1.1菱形的性質與判定

一、選擇題（本題包括12個小題.每小題只有1個選項符合題意）

1.如圖，在菱形力比。中，AB=4,ZB=60°,AELBC,AFLCDy垂足分別為F,F、連接E尸，則的

的面積是（）

2.如圖，在菱形H成刀中，AB=8,點E,尸分別在4瓦AD上,XAE=AF,過點、片作EGHAD靈CD于

點G,過息F作FHRAB攵BC于點、H,EG與FH交于點、C.當四邊形/1KO戶與四邊形以70〃的周長之

差為12時，4E*的值為（）

DGC

AEB

A.6.5B.6C.5.5D.5

3.如圖，BD是麥形ABCD的對憊線,以月交于點區交BD于點、F,且點石是48中點，tanABFE

的值是（）

C

1

A.-B.2C

2fD飛

4.如圖，在菱形中，對角線4G5。交于點O,“為40邊中點，菱形月5s的周長為28,則OK的長等

于（）

A

A.3.5B.4C.7D.14

5.如圖，在菱形$88中，AB=6,Z.ABD=30a,則菱形片88的面積是（）

A.18B.18小C.36D.3儂

6.如圖，O是坐標原點，菱形CM6C的頂點力的坐標為（-3,4）,頂點C在x軸的負豐軸上函數尸一（x

<0）的圖象經過頂點8,則4的值為（）

A.-12B.-27C.-32D.-36

7.菱形具有而平行四邊彩不具有的性質是（）

A.兩組對邊分別平行B.兩組對角分別相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

8.某校的校園內有一個由兩個相同的正六邊形（邊長為2.5m）圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方

先要將這個花壇在原有的基礎上擴建成一個菱形區域如圖所示，并在新擴充的部分種上草坪，則擴建后菱

形區域的周長為（）

A.20/nB.25mC.30/77D.35/n

9.如圖，在菱形中，Z.ADC=72°,力。的垂直平分線交對角線">于點尸，垂足為石，連接CP,則

/C內的度數是（）

D

10.菱形的兩條對角線長分別為6和8,則菱形的面積是（）

A.10B.20C.24D.48

11.在菱形中，下列結論錯誤的是（）

A.B（ADQB.ZZ7/1C=ZBACC.AC1BDD.AO=DO

12.如圖，在菱形4灰刀中，P、Q分別是力。、4C的中點，如果〃Q=3,那么菱形力反力的周長是（）

A.30B.24C.18D.5

二、填空題（本題包括4個小題）

13.如圖，AD是AABC的高,DE/IAC,DFIIAB,則滿足條件時，四邊形AED廠是菱形.

14.如圖，在中，已知仄F、。分別是月8、AC.8c上的點，JLDE/fAC,DFIIAB,要使四邊形

4EDF是爰形,在不改變圖形的前提下，你需添加的一個條件是________就可以證明這個多邊形是菱形

15.如圖，四邊形/18CD的對角線/1G匝＞相交于點O,且OB=OD.請你添加一個適當的條件:

,使四邊形月灰刀成為菱形.

16.如圖，小聰在作線段46的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以H和8為圓心，大于乙4/的長為半

2

徑畫弧，兩弧相交于GD,則直線8即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形力。灰;一定爰__________

三、解答題(本題包括4個小題)

17.如圖，已知在中，AACB=90°,CE是中線，與廢關于直線4C對稱.

(1)求證：四邊形月。d'是菱形;

(2)求證：BC=ED.

18.如圖，△48C與都是等邊三角形，點H尸分別為HG8c的中點.

(1)求證：四邊形七是菱形；

(2)如果/廬8,求。、戶兩點間的距離.

19.如圖，四邊形月/CO中，ABI/CD,平分/R4。，CEHAD交AB于E.

DC

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若點E是/用的中點，試判斷△力的形狀，并說明理由.

