第一章數字推理

一、題型概述

1、國家、上海題量都為5道

2、由“二級”轉向“三級”，綜合難度越來越大

3、出現圖形形式數字推理、數字三角形數陣等考察發散思維的數字推理

4、總體趨勢求新、求異，學會“放棄”

二、基本數列

1、自然數列:1,2,3,4,5,6,7……

2、奇數列：1,3,5,7,9,11...

3、偶數列：2,4,6,8,10,12……

4、自然數(1T9)平方數列：1,4,9,……289,324,361

5、自然數(1-9)立方數列:1,8,27,...343,512.729

6、質數列：2,3,5,7,11……

7、合數列：4,6,8,9,10,12……

三、古典型數字推理：八種數列及其變式

1、等差數列

例題：251,222,193,()(2004年上海行測真題)

A.65B.205C.164D.134

解析：251222193(164)

\Z\/

-29-29-29公差為0,形成一個常數數列

答案：C

(1)二級等差數列

例題：2,5,10,(),26,37(2005年上海行測真題)

A.15B.17C.20D.23

解析：2510(17)2637

XZ

357911新的公差為2的等差數列

答案：B

(2)二級等差數列的變式

例題：6,7,9,13,21,()(2006年上海行測真題)

A.35B.36C.37D.38

解析：6791321(37)

\Z\Z\/\/

124816新的公比為2的等比數列

答案;C

練習：20,23,17,(),14(2005年上海行測真題)

A.26B.27C.28D.2

(3)三級等差數列及其變式

例題：L10,31,70,133,()(2005年中央甲類真題)

A.136B.186C.226D.256

解析：1103170133()

\Z\/

9213963(93)二級特征不明顯

XZ\/X/\/

121824(30)三級為公差為6的等差數列

63+30=93,93+133=226

答案：C

練習：0,1,3,8,22,63,()(2005年中央甲類真題)

A.163B.128C.132D.136

(4)等差數列新變化

例題：3,8,9,0,-25,-72,()

A.-147B.-144C.-132D.-121

解析：3890-25-72()

XZ\/XZXZ\Z

51-9-25-47(-75)二級特征不明顯

\/\/\Z\Z\/

-4-10-16-22(-28)三級為等差數列

-47+(-28)=-75,-72+(-75)=-147

答案：A

2、等比數列

(1)典型等比數列

例題：3,9,(),81,243

解析：后一項與前一項的比為3

答案：27

(2)等比數列的變式

例題：2,7,24,77,()(2007年上海行測真題)

A.198B.218C.238D.258

解析：7=2x3+l,24=7x3+3,77=24x3+5,(238)=77x3+7

答案：C

練習：157,65,27,11,5,()(2008年中央行測真題)

A.4B.3C.2D.1

3、和數列

(1)兩項和數列

例題：1,3,4,7,11,()(2002年中央A類真題)

A.14B.16C.18D.20

解析：前兩項相加得到第三項，括號內應填18

答案：C

練習：17,10,（）,3,4,-1

A.7B.6C.8D.5

（2）兩項和數列的變式

例題：67,54,46,35,29,（）（2008年中央行測真題）

A.13B.15C.18D.20

解析：6754463529（）

XZ\/XZ

1121029282T

兩項相加分別得到121,100,81,64,49。

答案:D

13

練習：34,-6,14,4,9,一，（）

2

（3）三項和數列的變式

例題：0,1,1,2,4,7,13,（）（2005年中央甲類真題）

A.22B.23C.24D.25

解析:0+析1=2（第4項）,1+1+2=4（第5項）,1+2+4=7（第6項），2+4+7=13（第7項）,4+7+13=24

答案：C

練習：2,3,4,9,12,15,22,（）

4、積數列

（1）兩項積數列

例題：1,3,3,9,（）,243（2003年中央B類真題）

A.12B.27C.124D.169

解析：1x3=3（第3項），3x3=9（第4項），3x9=27（第5項）,9x27=243（第6項）

答案：B

練習：1,2,2,4,(),32(2002年中央A類真題)

A.4B.6C.8D.16

(2)積數列變式

例題：0,1,1,2,3,(),22(2006年上海行測真題)

A.5B.7C.9D.11

解析：0xl+l=l(第3項),lxl+l=2(第4項),lx2+l=3(第5項)，2x3+1=(7),3x(7)+1=22

答案:B

14

練習:3,A,()

312364

、1364

A.—B.C.—

847552

5、平方、立方、多次方數列

（1）多次方數列的變化

例題：1,32,81,64,25,(),1（2006年中央行測真題）

A.5B.6C.10D.12

解析：1=1%32=25,81=31,64=43,25=5。，（)=6',1=7°

答案：B

練習：256,216,64,9,1,()

111

A.B.C.

