2024—2025學年山東省青島市城陽區實驗高級中學高二上學期12月質量監測數學試卷

一、單選題(★★)1.已知直線經過兩條直線的交點，且的一個方向向量為，則直線的方程為（）

A．B．C．D．(★★)2.雙曲線的一個焦點坐標為，則實數的值為（）

A．B．C．D．(★★)3.已知數列是首項為，公差為的等差數列，前項和為，滿足，則（）

A．B．C．D．(★★)4.橢圓的上、下焦點分別為、，過橢圓上的點作向量使得，且為正三角形，則該橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是

A．內切B．相交C．外切D．相離(★★)6.已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數，則雙曲線的漸近線方程為（）

A．B．C．D．(★★★)7.設直線與橢圓的交點為，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數為（）

A．B．C．D．(★★★)8.在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點為雙紐線上任意一點，則下列結論正確的個數是（）①關于軸不對稱②關于軸對稱③直線與只有一個交點④上存在點，使得

A．1個B．2個C．3個D．4個二、多選題(★)9.若直線經過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的方程為（）

A．B．C．D．(★★★)10.已知直線，圓，點P為直線l上一點，點Q為圓C上一點，則下列選項正確的是（）

A．直線l恒過定點B．若圓C關于直線l對稱，則C．若直線l與圓C相切，則D．當時，取y軸上一點，則的最小值為(★★★★)11.（多選）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（）

A．點P的軌跡方程是B．直線是“最遠距離直線”C．平面上有一點，則的最小值為5D．點P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）三、填空題(★★)12.過點作圓的切線，直線：與平行，則實數__________，與間的距離為__________．(★★)13.若點在圓的外部，則實數的取值范圍是__________．(★★)14.已知橢圓，若斜率為1的動直線交橢圓于兩點，記線段的中點為，則點的軌跡方程為______.四、解答題(★★★)15.已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求的值.(★★)16.如圖1，在正方形中，，為的中點，過點作的垂線，與分別交于點，把四邊形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，點A，D分別到達點的位置，連接，如圖2.(1)設，是線段（不含端點）上一動點，問：是否存在點，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求平面與平面所成角的余弦值.(★★★)17.已知O為坐標原點，，平面內一點，滿足．設的軌跡為曲線，直線與曲線相交于M、N兩點，且．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l過點A，求直線l的方程；(3)若直線，都過點A，它們互相垂直且分別交曲線C于E，F，G，H四點，求四邊形面積的最大值．(★★★)18.設、、…、、…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數，圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數列．(1)證明：為等比數列；(2)設，求數列的前項和.(★★★★)19.在平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線有公共頂點，且的短軸長為2，的一條漸近線為.(1)求，的方程：(2)設是橢