20.如圖，由兩個等寬的矩形疊合而得到四邊形48az試判斷四邊形月8。的形狀并證明

H

答案

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】??四邊形ABCD是菱形，，BC=CD,ZB=ZD=60°,/AE1BC,AF1CD,/.BCXAE=CDXAF,

ZBAE=ZDAF=30°,/.AE=AF,".,ZB=60°,/.ZBAD=120°,ZEAF=120°-30°-30°=60°,/.AAEF

是等邊三角形，/.AE=EF,ZAEF=60".-.AB=4,/.AE=ABXsin600=26

：.EF=AE=25/3AM=AE-sin6O0=3,「.△AEF的面積是：gEF?AM=gx2由X3=3招.故選:B.

2.【答案】C

【解析】根據題意可得四邊形AEOF和四邊形CGQH為菱形，且QH=EB,設AE=x,則BE=8-x,根據

菱形的周長之差為12,可得兩個菱形的邊長之差為3,即x—(8-x)=3,解得：x=5.5

考點：菱形的性質

3.【答案】D

【解析】根據菱形的性質，在菱形ABCD中，AB=BC,E為AB的中點，因此可知BE二』BC,又由CE_LAB,

2

可知ABCA為直角三角形，NBCE=30°,ZEBC=60°，再由菱形的對角線平分每一組對角，可得NEBF=1

2

ZEBC=30°,因此可求/BFE=60°,進而可得tan/BFE=由.故選D

考點：菱形的性質，解直角三角形

4.【答■案】A

【解析】根據菱形的四條邊都相等求出AB,再根據菱形的對角線互相平分可得OB=OD,然后判斷出OE

是AABD的中位線，再根據三角形的中住線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可?菱形ABCD

的周長為28,.\AB=284-4=7,OB=OD,「E為AD邊中點，「.OE是△ABD的中位線，

.,.OE=4-AB=4-X7=3.5.故選A.

22

點評：本題考查了菱形的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質與定理是

解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】過點A作AE1BC于E,如圖，?.在菱形ABCD中,AB=6,ZABD=30°,/.ZBAE=30°,/AEJ_BC,

「.AE=3業菱形ABCD的面積是6x34=18收故選B.

AD

考點：菱形的性質.

6.【答案】C

【解析】/A(-3,4),..OA二正詈叫，二5,?.四邊形OABC是菱形，/.AO=CB=OC=AB=5,則點B的

橫坐標為-3-5=-8,故B的坐標為：(-8,4),將點B的坐標代入”=一徉，4=——，解得：k=-32.故

選c.

7.【答案】D

【解析】A、不正確，兩組對邊分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質正確；C、不正

確，對角線互相平分，兩者均具有此性質；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質.故選D.

8.【答案】C

【解析】如圖，:花壇是由兩個相同的正六邊形國成，二/FGM=/GMN=120°,GM=GF=EF,「./BMG二

NBGM=60’,「.△BMG是等邊三角形，「.BG二GM=2.5(m),同理可證：AF=EF=2.5(m)..AB=BG+GF

+AF=2.5X3=7.5(m),擴建后菱形區域的周長為7.5X4=30(m),故選C.

考點：菱形的性質.

9.【答案】B

【解析】如圖，連接AP,,在菱形ABCD中，/ADC=72°,BD為菱形ABCD的對角線，ZADP=ZCDP=-

2

NADC=36°./AD的垂直平分線交對角線BD于點P,垂足為E,

/.PA=PD./DAP=/ADP=36"/APB二

ZDAP+ZADP=72°.又?菱形ABCD是關于對角線BD對稱的，/.ZCPB=ZAPB=72°.故選B.

點睛：連接AP,利用線段垂直平分線的性質和菱形的性質求得/APB的度數是解本題的基礎，而利用通常

容易忽略的“菱形是關于對稱軸所在直線對稱的"，由軸對稱的性質得到/CPB=/APB才是解決本題的關

鍵.

10.【答案】C

【解析】由菱形的兩條對角線的長分別是6和8,根據菱形的面積等于對角線積的一半，即可求得答案.

..這個菱歷的面積患：

菱形的兩條對角線的長分別是6和8,-ix6X8=24.故選C.

乙

考點：菱形的性質.

11.【答案】D

【解析】根據菱形的性質：“菱形的對角域互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角”可知：選項A、B、

C的結論都是正確的，只有選項D的結論不一定成立.故選D.

