第2章

位姿描述與變換主要內容2.1空間向量坐標運算2.2位置與姿態的描述2.3旋轉矩陣與姿態角2.4齊次坐標變換2.5本章小結本節介紹空間坐標系中右手直角坐標系的概念，根據平面向量的性質求解空間向量的直角坐標運算，并通過向量的內積與外積引出法向量的概念。2.1空間向量坐標運算

2.1.1空間坐標系圖2-1

直角坐標系

2.1.1空間坐標系

2.1.2空間向量的性質及運算圖2-2

空間直角坐標系的坐標

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.2空間向量的性質及運算圖2-3向量的坐標投影

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.2空間向量的性質及運算圖2-4

向量的方向角

2.1.2空間向量的性質及運算

2.1.3向量內積與外積

2.1.3向量內積與外積

2.1.3向量內積與外積

2.1.3向量內積與外積也就是說，向量的點積可以用來表征兩個向量之間的夾角，以及第一個向量在第二個向量方向上的投影。

2.1.3向量內積與外積

圖2-5點積表征的投影

2.1.3向量內積與外積

2.1.3向量內積與外積

圖2-6向量的叉乘為了描述現實世界中有關空間物體的機械運動，就要研究空間物體本身相對位置或自身各個部分相對位置發生變化的運動。一個空間物體的機械運動，選擇的參照對象不同，對它的描述也就不同。因此，為了描述一個空間物體的機械運動，就要選擇一個參照坐標系，這個坐標我們一般稱之為世界坐標系（WorldFrame）。為了描述剛體在空間中相對世界坐標系的運動，可以在剛體質心上建立坐標系，這個坐標系稱為本體坐標系（BodyFrame）。2.2位置與姿態的描述

2.2位置與姿態的描述圖2-7坐標系{w}世界坐標系{B}本體坐標系一個剛體的運動，主要分為移動和轉動兩種。如圖2-8所示，剛體的平面運動一般有3個自由度（3DegreeofFreedom）。剛體在空間中的運動，一般就有6個自由度（6DegreeofFreedom），即三個坐標分量和三個姿態分量。2.2位置與姿態的描述{w}世界坐標系{B}本體坐標系圖2-8剛體運動那么在坐標系中，是如何表示剛體的移動和轉動的呢？對于確定了的坐標系，可以用位置矢量，來表示世界坐標系上任一點的位置，如圖2-9所示。2.2位置與姿態的描述圖2-9位置矢量{w}世界坐標系{B}本體坐標系

2.2位置與姿態的描述

2.2位置與姿態的描述

2.2位置與姿態的描述

2.2位置與姿態的描述

2.2位置與姿態的描述例2.1如圖2-10所示，求坐標系B相對于坐標系W的旋轉矩陣。2.2位置與姿態的描述圖2-10例2.1旋轉矩陣{w}世界坐標系例2.2如圖2-11所示，求坐標系B相對于坐標系W的旋轉矩陣。2.2位置與姿態的描述上視圖30°30°{w}世界坐標系圖2-11例2.2旋轉矩陣例2.3如圖2-12所示，求坐標系W相對于坐標系B的旋轉矩陣。2.2位置與姿態的描述以體坐標系為參考的上視圖30°圖2-12例2.3旋轉矩陣{w}世界坐標系

2.2位置與姿態的描述圖2-13例2.4向量轉換{w}世界坐標系

2.2位置與姿態的描述圖2-14繞Z軸旋轉{w}世界坐標系

2.2位置與姿態的描述圖2-15繞X軸旋轉

2.2位置與姿態的描述圖2-16繞Y軸旋轉

2.2位置與姿態的描述圖2-17

向量旋轉變換{w}世界坐標系剛體轉動的姿態，可以用旋轉矩陣來描述。旋轉矩陣可以反映固連在剛體上的坐標系，其三個坐標軸，在世界坐標系的三個坐標軸上的投影。此外，剛體在空間中的運動，有六個自由度（6DOF），分別為剛體質心位置在空間中的三個自由度（3DOF）的移動，以及與剛體固連的本體坐標系，分別繞世界坐標系的X，Y，Z軸旋轉而產生的另外三個自由度（3DOF）的轉動。并且，這個繞世界坐標系的X，Y，Z旋轉得角度，稱之為姿態角。2.3旋轉矩陣與姿態角2.3旋轉矩陣與姿態角那么，同樣是描述剛體的轉動，如果對于給定的一個旋轉矩陣，如何換算出剛體繞世界坐標系的X，Y，Z軸轉動的姿態角呢？圖2-18

固定角坐標首先來看X-Y-Z固定角坐標，如圖2-18所示。

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角所謂的Z-Y-X歐拉角表示法，就是一開始本體坐標系B與世界坐標系W重合，然后依次繞本體坐標系B的Z-Y-X軸旋轉，這里每一次旋轉，均是根據上一次旋轉所在位置而進行。這三次旋轉的角度稱為歐拉角。如圖2-19所示。2.3旋轉矩陣與姿態角所謂的Z-Y-X歐拉角表示法，就是一開始本體坐標系B與世界坐標系W重合，然后依次繞本體坐標系B的Z-Y-X軸旋轉，這里每一次旋轉，均是根據上一次旋轉所在位置而進行。這三次旋轉的角度稱為歐拉角。如圖2-19所示。2.3旋轉矩陣與姿態角圖2-19

歐拉角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.3旋轉矩陣與姿態角

2.4齊次坐標變換驗證式（2-50）。1）坐標平移映射所謂映射，就是從一個坐標系到另一個坐標系的變換。如圖2-21所示。2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換圖2-23表示了坐標系間直接既有平移，又有轉動的情況。2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換例2.7如圖2-24所示，已知坐標系B的原點，在坐標系W中的位置為(10,5,0)，空間中一點P，在坐標系B中的坐標為(3,7,0)，坐標系B的姿態為繞Z軸以右手準則正向旋轉30度。求點P在坐標系W中的表示。2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換可以從投影的角度來驗證上式計算的正確性，如圖2-25所示。2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

圖2-28先轉動再移動

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換

2.4齊次坐標變換圖2-30

先轉動再移動的變換

2.4齊次坐標變換圖2-31

向量在三個坐標系之間的連續變換