1412TT

(2)多次方數列的變式

例題：3,15,35,63,99,()（2005年上海行測真題）

A.143B.145C.147D.149

解析：3=2-1,15=4-1,35=6-1,63=8-1,99=10-1,(143)=12-1

答案:A

練習：4.31.30.13.()

A.93B.8C.9D.11

⑶多次方的縱向變化

例題：1,4,16,49,121,()(2005年中央甲類真題)

A.256B.225C.196D.169

解析：141649121()

I2224272112(162)

二級不看平方

12345三級為自然數列

答案：A

練習：9,16,36,100,()

A.144B.256C.324D.361

⑷多次方的橫向變化

例題：4,3,1,4,9,()

A.14B.13C.24D.25

解析：前項減后項的平方得到下一項，即(4-3)2=1,(3-1)2=4,(1-4)2=9,(4-9)2=25

答案：D

(5)多次方加減前項

例題：L2,3,7,46,()(2005年中央甲類真題)

A.2109B.1289C.322D.147

解析：22-1=3,3-2=7,72-3=46,462-7=2109

答案：A

7、組合數列

(1)間隔組合數列

例題：6,8,10,11,14,14,()(2007年上海行測真題)

A.16B.17C.18D.20

解析：奇數項是公差為4的等差數列，偶數項是公差為3的等差數列。

答案：C

練習：4,27,16,25,36,23,64,21,()(2004年上海行測真題)

A.81B.100C.121D.19

(2)分段組合數列

例題：1,2,5,10,13,26,29,()(2006年上海行測真題)

A.36B.45C.52D.58

解析：兩項為一段，后項是前項的兩倍。

答案：D

練習：1,3,4,1,9,()(2007年中央行測真題)

A.5B.11C.14D.64

(3)項內組合數列

例題：3,16,45,96,(),288

A.105B.145C.175D.195

解析：3=12X3,16=22X4,45=32X5,96=42X6,(175)=52x7,288=62x8

答案：C

練習：1.03,2.05,2.07,4.09,(),8.13

A.8.17B.8.15C.4.13D.4.11

(4)特殊組合數列

例題：6,7,8,13,15,21,(),36

A.27B.28C.31D.35

解析：第一項加第二項得第四項，由此可得13+15=(28)

答案：B

練習：12120,12060,12040,12030,()

A.12024B.12018C.12015D.12010

7、分式數列

(1)約分變成分式最簡式

加”用1331199149/x7

例題：——,——,一,一,(

57513921v73

28021

AA?—B?—

1214

解析：各項約分都是7,

3

答案：A

(2)通分看變化

例題：)

32123''

A.-B.1

64吟

解析：各項通分為一4:,一6,竺，竺,分子為4,6,10,16,(26),即兩項求和數列，所以生13

12121212一12~6

答案：D

(3)看分子、分母綜合變化

例題：2-,

2510v72

A13R11「9

121722嗎

解析：各式化成9二,2,|一11］,一13

，分子是等差數列，分母是二級等差數列，即3,5,(7),(9)

2510117)26

答案：B

22

練習：3,4,5-,(),11-

35

32

A.6-B.7-C.8D.1O-

432

(4)分式相除

例題：10,5,32,()

32v7

A.-B.4C.-D.-

342

解析：后項除以前項分別得到±⑶,所以⑶+2=2

2345\6J\3)6

答案：A

3

練習：9,6,-,4,()

2

A.-B.-C.2D.3

48

8、其它數列

(1)質數列及其變式

例題：2,3,5,(),11,13

解析：質數是只能被1和本身整除的數

答案：7

練習：4,6,10,14,22,()

A.30B.28C.26D.24

(2)合數列

例題：4,6,8,9,10,⑵()

解析：除去質數列剩下的不含1的自然數為合數列

答案：14

(3)無理式

例題：V2,V3，V5,V8,()(2008年上海行測真題)