12.【答案】B

【解析】/P,Q分別是AD,人（2的中點，「丁、是4人口（2的中位線，，口02口（^二6.又7在菱形人1^口中，

/\B=BC=AD=CD,/.C芟形ABCD=6+6+6+6=24.故選B.

二、填空題（共5題）

13.【答案】AB=AC或/Bn/C

【解析】?--DE//AC,DF//AB,?.四邊形AEDF是平行四邊形.所以當四邊形AEDF中有一組鄰邊相等時，

它就是菱形了.由此在AABC中可添加條件：（1）AB=AC或（2）ZB=ZC.（1）當添加條件“AB=AC”時，

.AD是AABC的高，AB=AC,...點D是BC邊的中點，又「DE//AC,DF//AB,.?.點E、F分別是AB、

AC的中點，，AE=1AB,AF=」AC,「.AE=AF,.??平行四邊形AEDF是菱形.（2）當添加條件“/B=/C”

22

時，

則由NB=/C可得AB=AC,同（1）的方法可證得：AE=AF,二平行四邊形AEDF是菱形.

14.【答案】AB二AC,答案不唯一

【解析】根據DE//AC,DF//AB,可直接判斷出四邊形AEDF是平行四邊形，要使其變為菱形，只要鄰邊

相等即可，從而可以得出.條件AE=AF（或AD平分角BAC,等）-/DE//AC,DF力AB,?..四邊形AEDF

是平行四邊形，又AE=AF,，四邊形AEDF是菱形.

考點：菱形的判定.

15.【答案】AB二AD,答案不唯一

【解析】由已知條件可證四邊形ABCD是平行四邊形，而要使平行四邊形是英形，根據菱形的判定方法可

添加：（1）四邊形ABCD中，有一組鄰邊相等；（2）四邊形ABCD的對角線互相垂直；

因此，本題的答案不唯一，如可添加：AB二AD,證明如下：,.四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點Q,

JLOA=OC,OB=OD.「.四邊形ABCD是平行四邊形.又「AB=AD,平行四邊形ABCD是菱形.

點睛：本題方法不唯一，由已知條件可證得四邊彩ABCD是平行四邊形，結合菱形判定方法中的：①有一

組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線相等的平行四邊形是菱形；就可得到本題添加條件的方法有3

種：⑴直接添加四組鄰邊中的任意一組相等；⑵直接添加對角線AC_LBD;⑶在題中添加能夠證明（1）

或（2）的其它條件.

16.【答案】菱形

【解析】?.分別以A和B為圓心，大于LxB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D,.-.AC=AD=BD=BC,/.

2

四邊形ADBC是菱形.故答案為：菱形.

三、解答題（共5題）

17.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）由AABC中，ZACB=90°,CE是中線，可證得：CE=AE,再由4ACD與4ACE關于直線

AC對稱，可得AD二AH=CE=CD,從而可得四邊形ADCE是菱形；（2）由（1）可得DC//BE,DC=AE=BE,

從而可證得：四邊形BCDE是平行四邊形，就可得到：BC=DE.

（1）證明：.??/C=90"，點E為AB的中點，/.EA=EC.

/AACD與ZXACE關于直線AC對■稱.

.,.△/XCD^AACE,

/.EA=EC=DA=DC,

??四邊彩ADCE是菱形；

（2）..四邊形ADCE是菱形，

.,.CD//AEJLCD=AE,

/AE=EB,/.CD/'EBXCD=EB

四邊形BCDE為平行四邊形，

.,.DE=BC.

18.【答案】（1）證明見解析；（2）4^3

【解析】（1）由△ABC是等邊三角形，點E、F分別為AC、BC的中點可證仔：EF=EC=FC;由△口￡（：是

等邊三角形可得：DE=DC=EC,從而可得EF=FC=CD=DE,由此可得：四邊形EFCD是菱形；（2）連接

DF交AC于點G,由已知易證EF=EC=4,再由菱形的對角線互相垂直平分，可得EG=2,再由勾股定理可

得：FG=2瓜從而可得DF=%,

解：（1）;△ABC與ACDE都是等邊三角形

「.AB二AC二BC,ED=DC二EC

?.點E、F分別為AC、BC的中點

111

/.EF=-AB,EC=-AC,FC=-BC

222

.\EF=EC=FC,/.EF=FC=ED=DC,

四邊形EFCD是菱形.

