直三棱柱，O，M，N分別為線段，，的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，.（1）若，試證；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，試確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，使線段MP與平面所成角的正弦值最大，并求出最大值.18.（17分）如圖，在正方體中，M為棱AB的中點(diǎn).（1）試作出平面與平面ABCD的交線l，并說明理由；（2）用平面去截正方體，所得兩部分幾何體的體積分別為，（），求的值.19.（17分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿著直線DE翻折為，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

答案以及解析1.答案：B解析：正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點(diǎn)到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯(cuò)誤；多面體中面數(shù)最少為三棱錐，四個(gè)面，B正確，；有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個(gè)側(cè)面的交線互相平行，C錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺(tái)，D錯(cuò)誤.故選：B.2.答案：D解析：如圖，畫出直觀圖，過點(diǎn)作，垂足為D.因?yàn)椋裕瑒t，故四邊形的周長為，所以D正確.故選D.3.答案：C解析：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面圓半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選C.4.答案：A解析：對(duì)于①，若，，，設(shè)，且，，則，故①為假命題.對(duì)于②，若，，，且，，則，故②為假命題.對(duì)于③，若，，，，當(dāng)，時(shí)，結(jié)論不成立，故③為假命題.對(duì)于④，若，，，m與n還可能相交或異面，故④為假命題.故選A.5.答案：C解析：設(shè)底面圓心為O，連接EO，CO，OD，如圖所示，可知，故（或其補(bǔ)角）為異面直線AC與DE所成的角.底面，.又點(diǎn)D為半圓弧AB的中點(diǎn)，，又，平面，，在中，，，，故異面直線AC與DE夾角的正弦值是.故選C.6.答案：A解析：如圖，取AC的中點(diǎn)T，連接，，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為4，，所以，故，，且，所以為二面角的平面角，則.在中，由余弦定理得，.取CT的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接EM，EN，MN，又E為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫鍱MN，所以平面EMN，同理得平面EMN，又，平面，故平面平面.因?yàn)椋矫妫云矫妫云矫鍱MN，故點(diǎn)F的軌跡為（除點(diǎn)E外），故點(diǎn)F的軌跡的長度為.故選A.7.答案：B解析：先找到一個(gè)平面總是保持與垂直，取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，.因?yàn)槭钦叫危?因?yàn)榈酌?所以.又，所以平面.所以.因?yàn)樵谥校珽為的中點(diǎn)，所以.又，所以平面.進(jìn)一步.取，，的中點(diǎn)M，N，S，連接，，，，易證平面平面.故平面，記，又Q是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：點(diǎn)Q的軌跡為平面與平面的交線段，在中，，，，由余弦定理得：.故.故選：B.8.答案：B解析：在等腰梯形ABCD中，，，，，，，，.如圖，在三棱錐中過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)F，則易得，，，，故，.又，，平面，平面，平面ABC，平面平面.，平面ACP，平面平面，平面ABC.設(shè)的外接圓圓心為，易知其位于斜邊AB的中點(diǎn)，設(shè)等腰三角形APC的外接圓圓心為H，易知其位于PF的延長線上，過作平面ABC的垂線，過H作平面ACP的垂線，設(shè)兩垂線交于點(diǎn)O，則O為三棱錐外接球的球心，連接，，則，平面ACP，又，，因此四邊形為矩形，是頂角為的等腰三角形，，，，三棱錐外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選B.9.答案：BCD解析：如圖，連接，并延長交BC于點(diǎn)E，易得，，是BC的中點(diǎn).取的中點(diǎn)F，連接，，，易得.又，四邊形為菱形，且菱形為，故A錯(cuò)誤.同理可得，，，故B正確.連接，由前兩個(gè)相似三角形可知，.連接，在正方體中，易得，，且，平面，.同理可得.又，平面，平面，故C正確.易得N，M為，上靠近E，C的三等分點(diǎn)，.又，，，故D正確.選BCD.10.答案：ABC解析：由題可知，依次連接正方體6個(gè)面的中心，得到正八面體PABCDQ，如圖所示.對(duì)于A，點(diǎn)P，A，B，C，D，Q在圖中正方體內(nèi)切球的球面上，設(shè)該球的半徑為，因?yàn)椋裕茫瑒t所求球的體積為，故A正確；對(duì)于B，由上圖知，正八面體12條棱的中點(diǎn)在同一球的球面上，即該球與12條棱相切于棱的中點(diǎn)，該球的直徑為，即，故該球表面積為，故B正確；對(duì)于C，正八面體體積為，設(shè)正八面體內(nèi)任意一點(diǎn)到8個(gè)側(cè)面的距離分別為，，…，，由體積相等，得，解得（定值），故C正確；對(duì)于D，由題意知，該正方體棱長最大時(shí)，其外接球即為正八面體的內(nèi)切球，設(shè)該球半徑為，取AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)，該平面截該球所得截面圓的半徑為，如圖所示.