A.V12B.VTTC.V12D.V12

解析：根號里面是二級等差數列2,3,5,8,(12),根號外面是自然數列2,3,4,5,(6)

答案：A

練習：已知數列V2,V5,2V2,ViT……那么4后是第（）項（2005年上海行測真題）

A.9B.10C.11D.12

（4）數列整除特性

例題；3,65,35,513,99,（）

A.1427B.1538C.1642D.1729

解析：各項分別能被3,5,7,9,11,（13）整除，1729/13:133,選項口只有1729能被13整除。

答案：D

四、圖形形式數字推理

例題1：2007年上海行測真題3題

121314

43157?13

A.18B.20C.24D.40

解析：(4-1)/3=1=2-1,(15-1)/7析=3-1,(7-1)/13=3=4-1,?=40

答案：D

例題2：2008年中央行測真題42題

A.12B.14C.16D.20

解析：(7+8-2)x2=26,(3+6-4)x2=10,(9+2-2)x2=16

（注：這類圖形形式數字推理的規律，一般為角上的數字做運算得到中間的數字。）

答案:C

練習：圓內的數字排列數列與數字排序數歹限

題3：

A、52B、35C、22D、15

五、數字推理的解題技巧

1、多掌握一些數字推理的規律與公式，并達到運用自如的程度。

2、“嘗試錯誤法”。即在做題時先試用一種規律，如找不到止確答案再試用第二種規律，用到第

三規律，如找到了正確選項，那便對了。如仍找不到正確選項，就需暫時放棄這道題，因為這道題對

這位應試者來說就是難題了。這就是“嘗試錯誤法這道難題需放到最后，有時間時再試著找規律,

或者是采取“大膽猜測法”選擇一個應試者認為正確的選項，并將答題卡上相應的選項涂黑。

3、“代入法”。即將你認為正確的選項代入到題干中去，看是否正確，如正確，說明應試者選對

了：如錯誤，則需代入下一個選項.至到代入最后一個選項(共四個)找出正確答案為止C不過.這

種方法較費時間，使用時應準確、快速進行。

第二章數學應用

一、題型概述

1、國考題量為15道，上海題量為5道

2、題型廣泛，盡可能學習和掌握新題型，常見的有計算問題、行程問題、濃度問題、利潤問題等

3、重點掌握新變化和基本理論知識

4、加強逆向、轉化、替換、假設、互補等思維訓練

5、在掌握方程法的基礎上學會使用代入法和排除法，以及猜證結合的方法

二、數的規律

1、數的整除特點

被2整除：偶數

被3整除：每位數字相加的和是3的倍數(考點)

被4整除：末兩位數字是4的倍數

被5整除：末位數字是0或5

被6整除：能同時被2和3整除

被8整除：末三位數字是8的倍數

被9整除：每位數字相加的和是9的倍數

★知識要點：

(1)如果a能被c整除，b也能被c整除，那么它們的和(a+b)也能被c整除。

(2)幾個數相乘，如果其中有一個因數能被某一個數整除，則這幾個數的乘積也能被這個數整除。

(3)a能被b整除，a也能被c整除，如果b、c互質，那么a能被b與c的積(be)整除。

例題：下列四個數都是六位數，X是比10小的自然數，Y是零,一定能同時被2,3,5整除的數是()

(2004年上海行測真題)