（2）連接DF,與EC相交于點G,

..四邊形EFCD是菱形，

.DF.LEC,垂足為G,EG=-EC,

2

ZEGF=90°,

11

又「AB=8,EF=-AB,EC=-AC,

22

.'.EF=4,EC=4,EG=2,

?.GF二出F?-EG2=28

?.DF=2GF=4j5.

19.【答案】（1）證明見解析；（2）直角三角形.

解：（1）四邊形ABCD中，AB//CD,過C作CE療AD交AB于E,

則四邊彩AECD是平行四邊再（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）,

因為ABIICD,所以iEAC=ZACD；

AC平分/BAD,所以Z￡AC=KCAD,

因此4ACD=4CAD,所以AD=CD,

所以四邊形AECD是菱形.

（2）由（1）知四邊形AECD是菱形，所以AE=CE;

點E是AB的中點，AE=BE,

所以CE=AE二BE,

所以AABC是直角三角形（斜邊上的中線等于斜邊的一半是直角三角形）

考點：平行四邊形，菱形，直角三角形

點評：本題考查平行四邊形，菱形，直角三角形，要求考生掌握平行四邊形的判定方法，菱形的判定方法

和性質，直角三角形的性質

20.【答案】四邊形月/8是菱形.證明見解析.

【解析】過點A作AR1BC于點R,AS1CD于點S,由已知可得：AD//BC,AB//CD,從而得到四邊形

ABCD是平行四邊形；由矩形紙條等寬可得AR=AS,由面積法可證得：BC=DC,從而可得：平行四邊形

ABCD是菱形.

解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：

作AR_LBC于R,AS1CD于S,

由題意知：AD”BC,AB//CD,

/.四邊形ABCD是平行四邊形,

.?.兩個矩形等寬，.*.AR=AS,

S平行舊邊形ABCD=AR*BC=AS*CD,

/.BC=CD,

/.平行四邊形ABCD是菱形.

H

點睛：本題第一步容易證得四邊形ABCD是平行四邊形；第二步抓住題中條件“等寬的矩形”通過作輔助

線ARJ_BC,AS1CD,就可得AR=AS,再用“面積法”證得：BC二CD是解決本題的關鍵.

L2矩形的性質與判定

一、選擇題（本題包括11個小題.每小題只有1個選項符合題意）

1.如圖，小賢為了體臉四邊形的不穩定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形雁架43c8與。兩點之間

用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是（）

A.四邊形7148由矩形變為平行四邊形

B.初？的長度增大

C.四邊形4笈S2的面積不變

D.四邊形的周長不變

2.如圖，在矩形力88中，對角線HC、交于點。，以下說法錯誤的是（)

A./"CB.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

3.如圖，O是矩形718。的對角線/!C的中點，/W是/I。的中點，若/1B=5,AD=12,則四邊形/I灰W的

周長為（）

A.17B.18D.20

4.如圖，矩形的兩條對角線的一個交角為60、,兩條對角線的長度的和為20沏，則這個矩形的一條較短邊

的長度為（）

A.10cn?B.8cmC.6cmD.5cm

5.如圖，在矩形45co中，對角線/IC、取?相交于點。，若/4530",A8=2,則瓦？的長為（）

A.4B.3C.2D.1

6.一個矩形被分成不同的4個三角形，其中綠色三角形的面積占矩形面積的15%,黃色的三角形的面積是

212,則該矩形的面積為（）

A.602B.702D.1402

7.如圖，矩形/弓。中，AC攵BD于點、O,/40久60°,OELAC.若A吟jj,則OE=()

