2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程第二章

一元二次方程九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?北師大版情景導(dǎo)入一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長(zhǎng)比寬多2m，苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少？解：設(shè)苗圃的寬為xm，則長(zhǎng)為(x＋2)m.根據(jù)題意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否為一元一次方程？實(shí)踐探究一元二次方程探究1：幼兒園某教室矩形地面的長(zhǎng)為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2

的地毯

,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同,你能求出這個(gè)寬度嗎？解：如果設(shè)所求的寬為x

m

,那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化簡(jiǎn)：2x2-

13x+11=0①該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？解：如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為：

,

,

,

.

根據(jù)題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡(jiǎn)得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？解：由勾股定理可知,滑動(dòng)前梯子底端距墻

m.如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm,那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m,根據(jù)題意，可得方程：探究3：如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡(jiǎn)得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？活動(dòng)總結(jié)觀察上述方程①、②、③，它們有什么共同特點(diǎn)呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特點(diǎn)：1.只含有一個(gè)未知數(shù)；

2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3.整式方程．歸納總結(jié)

方程的等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次項(xiàng)，

a是二次項(xiàng)的系數(shù)，bx是一次項(xiàng)，

b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．應(yīng)用舉例例1

下列方程哪些是一元二次方程？為什么？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指導(dǎo)】根據(jù)一元二次方程的概念進(jìn)行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含兩個(gè)未知數(shù)；(3)不是整式方程；(5)不含ax2這一項(xiàng)．

關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，當(dāng)k_______時(shí)，是一元二次方程；當(dāng)k_______時(shí)，是一元一次方程．【方法指導(dǎo)】當(dāng)k2－1≠0，即k≠±1時(shí)，方程是一元二次方程．當(dāng)k2－1＝0時(shí)，且2(k－1)≠0時(shí)，即k＝－1時(shí)是一元一次方程．例2≠±1＝－1例3a為何值時(shí)，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當(dāng)a=-1時(shí)，原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關(guān)于某個(gè)字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值．點(diǎn)撥將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù).解：去括號(hào)，得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項(xiàng)是3x2,系數(shù)是3；一次項(xiàng)是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項(xiàng)是-10.例4隨堂練習(xí)1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，方程可變?yōu)?/p>

(

)A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________2x2－x－7＝0

C3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．解：原方程化為一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次項(xiàng)是5x2，二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)是8x，一次項(xiàng)系數(shù)是8，常數(shù)項(xiàng)是－2.4.(1)如圖，已知一矩形的長(zhǎng)為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個(gè)圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程（其中π

取3）.解：由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得根據(jù)題意有，200cm150cm(2)如圖，據(jù)某市交通部門(mén)統(tǒng)計(jì)，前年該市汽車(chē)擁有量為75萬(wàn)輛，兩年后增加到108萬(wàn)輛.求該市兩年來(lái)汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率

x應(yīng)滿足的方程.解：該市兩年來(lái)汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x，整理，得