A.XXXYXXB.XYXYXYC.XYYXYXD.XYYXYX

解析：根據最小公倍數原理.能同時被2,3.5整除的數一定是30的倍數.因此六位數的尾數必須

為0才可以被30整除，所以只有B是可以的，其他都不能被30整除。

答案：B

練習：在自然數1至50中，將所有不能被3除盡的數相加，所得的和是（）

A.865B.866C.867D.868

2、自然數n次方的尾數變化情況

2n的尾數變化是以4為周期變化的，分別為2,4,8,6

3n的尾數變化是以4為周期變化的，分別為3,9,7,1

7n的尾數變化是以4為周期變化的，分別為7,9,3,1

8"的尾數變化是以4為周期變化的，分別為8,4,2,6

4"的尾數變化是以2為周期變化的，分別為4,6

9"的尾數變化是以2為周期變化的，分別為9,1

5\&尾數不變

例題：1999網的末位數字是（）（2005年中央甲類真題）

A.1B.3C.7D.9

解析：9"的尾數是以2為周期進行變化的，分別為9,1,9,1,……

答案：A

練習：1988國,+1989便8的個位數是（）（2000年中央行測真題）

A.9B.7C.5D.3

★3、公倍數與公約數

（1）最小公倍數：如果一個自然數a能被口然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然

數公有的倍數，叫做這幾個自然數的公倍數。公倍數中最小的一個大于零的公倍數，稱為這幾個數的

最小公倍數。

（2）最大公約數：如果一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然

數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最達的一個公約數，稱為這幾個數的最大公約

數C

例題：某醫院內科病房有護士15人，每兩人一班，輪流值班，每8小時換班一次，某兩人同值一班

后，到下次這兩人再同值班，最長需（）天。

A.15B.35C.30D.5

解析：本題屬于公倍問題，15人每兩人一班根據“加法原理”有105中排法，第一次兩人同值一班后,

最長需要105次后再同值一班，一天換3次班，那么最長需要105+3=35天才又輪到這兩人一起值班。

答案：B

練習：三位采購員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一

次，三人星期二第一次在商店相會，下次相會是星期（）o

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

三、數字計算

1、直接補數法

概念：如果兩個數的和正好可以湊成整十、整百、整千，稱這兩個數互為補數。

例題：計算274+135+326+265

解：原式=（274+326）+（135+265）=600+400=1000

2、間接補數法

例題：計算1986+2381

解：原式二2000-14+2381=2000+2381-14=6381-14=6367（湊整去補法）

3、尾數計算法

概念：當四個答案完全不同時，可以采用為數計算法選擇出正確答案。

例題：99+1919+9999的個位數是（）

A.1B.2C.3D.7

解析：答案各不相同，所以可采用尾數法。9+9+9=27

答案:D

練習：計算(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是()(2002年中央A類真題)

A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30

4、相近的若干數求和

例題：計算1997+2002+1999+2003+1991+2005

解：把2000作為基準數，原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)=12000-3=11997

5、分組求和法

例題：計算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+...+1993+1994-1995-1996+1997+1998

解析：每4個數符號有規律變化，所以可4個4個一組，再求和。

解：(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+...+(1993+1994-1995-1996)+1997+1998

=(-4)+(-4)+...+(-4)+1997+1998

=499x(-4)+1997+1998

=1999

注：也可以把1+2單分出來，剩下的4個4個一組。

練習：(300+301+302+...+397)-(100+101+...+197)的值是()

A.19000B.19200C.19400D.19600

6、乘法運算中的湊整法

基本的湊整算式：5x2=10,25x4=100,125x4=500,625x4=2500

例題：計算(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)

解：原式二(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)=30.7/30.7=1

練習：計算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4.95

7、提取公因式法

例題：2002x20032003-2003x20022002的值是()

A.-60B.0C.60D.80

解析：原式:2002x2003x10001-2003x2002x10001:0

答案：B

練習：計算999999x777778+333333x666666

8、代換法

這類計算題先不要急于去算出具體結果，先觀察所求的式子，盡量多的找出其中的同類項，把同類項

作為一個整體參與計算，最后再計算具體結果，這樣便能省去不少計算量。

例題：計算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)

解:設A=0.23+0.34,B=0.23+0.34+0.65

原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65

練習：已知X=l/49,Y=l/7,計算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)+2Y2

9、利用函數法

一般給出函數的解析式，可以利用函數的性質簡化解題步驟，快速解題。

最常用到的函數性質是函數的周期性和對稱性。

若f(x)=ax?+bx+c(a0),那么，有如下性質：

2

(D函數的對稱軸方程為：/=-上k_,頂點縱坐標為：絲4a上p上h-

2a4a

(2)若f(a+x)=f(b-x),那么函數的對稱軸為：工二色土B

2

特殊情況：f(a+x)=f(a-x),那么函數的對稱軸為：x=a

(3)若f(x)=f(a+x),那么函數的周期為:T=a

例題：已知f(x)=x2+ax+3,若f(2+x)=(2-x),則f(2)=()

A.OB.-1C.-2D.3

解析：由析2+x)=(2-x)知,對稱軸為x=2,那么?3=2,a=-4,故f⑵=T

2

答案：B

10、利用公式法

例題：782+222+2X78X22的值是()