D.4

A.對角線相等B.兩組對邊分別平行C.對角線互相平分D.兩組對角分別相等

9.矩形的一內角平分線把矩形的一條邊分成3cm和5cm的兩部分，則此矩形的周長為（）

A.\6cmB.22cmC.26cmD.22cm或26cm

10.矩形的對角線所成的角之一是65°,則對角線與各邊所成的角度是（）

A.57.5°B.32.5°C.57.5°,23.5°D.57.5°,32.5°

11.過四邊形的各個頂點分別作對角線的平行線，若這四條平行線圍成一個矩形，則原四邊形一定是（）

A.對角線相等的四邊形

B.對角線垂直的四邊形

C.對角線互相平分且相等的四邊形

D,對角線互相垂直平分的四邊形

二、填空題（本題包括3個小題）

12.如圖，平行四邊形兒灰刀的對角線相交于點O,請你添加一個條件（只添一個即可），使平

行四邊形力灰刀是矩形.

13.平行四邊形力改力的對角線相交于點。，分別添加下列條件：①/力灰=90°;?ACLBD\?AB=BC\

④4c平分NA4Z?;?AO=DO.使得四邊形力右8是矩形的條件有

14.木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為15cm,寬為8cm,對角線為17cm,這個桌面(填”

合格"或“不合格”)

三、解答題(本題包括5個小題)

15.如圖，平行四邊形45。中，點AF、G、H分別在AB、BC、CD、4。邊上且4E=CG,AH=CF.

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)如果40=4。，JLAH=AE,求證：嗎邊形EFGH是矩形

16.如圖，在△48C中，AB=AC=5,BC=6,川。為8。邊上的高，過點力作月萬力3G過點、。作DE#HC,

AE與DE交于，aE,AB與DE交于點、F,連結BE.求四邊形H石。。的面積

17.如圖，在平行四邊形普中，/B/Q的平分線爻CD于點、E,交"7的延長線于點尸，連接BE,

NE=45°.求證：四邊形/13CO是矩形

18.有一塊形狀如圖所示的玻璃，不小心把。石戶部分打碎，現在只測得/1比60cm,BC=30cm,ZA=120°,

Z5=60°,ZC=150°,你能設計一個方案，根據測得的數據求出HD的長嗎？

19.如圖，中，AB=ACtAD.4后分別是/H4C與/歷1C的外角的平分線，BE\_AE.求證：AB=DE

答案

一、選擇題

1.【答案】C

【解析】由題意可知，當向右扭動框架時，BD可伸長，故BD的長度變大，四邊形ABCD由矩形變為平行

四邊形,因為四條邊的長度不變，所以四邊形ABCD的周長不變.原來矩形ABCD的面積等于BC乘以AB,

變化后平行四邊形ABCD的面積等于底乘以高，即BC乘以BC邊上的高，BC邊上的高小于AB,所以四邊

形ABCD的面積變小了，故A,B,D說法正確，C說法錯誤.故正確的選項是C.

考點：1.四邊形面積計算；2.四邊形的不穩定性.

2.【答案】D

【解析】本題考查了矩形的性質；熟練掌握矩形的性質是解決問題的關鍵.矩形的性質：四個角都是直角，

對角線互相平分且相等；由矩形的性質容易得出結論.二四邊形ABCD是矩形，.?.NABC=NBCD=NCDA

=ZBAD=90°,AC=BD,OA=-^AC,OB=^BD,.\OA=OB,「.A、B、C正確，D錯誤

考點：矩形的性質

3.【答案】D

【解析】丁。是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，.?./ABC=ND=90°,CD=AB=5,

BC=AD=12,OA=OB,OM為AACD的中位線，=上D=2.5,AC=fe2-122=13,「O是矩形ABCD

2v

的對角線AC的中點，，BO=1AC=6.5,「.四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20,故選

2

D.

考點：矩形的性質.

4.【答案】D

【解析】??四邊形ABCD是矩形，/.OA=OC=-AC,OD=OB=-BD,AC=BD,.'.OA=OB,\^0+60=20,

22

.'.AC=BD=10cm,/.OA=OB=5cm,/OA=OB,ZAOB=60°,「.ZiOAB是等邊三角形，/.AB=OA=5cm,

故選D.