顯然四邊形是邊長為的菱形，且，，由面積相等，得，得.設(shè)該球的內(nèi)接正方體棱長為a，則，得，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.答案：ACD解析：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋云矫鍿AB，又因?yàn)槠矫鍿AB，所以，故A正確；四邊形ABCE為梯形，所以AE與BC必然相交，故B錯(cuò)誤；如圖①所示，交BC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，則圖②中，連接，，S在平面ABCE的射影O在GF上，連接BO，SO，故為直線SB與平面ABCE所成的角，設(shè)二面角的平面角為，取，，故，，，，要使直線SB與平面ABCE所成的角為，只需，在中，由余弦定理得，解得，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意，故C正確；過點(diǎn)O作交AB于M，連接SM，因?yàn)椋云矫鍿OM，所以，則為二面角的平面角，取二面角的平面角為，要使二面角的大小為，只需，連接OA.因?yàn)椋裕O(shè)，，則，，化簡得，解得，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意，故D正確.故選ACD.12.答案：解析：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接，.由題可知平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以.又，所以平面.又平面，所以，所以即為二面角的平面角.在中，設(shè)，則，所以二面角的正切值為.13.答案：解析：連接，（圖略），平面平面，且平面平面，平面平面，，.易得平面平面，又平面，平面.又平面平面，平面，平面，平面平面，，，可確定平面ABGF.又平面平面，平面平面，平面平面，，..14.答案：解析：因?yàn)檎睦忮F內(nèi)接于球O，且底面ABCD過球心O，球的半徑為4，所以，所以，所以正四棱錐的表面積，正四棱錐的體積.設(shè)正四棱錐內(nèi)切球的半徑為r，則，解得，所以該四棱錐內(nèi)切球的體積為.15.答案：（1）證明見解析（2）1解析：（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫鍭BC，所以.又，，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）由（1）可知，，又因?yàn)椋裕允堑妊苯侨切危允堑妊苯侨切?如圖，取的中點(diǎn)為D，連接，則，由（1）可知，平面，而平面，所以，又，所以平面，所以四棱錐的高即為.又，所以四棱錐的高為1.16.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在直角梯形ABCD中，，且，四邊形BCDE為平行四邊形，又，，.在四棱錐中，，平面ABE，則平面ABE.（2）由（1）知即為二面角的平面角，，又，為等邊三角形.設(shè)BE的中點(diǎn)為F，CD的中點(diǎn)為G，連接，，，，.，，又，平面AFG.又平面，，即為所求二面角的平面角.平面，平面ABE，.在原直角梯形中，設(shè)，則翻折后四棱錐中，，，在中，.即二面角的余弦值為.17.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在中，為BC中點(diǎn)且，，平面平面，平面平面，平面ABC且，平面，平面，.，N分別為，的中點(diǎn)，，.在直角和直角中，，，，，，，，平面，，平面，平面，.（2）延長MP交于點(diǎn)Q，作，與BC相交于點(diǎn)D，如圖所示，由，，，得，，平面，平面，.又，，平面，，平面.平面，與A到平面的距離相等，且距離為AD，設(shè)直線MP與平面所成的角為，則，當(dāng)，即P為的中點(diǎn)時(shí)MQ最小，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，線段MP與平面所成角的正弦值取得最大值.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）作法：如圖，連接AC，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)M作，交BC于點(diǎn)N，則直線MN即為平面與平面ABCD的交線l.理由：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫?在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)M作，即，則直線MN即為交線l.（2）由（1）知，在中，，M為棱AB的中點(diǎn)，所以N為棱BC的中點(diǎn).在正方形中，延長交的延長線于點(diǎn)P，所以B為線段的中點(diǎn).由于N為棱BC的中點(diǎn)，所以連接并延長交的延長線于點(diǎn)P，所以幾何體是三棱臺(tái).設(shè)正方體的棱長為a，則的面積，的面積，所以三棱臺(tái)的體積，則另一個(gè)幾何體的體積.因?yàn)橛闷矫嫒ソ卣襟w，所得兩部分幾何體的體積分別為，（），所以，，所以.19.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：方法一：取的中點(diǎn)N，連接FN，EN，如圖.F，N分別為，的中點(diǎn)，，.四邊形ABCD為平行四邊形，E為AB的中點(diǎn)，，，，，四邊形BENF為平行四邊形，.平面，平面，平面.方法二：延長DE，CB交于點(diǎn)G，連接，如圖.四邊形ABCD為平行四邊形，.又E為AB中點(diǎn)，B為CG中點(diǎn).又F為中點(diǎn)，，又平面，平面，