A.10000B.1000C.1500D.20000

解析：核心公式：完全平方公式(a+b)2=￡+2ab+b2

原式=(78+22)2=10000

答案：A

其它核心公式：

平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b-(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方公式：(a±b)Ja,t3a2b+3ab2tb'

十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

練習：計算)---------------------------------

1x77x1313x1919x2597x10

11、比較大小

⑴作差法：對任意兩數a、b,如果a-b>0則a>b；如果a-b<0則a<b；如果a-b=0則a=bo

(2)作比法：當a、b為任意兩正數時，如果a/b>1則a>b；如果a/b<1則a<b；如果a/b=l貝I」a二b,

當a、b為任意兩負數時，如果a/b>l則a〈b；如果a/b〈l則a>b；如果a/b=l則a=b。

例題：比較大小a二力一15,b=-V6

A.a<bB.a>bC.a=bD.無法確定

答案:A

幾個重要的不等式:

(1)爐>0(aeR)(2)a°+b°>2abR)

(3)竽2寂0b€a+)當且僅當a=bB寸，取“=”號

(4)-+y>2觸>0)當且僅當a=6時，取'，”號

(9上手￡之疵(久氏￡€為當且僅當。=匕時，取"『號

■1+&2+.,,+&及J',

(6)-------------2'口］&??t?(&1、a？、…、a*€R

?€Nfiyi>l)當且僅當為=為=時，取“=”號

(3)中間值法：對任意兩數a、b,當很難直接用作差法和作比法比較大小時，通常選取中間值c,如

果a>c而c>b,則a>b。

…4171013151._人口

例題:分數一、一、——、一、一中最大的一個是

9352037301

取中間嗎和原式的各個分數進行比較，可以發現

解析:

14111711101113111511

291823570220340627142301602

除了曳比2大，其余分數都比,小

30122

答案："最大

(4)倒數法：相近分數比較大小時;可通過比較分數倒數的大小來比較原分數的大小。

例題：分數，7、：17、三23、25、山101中最小的一個是()

22527016304

D--

A.得仁76

解析：各分數的倒數分別為3,、3-^~、3~^-、3，、3’—,最大的為3工所以工■最小。

717235101516

答案：A

35

練習：下列選項中，大于己而小于士的是)

57

103C,”47

B.D.

A.71043470

12、定義新計算

這種題目主要是給出?些新的運算符號“*、△、◎、X”等，并給出?種新的運算方法。求解這類

題Fl的關鍵是理解運算符號的含義，并將新運算規則轉化為救運算法則.

例題：設的運算法則如下：對任何數

若a+b210,則a*b=a+b；

若a+b<10,則a*b=ab。

計算(1*2)+(2*3)+(3*4)+(4*5)+(5*6)+(6*7)+(7*8)+(8*9)*(9*10)=()

A.125B.115C.105D.120

解析：根據運算法則，原式=1x2+2x3+3x4+4x5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10=115

答案：B

練習：如果a?b=axb+a,當x?5比5@x大100時，x=()

A.55B.75C.105D.125

四、應用題

★1、比例問題

⑴和誰比

(2)增加或減少多少

(3)運用方程法或代入法

例題：b比增加了20%,則b是a的多少？a又是b的多少？

解析：列方程a(1+20%)=b,所以b是a的1.2倍

-=—=所以a是b的2

b1.266

練習：某企業計劃從2003年起產量每年比上一年增長7%,按此計劃2008年產量比2003年增加I()

(2007上海行測真題)

A.35%B.42%C.(1+7%)-1D.(1+7%)6-1

練習：一塊試驗田，以前這塊地所種植的是普通水稻。現在將該試驗田的1/3種上超級水稻，收割時

發現該試驗田水稻總產量是以前總產量的1.5倍，如果普通水稻的產量不變，則超級水稻的平均產量

與普通水稻的平均產量之比是()(2006中央行測真題)