考點：1.矩形的性質；2.等邊三角形的判定與性質.

5.【答案】A

【解析】在矩形力8co中，^ABC=90°:^ACB=30°,A氏2,：.AC=2AB=2X2=4,..四邊形/13CP

是矩形，：.BD=AC=4.故選A.

6.【答案】A

【解析】黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而綠色三角形面積占矩形面積的15%,所

以黃色三角形面積占矩形面積的(50%>15%)=35%,已知黃色三角形面積是21平方厘米，故矩形的面積=21+

(50%-15%)=21+35%=60(cm2).故選A.

考點：矩形的性質.

7.【答案】A

【解析】??四邊形4瓦才是矩形，/力。吐60°,...△4?。是等邊三角形，二小，/040=60°,

/.zOAE=

30°,/OELAC,.,.△。4￡是一個含30°的直角三角形，：.OE=X,故選A.

8.【答案】A

【解析】二.矩形具有的性質是：對角線相等且互相平分，兩組對邊分別平行，兩組對角分別相等；菱形具

有的性質是：兩組對邊分別平行，對角線互相平分，兩組對角分別相等；，矩形具有而菱形不具有的性質

是：對角線相等.故選A.

9.【答案】D

【解析】??四邊形ABCD是矩形，/.AD=BC,AB=CD,AD4BC,/AEB=/CBE,「BE平分/ABC,

/.ZABE=ZCBE,/.ZAEB=ZABE,/.AB=AE,當AE=3cm時，AB=AE=3=CD,

AD=3cm+5cm=8cm=BC,

.?.此時矩形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；當AE=5cm時，

AB=AE=5cm=CD,AD=3cm+5cm=8cm=BC,...此時矩形ABCD的周長是

AB4-BC4-CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm;故選D.

考點：矩形的性質.

10.【答案】D

【解析】??四邊形/仍8是矩形，..//!吐90°,ADUBC,ABIICD,AC=BD,AO=OC,OB=OD,/.OB=

OA-OC=OD,/_OAB=AOCD,ADAO=AOCB,：.AOAD=AODA,AOCB=/_OBC,AODOAOCD,

AOAB=AOBA=-X(180°-/_AOB)=-X(180°-65°)=57.5°,/ZABC=^°,4590°

22

57.5"=32.5°,即/O/IA/O￡M=/080/005=32.5°,ZOAB=ZOBA=ZODOZ(9CD=57.5",對

角線與各邊所成的角度是57.5°和32.5°,故選D.

B

點睛：本題考查了矩形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質的應用，能正確運用矩形的性質

進行推理是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等且互相平分.

11.【答案】B

【解析】??四邊形EFGH是矩形，/.ZE=90°,,:EF/fAC,EH//BD,/.ZE+ZEAG=180°,

ZE+/EBO=180°,ZEAO=ZEBO=90°,「.四邊形AEBO是矩形，/.ZAOB=90°,/.AC_LBD,故

F

二、填空題

12.【答案1AOBD.答案不唯一

【解析】添加的條件是月0=6。，理由是：四邊形4反力是平行四邊形，平行四邊形4反力

是矩形，故答案為：AC=BD.答案不唯一.

點睛：本題考查了矩形的判定定理的應用，注意：對角線相等的平行四邊形是矩形，此題是一道開放型的

題目，答案不唯一.

13.【答案】①⑤

【解析】要使得平行四邊形月8。為矩形添加：①//次;90°;⑤/個即可；故答案為：①⑤.

14.【答案】合格

【解析】勾股定理的逆定理：若一個三角形的兩邊長的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形的直角三

角形.:修豈*解=1腔這個桌面合格.

考點：勾股定理的逆定理

點評：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握勾股定理的逆定理，即可完成.

三、解答題

15.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）易證得△AEH0ZM2GF,從而證得BE=DG,DH=BF.故有，△BEF0ZXDGH,根據兩組對

邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證.（2）由題意知，平行四邊形ABCD是菱形，連接AC,BD,則

有AC1BD,由AB=AD,且AH=AE可證得HE//BD,同理可得到HG”AC,故HG1HE,又由（1）知

四邊形HGFE是平行四邊形，故四邊形HGFE是矩形.

