北京市東城區2024-2025學年九年級上學期期末考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列事件為必然事件的是（

）A．在平面上畫一個三角形，其內角和是B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓D．購買1張彩票，中獎2．將拋物線向下平移2個單位長度，所得拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．3．第33屆夏季奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，奧運會圖標在視覺設計上主要融入三個方面的內容——對稱設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素，下列四個圖標中是中心對稱圖形的是（

）A．擊劍 B．田徑 C．馬術 D．賽艇4．用配方法解方程，變形后結果正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，與分別相切于點A，B，，，則的長度為（

）A． B．2 C．3 D．6．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的中心.若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（

）A． B． C． D．8．二次函數（）圖象上部分點的坐標滿足下表：x…0135…y…707…下面有四個結論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；④是關于x的一元二次方程（）的一個根．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共8小題）9．在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是．10．請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點的拋物線的表達式．11．某數學興趣小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復試驗，多次試驗后獲得如下數據：重復試驗次數1050100500100020005000釘尖朝上次數515362004038012001估計任意拋擲一枚圖釘，釘尖朝上的概率約為.（結果精確到）12．據國家統計局發布的《2024年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2021年和2023年全國居民人均可支配收入分別為萬元和萬元．設2021年至2023年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為．13．如圖，以點O為中心的量角器與直角三角板按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，如果點D在量角器上對應的刻度為，連接．那么．14．如圖，在圓內接四邊形中，對角線，，，則．15．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉，得到，．若點B，C，D恰好在同一條直線上，則．16．古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，在算籌記數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式表示數字，如圖所示.據《孫子算經》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬相當．即在算籌記數法中，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如，算籌表示的四位數是6613.（1）用3根算籌表示的兩位數可以是（寫出一個即可，算籌不剩余且個位不為0）；（2）在用4根算籌表示的所有兩位數中，隨機抽取一個數，這個數大于60的概率為（算籌不剩余且個位不為0）.三、解答題（本大題共12小題）17．解方程：.18．如圖，圓形拱門的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果D是中弦的中點，連接并延長交于點C，并且，，求的半徑．19．已知：為的外接圓，D是邊上的一點，連接．求作：，使得點E在線段上，且．作法：①連接，分別作線段，的垂直平分線，，兩直線交于點P；②以點P為圓心，長為半徑作圓，交線段AD于點E；③連接，CE．就是所求作的角．(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．∵點A，B，C在上，∴（）（填推理的依據）．∵點B，O，E，C在上，∴．∴．20．已知二次函數.(1)求該二次函數圖象的頂點坐標；(2)當時，的取值范圍是.21．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，2,1，將繞點P逆時針方向旋轉得到，點A的對應點的坐標為，點B的對應點的坐標為?3,2．

(1)點P的坐標是；（填寫正確的選項）A．

B．0,1

C．(2)畫出旋轉后的，并寫出的坐標是；(3)線段的延長線與線段交于點M，直接寫出的度數.22．中國古代的“四書”是指《論語》、《孟子》、《大學》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分.下面是正面印有“四書”字樣的書簽A，B，C，D，書簽除正面的字樣外，其余完全相同．將這4張書簽背面向上，洗勻放好．(1)從中隨機抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是；(2)從中隨機抽取2張；用列舉法求出隨機抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的概率.23．已知關于x的一元二次方程（）．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的一個根是2，求代數式的值．24．如圖1，某隧道內設單向兩車道公路，其截面由長方形的三條邊，，和拋物線的一段（點E為拋物線的頂點）構成．以的中點O為原點，分別以直線和拋物線的對稱軸為x軸和y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．其中，米，米，米．(1)求該拋物線的解析式；(2)為保證安全，要求行駛車輛頂部（視為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米．若行車道的總寬度為8米，且O為的中點，請計算通過隧道的車輛的限制高度．（車道分界線的寬度忽略不計）25．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點D，連接并延長交的延長線于點E，點P為的中點，連接.(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，求的長.26．在平面直角坐標系xOy中，點在拋物線上，設拋物線的對稱軸為直線.(1)當時，求t的值；(2)點，在拋物線上，若，比較，的大小，并說明理由.27．如圖，在等邊中，D為上一點，連接，E為線段上一點（），將線段繞點C順時針旋轉得到線段，連接．(1)求證：；(2)點G為延長線上一點，連接交于點M．若M為的中點，用等式表示線段之間的數量關系，并證明.28．在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點C，給出如下定義：若，且點C關于弦的中點M的對稱點在上或其內部，則稱點C為弦的“關聯點”.