A.5:2B.4:3C.3:1D.2:l

2、工程問題

（D關鍵概念：

工作量：工作的多少，它可以是全部工作量，-?般用數“1”表示，也可以是部分工作量，常用分數

表示。

工作效率：干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量，可以是天、時、分、秒等。

工作效率的單位：是一個復合單位，表示“工作量/天”，或“工作量/時”等。

（2）關鍵關系式：

工作量二工作效率x工作時間

總工作量;各分工作量之和

例題：某項工作，甲單獨做需20天完成，乙單獨做需12天完成，如果乙先做6天，再由甲去完成，

問甲東要做（）天可以完成全部工作。（2005上海行測真題）

A.9B.10C.11D.12

1s

解析：設工作量為1,甲的工作效率為1/20,乙的工作效率為1/12,由題意得：；a=—==

b1.26

答案：B

練習：某工程由小張、小王兩人合作剛好可在規定的時間內完成。如果小張的工作效率提高20%,那

么兩人只需用規定時間的9/10就可完成工程；如果小王的工作效率降低25%,那么兩人就需延遲2.5

小時完成工程。問規定的時間是（）

A.20小時B.24小時C.26小時D.30小時

3、行程問題

⑴相遇問題

甲從A地到B地，乙從B地到A地，兩人在途中相遇，實質上是甲和乙?起走了A、B之間這段路程,

如果兩人同時出發，那么

A、B之間的路程=甲走的路程+乙走的路程

=（甲的速度+乙的速度）x相遇時間

二速度和X相遇時間

相遇問題的核心是“速度和”問題。

例題：兩列對開的列車相遇，第一列車的車速為10米/秒，第二列車的車速為12.5米/秒，第二列

車上的旅客發現第一列車在旁邊開過時共用了6秒，則第一列車的長度為多少米？（2004年中央A

類真題）

A.60米B.75米C.80米D.135米

解析：兩列火車的速度和為10+12.5=22.5米/秒，兩列火車這樣的速度共同行駛了6秒，行駛的距

離是第一列火車的長度，即22.5x6=135米

答案：D

練習：A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的路程等于

乙火車5分鐘走的路程。乙火車上午8時整從B站開往A站。開出一段時間后，甲火車從A站出發開

往B站，上午9時兩列火車相遇，相遇地點離A、B兩站的距離比是15:16。那么，甲火車在（）從

A站已發開往B站。（2007中央行測真題）

A.8時12分B.8時15分C.8時24分D.8時30分

（2）追及問題

兩人同時行走，甲走得快，乙走得慢，當乙在前，甲過一段時間能追上乙，這就產生了“追及問題

實質上，要計算甲在某一段時間內比乙多走的路程。

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=（甲的速度-乙的速度）x迫及時間

二速度差X追及時間

追及問題的核心是“速度差”問題。

例題：甲乙兩船同時從兩個碼頭出發，方向相同，乙船在前面，每小時行24千米，甲船在后，每小

時行28千米，4小時后甲船追上乙船，求兩個碼頭相距多少千米？

解析：甲對乙的追及速度:差=28-24=4千米/時，追及時間為4小時，則追及的距離為4x4=16千米，即

兩碼頭之間的距離

答案：兩個碼頭相距16千米。

G）流水問題

船順水航行時,一方面按自己本身的速度即船速在水面卜行進.同時整個水面又按水的流動速度在前

進，因此船順水航行的實際速度（簡稱順水速度）就等于船速與水速的和，即：

順水速度=船速+水速

同理：逆水速度二船速-水速

可推知：船速=（順水速度+逆水速度）/2；水速=（順水速度-逆水速度）/2