證明：(1)在平行四邊形ABCD中，/A=/C,

又「AE=CG,AH=CF,

.,.△AEH^ACGF.「.EH=GF.

在平行四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,

.,.AB-AE=CD-CG,AD-AH=BC-CF,

即BE二DG,DH=BF.

又「在平行四邊形ABCD中，ZB=ZD,

.,.△BEF^ADGH..,.GH=EF.

四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)在平行四邊形ABCD中，AB力CD,AB=CD.

彳殳/A=%則/D=180°-a.

,,1800-aa

1/AE=AH,「./AHE=/AEH=----------90°—.

22

「AD二AB二CD,AH=AE=CG,

「.ADAH=CD-CG,即DH=DG.

18O°-(18O-a)a

/DHG=/DGH=------------------

22

/.ZEHG=180°-ZDHG-ZAHE=9O".

又-/四邊形EFGH是平行四邊形，

四邊形EFGH是矩形.

考點：1.矩形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質；3.平行四邊形的判定與性質.

16.【答案】12.

【解析】利用平行四邊形的性質和矩形的判定定理推知平行四邊形/“打。是矩形.在中，由勾股

定理可以求得的長度，由等腰三角形的性質求得CD(或8。)的長度，則矩形的面積二長X寬

=AI>BD=AI>CD.

解：'：AEHBC,BEIIAC,，四邊形4EDC是平行四邊形，：.AE=CD.

在△?!灰？中，AB=AC,力。為成;邊上的高，從DB=90",BD=CD,

：.BD=AEy平行四邊形是矩形.

在RtzXAOC中，AADB=90°,AC=5,CD=^C=3,/.T4Z>=^52-32=4,

..四邊形AEBD的面積為:BI>AD=X4=12.

點睛：本題考查了矩形的判定與性質和勾股定理，根據“等腰三角形的性質和有一內角為直角的平行四邊

形為矩形”推知平行四邊形力反8。是矩形是解題的難點.

17.【答案】證明見解析.

【解析】欲證明四邊形川笈8是矩形，只需推知/。18是直角.

證明：..四邊形ABCD是平行四邊形，..AD4BC,/DAF二/F.

.「NQ45°,04645°.

.二4戶是/歷1。的平分線，：,AEAB=ADAE=45a,ZDAB=9Q°.

又?.四邊形/188是平行四邊形，..四邊形//8是矩形.

18.【答案】AD=\40cm.

【解析】itCMIIAB,交4?于M推出平行四邊形推出4加。忙60cm,

AB=/AMCy求出ND=NM刀，求出a^DM=60cm,代入4Z>=4W^DV/求出即可.

解：過C作CMIIAB,交力。于〃，

?/Z^=120°,/氏60’,「./月十/4180°,AMIIBC,

YABHCM,.??四邊形力是平行四邊形，.../16=。H606,BC=AM=^cmyN6=N4WC=60°,

SADIIBC,Z<=150°,/女180°-150°=30°,

/.Z3/07=60°-30°=30°=乙口、：.C]\f=DM=G0cmy

4。=60cm+80cm=140cm.

【解析】先由角平分線和等腰三角形的性質證明再由/I。、4E1分別是/用K與/歷1C的外角的

平分級可證得ZM_L4G,可得ADMBE,可證得四邊形dDZ見為矩形，可得轉論.

證明：:?1。、月后分別是NA4c與/歷1。的外角的平分線，..^BACH-^EAB=-(ABAC+AFAB)=90°,

2

：BE\_AE,：.DAHBE,

：AB=ACy."A吟/ACB,

/ZFAB=ZABC+ZACB=2AABC,且/E4莊2/E46,

：./_ABC=/_EAB,：.AE//BD,..四邊形/石8。為平行四邊形，且/3E4=S0°,

」.四邊形為矩形，..A^DE.

點睛：本題主要考查矩形的判定和性質，由角平分線及等腰三角形的性質證明力￡7/8。是解題的關鍵.