(1)已知點，.①在點，，中，點是弦的關聯點，其中°；②若直線上存在的“關聯點”，則b的取值范圍是；(2)若點C是的“關聯點”，且，直接寫出弦的最大值和最小值.

參考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】10．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】5514．【答案】15．【答案】16．【答案】21（答案不唯一）17．【答案】，18．【答案】19．【答案】（1）解：補全圖形如圖所示：（2）證明：連接．∵點A，B，C在上，∴（圓周角定理）．∵點B，O，E，C在上，∴．∴．20．（1）解：，∴二次函數的圖象的頂點坐標為；（2）解：且對稱軸在的范圍內，當時函數值有最大值，最大值為，當時函數值有最小值，最小值為，∴函數值的取值范圍是21．（1）解：如圖，旋轉中心P的坐標為，故此題答案為A．（2）解：如圖，即為所求作，點坐標為?2,3（3）解：由旋轉的性質可得，，，∴∴，又，∴，則．

22．（1）解：共有4張書簽，從中隨機抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是，（2）解：畫樹狀圖如下：總共有12種等可能的結果，其中隨機抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的有2種，∴隨機抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的概率為．23．（1）證明：關于x的一元二次方程為（）則，∵，∴，∴方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：∵是關于x的一元二次方程（）的一個根，∴，即，∴．24．（1）解：根據題意，拋物線經過點，，設拋物線的解析式為，則，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：根據題意，，當時，，∵與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米，∴通過隧道的車輛的限制高度為米25．（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，．在中,點P為的中點，，，，，，，，，，∴是的切線．（2）解：，且，，，，，，，，，，在中，，．26．（1）解：∵點在拋物線上，∴，∵，∴，解得，由得拋物線的對稱軸為直線，∴；（2）解：∵，，∴，則或，∴，∵，∴，∵，，又拋物線的開口向上，∴．27．（1）證明：∵為等邊三角形，∴；∵線段繞點C順時針旋轉得到線段，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：；證明如下：如圖，過點A作，交的延長線于點H；∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；∵M為的中點，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．28．（1）解：①∵點C關于弦的中點M的對稱點在上或其內部，則稱點C為弦的“關聯點”，∴反向思考，作出關于點M的對稱圓，只要滿足，，在上或內部，均符合題意，

∵，，∴，∵O0,0∴，∵，∴點到的距離為，∴點在上，同理經過計算，到的距離為均大于半徑，故不符合題意，∴點是弦的關聯點，連接，∴，同理可求，，∴，∴，∵，∴，故答案為：，60；②同上作出關于點M的對稱圓，連接，

∵，，，，同理可求，，，∴同理可求，∴，∴，∴，∴，∴的“關聯點”在優弧上（不包括端點），∴若直線上存在的“關聯點”，則直線與優弧上（不包括端點）有交點，當直線經過點A時，如圖：

∴把代入得：，解得：，∴，直線與優弧上（不包括端點）有交點，當直線與相切時，如圖：

記切點為H，連接，記直線與軸交于點，當時，，解得：，∴，當，，∴，則，∴，過作軸交直線于點，則，∵由切線得性質得到：∴，∴點，代入，求得：，∴，直線與優弧上（不包括端點）有交點，綜上所述：時，直線上存在的“關聯點”，故答案為：；（2）解：∵，∴點C在以O為圓心為半徑的圓上，對于弦，我們固定點，調整點A位置即可，同上作出關于點M對稱的，∵點C是的“關聯點”，∴根據關聯點的定義可知：點C首先需要在關于點M