例題：小王從甲地到乙地，以為有風，去時用了2小時，回來用了3小時。已知甲乙兩地的距離是60

公里，求風速是多少？

A.5公里/小時B.10公里/小時C.15公里/小時D.20公里/小時

解析：設風速為x,小王的速度為y,杈據題意得2（x+y）=3（y-x）,2（x+y）=60,解得x=5

答案：A

練習：一條河的水流速度是每小時2千米，一只船從這條河的上游甲地順流到達下游的丙地，然后逆

流到達中游的乙地，共用6小時。已知這條船的順流速度是逆流速度的2倍，從甲地到乙地相距12

千米。求甲、丙兩地的距離。

4、濃度問題

核心公式：溶液濃度=等=（大多數情況，溶劑都是水）

溶液溶質+溶劑

例題：在20攝氏度時100克水中最多能溶解36克食鹽。從中取出食鹽水50克，取出的溶液濃度是

（）

（2003上海行測真題）

A.36.0%B.18.0%C.26.5%D.72.0%

解析：36/（100+36）=26.5%

答案：C

練習：有一種含水量為14.5%的煤，經過一段時間的風干，含水量為10%,則現在這堆煤的重量是原

來的（）（2004上海行測真題）

A.70%B.85%C.90%D.95%

5、利潤問題

核心公式：

（D利潤:銷售價（賣出價）-成本

利潤一銷售價■成本_銷售價

（2）利潤率二-1

成本成本

⑶銷售價二成本x（1+利潤率）

銷售價

（4）成本二

1+利潤率

例題：某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件都以135元出售，若按成本計算，其中一

件盈利25%,另一件虧本25%,則他在這次買賣中（）

A.不賠不賺B.賺9元C.賠18元D.賺18元

銷售價135

解析：根據利潤問題的核心公式，成本二U二［，第一件上衣成本二一^-二108；第二件上衣

的成本二I?'=180（虧損即利潤率為負），由此可得總成本為288元，而總銷售額為270元，所

1-25%

以賠了18元

答案：C

練習：某商場促銷，晚上八點以后全場商品在原來折扣基礎上再打9.5折，付款時滿400元再減100

元。已知某鞋柜全場8.5折，某人晚上九點多去該鞋柜買了一雙鞋，花了384.5元，問這雙鞋的原價

為多少錢？

（2008中央行測真題）

A.550B.600C.650D.700

★6、年齡問題

核心是大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數卻年年不同。解題的一般方法是直接代入法。

例題：甲對乙說：當我的歲數是你現在歲數時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數到你現在歲數時,

你將有67歲。甲乙現在各有（）（2005中央行測真題）

A.45歲，26歲B.46歲，25歲C.47歲,24歲D.48歲.23歲

解析：設甲的年齡為X,乙的年齡為Y,由題意可得Y-（X-Y）=4,X+（X-Y）二67

解得X=46,Y=25

此題應直接用代入法

答案：B

練習：5年前甲的年齡是乙的3倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當年的年齡，下列哪

一項能表示乙當年的年齡?（2008中央行測真題）

y-10

A.—+5B.——+10D.3y-5

63

7、栽樹問題

三要素：總路線長、間距、數量

例題：為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運,全國各地都在加強環保,植樹造林.某單位計劃在