1.3正方形的性質與判定

一、選擇題（本題包括11個小題.每小題只有1個選項符合題意）

1.下列五個命題：（1）若直角三角形的兩條邊長為5和12,則第三邊長是13;（2）如果a/0,那么（小）2=a;

（3）若點P（a,b）在第三象限，則點P（-a,-b+1）在第一象限；（4）對角線互相垂直且相等的四邊

形是正方形；（5）兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.其中不正確命題的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.下列命題，其命題是（）

A.兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線相等的四邊形是矩形

C.兩條對角線互相垂直平分的四邊邊是菱形

D.兩條對角線平分且相等的四邊形是三方形

3.如圖，在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,F是AB邊上的中點，點D,E分別在AC,BC邊上運動，

且保掙AD=CE.連接DE,DF,EF.在此運動變化的過程中，下列結論：

①4DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③DE長度的最小值為4;④四邊形CDFE

的面積保持不變；⑤4CDE面積的最大值為8.其中正確的結論是（）

A.?<D?B.①??C.???D.③④⑤

4.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）

A.當AB=BC時，它是菱形B.當AC_LBD時，它是菱形

C.當/ABC=90"時，它是矩形D.當AC=BD時，它是正方形

5.已知四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這

個條件可以是（）

A.ZD=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

6.如圖，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開.如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折

痕成（）

A.22.5°角B.30°角C.45°角D.60°角

7.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是（）

A.AC=BD,AB/ZCD,AB=CDB.AD/ZBC,ZA=ZC

C.AO=BO=CO=DO,AC_LBDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC

8.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）

菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的圖形是（）

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

9.四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,設有下列條件：①AB=AD;②/DAB=90°;?AO=CO,

BO=DO;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD,⑥正方形ABCD,則下列推理不成立的是（）

A.①?n⑥B.①③0⑤C.①②二⑥

10.下列說法中錯誤的是（）

A.四個角相等的四邊形是矩形B.對角線互相垂直的矩形是正方形

C.對角線相等的菱形是正方形D.四條邊相等的四邊形是正方形

11.矩形的四個內角平分線圍成的四邊形（）

A.一定是正方形B,是矩形C.菱形D.只能是平行四邊形

二、填空題（本題包括2個小題）

12.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點O,若不增加任何字母與輔

助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是.

13.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相應的空格上.

（1）正方形可以由兩個能夠完全重合的拼合而成；

（2）菱形可以由兩個能夠完全重合的拼合而成；

（3）矩形可以由兩個能夠完全重合的拼合而成.

三、解答題（本題包括6個小題）

14.如圖，點D是線段AB的中點，點C是線段AB的垂直平分線上的任意一點，DEJ_AC于點E,DF1BC

于點F.

(1)求證：CE=CF;

(2)點C運動到什么位置時，四邊形CEDF成為正方形？請說明理由.

15.已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點，DE_LAC,DF1AB,垂足分別是E、F,且BF=CE.

(1)求證：Z\ABC是等腰三角形；

(2)當/A=90"時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結論.

16.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點，且4ACE是等

邊三角形.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若NAED=2/EAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

17.已知：如圖，在AABC中，AB=AC,AD_LBC,垂足為點D,AN^AABC夕卜南/CAM的平分線，CE1AN,

垂足為點E,

(1)求證：四邊形ADCE為矩形；

(2)當aABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.

M

BDC

18.如圖：已知在AABC中，AB=AC,D為BC邊的中點，過點D作DE1AB,DF_LAC,垂足分別為E,

F.

(1)求證：△BED9ZXCFD;

(2)若/A=90°,求證：四邊形DFAE是正方形.

19.如圖，在RtZXABC與Rt^ABD中，ZABC=ZBAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于點G,過點A作

AE//DB交CB的延長線于點E,過點B作BF//CA交DA的延長線于點F,AE,BF相交于點H.

(1)圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對進行證明；(不添加任何輔助線)

(2)證明：四邊形AHBG是菱形；

(3)若使四邊形AHBG是正方形，還需在RtaABC的邊長之間再添加一個什么條件？請你寫出這個條

件.(不必證