通往兩個比賽場館的兩條路（不相交）的兩旁栽上樹木，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一

條路長度的兩倍還多6000米，若每間隔4米栽一棵，則少2754課；若每隔5米栽一棵，則多396棵。

那么共有樹苗（）棵。（2006中央行測真題）

A.8500B.12500C.12596D.13000

解析：設兩條路共有樹苗x棵，根據栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據路程相等列方程

（x+2754-4）X4=（x-396-4）X5（因為2條路共栽4排，所以要減4）,解得x=13000。

答案:D

練習：李大爺在馬路邊散步，路邊栽著一行樹，李大爺從第1棵走到第15棵數共用了7分鐘，李大

爺又向前走了兒棵樹后就往回走，當他回到第5棵樹時共用了30分鐘。李大爺步行到第（）棵樹

時就開始往回走。

A.32B.33C.37D.38

8、方陣問題

核心公式：

（1）方陣總人數;最外層每邊人數的平方（方陣問題的核心）

（2）方陣最外層每邊人數二方陣最外層總人數/4+1

（3）方陣外層比內層一行、一列的總人數多2

（4）一行、一列的總人數=每邊人數x2T

例題：學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人？（2002中央A類真

題）

A.256B.250C.225D.196

解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。根據四周人數和每邊人數的關系可知，每邊人數=四周

人數/4+1,得60/4+1=16人，所以整個方陣共有學生人數為16x16=256人。

答案：A

練習：小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方

形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總

價值是多少元？（2005中央行測真題）

A.1元B.2元C.3元D.4元

9、做對或做錯的問題

例題：某零件加工廠按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工資，工人每做出一個合格零件能得

到工資10元，每做出一個不合格零件將被扣除5元，已知某人一天共做了12個零件，得工資90元,

那么也在這一天做了多少個不合格零件？（2008中央行測真題）

A.2B.3C.4D.6

解析：做出一個合格零件得10元，一個不合格零件損失10+5元，若12個零件都合格，那么這個人

可以得到12x10二120元，可現在只得了90元，說明做了（120-90）/15二2個不合格零件。另外本題也可

以采用代入法快速解題。

答案：A

練習：果次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，做錯一道題倒扣2分，小周共得96分，問他

做錯了多少道題？

A.12B.4C.2D.5

10、和差倍問題

已知不同大小兩個數的和（或差）與它們的倍數關系.求這兩個數的值C

（和-差）/2二較大數；（和-差）/2二較小數；較大數-差二較小數。

例題：有4個數，他們的和是180,且第一個數是第二個數的2倍，第二個數是第三個數的2倍，第

三個數又是第四個數的2倍，問第三個數應是多少？

A.42B.24C.21D.12

解析：第一個數是第四個數的8倍，第二個數是第四個數的4倍，第三個數是第四個數的2倍，則四

個數之和為第四個數的8+4+2+1=15倍，第四個數為180/15=12,故第三人數為12x2=24。

答案：B

練習：一個男孩子的兄弟和姐妹一樣多，而他的一個妹妹只有比他的兄弟少一半的姐妹。問他家共有

多少個男孩子？

A.2B.3C.4D.5

11、“牛吃草”問題

關鍵點：草場原有的草量、草場每天生長的草量、牛每天吃的草量

例題：林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內吃光，21只猴子可以在12周內吃光，問

如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）

A.2B.3C.4D.5

解析：設原有野果為A,林子每周生長的野果量為B,猴子每周吃的野果量為C,那么A+9B=23x9C,

A+12B=21xl2C,可得B=15C,A=72C?假設33只猴子X周吃完,那么A+BX=33CX,X=4

答案：C

練習：有一池水，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10臺抽水機需要8小時，8臺抽水機

需要12小時，如果用6臺抽水機需要多少小時？

A.16B.20C.24D.28

五、幾何問題

1、面積問題

（1）基本公式

二角形的面積S=：ah

2

長方形面積S=axb

正方形面積S=a2

梯形面積S=—(a+b)h

2

圓的面積S=7rr2=-7rd2

4

球的表面積S=4^r2

(2)三角形的基本性質

等底等高的兩個三角形面積相同

等底的兩個三角形面積之比等于高之比

等高的兩個三角形面積之比等于底之比

(3)核心問題

解決面積問題的核心是“割、補”思維，通過引入新的輔助線將圖形分割或者補全，得到規則的圖形,

從而失速求得面積，即“輔助線法

例題：求下面空白部分的面積是正方形面積的幾分之幾?

解析：將陰影部分面積“切割平移添補”，從而變成止方形的1/2

答案：空白部分的面積是正方形面積的1/2

2、周長問題

(1)基本公式

長方形的周長C=2G+b)

正方形的周長04a

圓的周長C=2;rr=；rd

(2)核心問題

掌握轉化的思考方法，把某個圖形轉變成標準的長方形、正方形、圓形或其他規則圖形，以便計算它

們的局長。

例題：如圖所示，以大圓的一條直徑上的七個點為圓心，畫出七個緊密相(、

連的小圓。請問，大圓的周長與大圓內部七個小圓的周長之和相比較，結(]

果是；<j

A.大圓的周長大于小圓的周長之和

B.小圓的周長之和大于大圓的周長

C.一樣長

D.無法判斷

解析：設小圓的直徑從上到下依次為dl、d2、d3、d4、d5、d6、d7

則小圓的周長分別為cl二萬dl,c2=^d2,…，c7=^d7

cl+c2+…+c7=萬(dl+d2+…+d7)=)D(大圓直徑)=C(大圓周長)

答案:C

3、體積問題

(1)基本公式

長方形的體積V二abc

正方形的體積\{=a

圓柱的體積V=sh=)r2h,s為圓柱底面積

圓錐的體積V=,sh二,乃dh,s為圓錐底面積

33

球的，本積V=244J

3

(2)核心問題

掌握轉化的思考方法，把某個物體轉變成標準的長方體、正方體、圓或其他規則物體，以便計算它們

的體積。

例題，如圖,將校長為1的正方體ABCD-AMCD切夫一角A「ARD后,剩卜.幾何體的表面積是（）

B.5

解析：減少的表面積S.=1X14-2X3=-,增加的表面積S2二=故剩下的面積

2222

S=62+2"。

222

答案：C

練習：如圖所示，圓柱體的一個截面ABCD平行于軸（X）',若截面ABCD的面積為48cm2,00'與截面

ABCD的距離為5cm,0A為13cm,則AB的長

A.2cmB.3cmC.3.5cmD.4cm

4、覆蓋與染色問題

例題