第2章

位姿描述與變換主要內(nèi)容2.1空間向量坐標(biāo)運(yùn)算2.2位置與姿態(tài)的描述2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角2.4齊次坐標(biāo)變換2.5本章小結(jié)本節(jié)介紹空間坐標(biāo)系中右手直角坐標(biāo)系的概念，根據(jù)平面向量的性質(zhì)求解空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，并通過(guò)向量的內(nèi)積與外積引出法向量的概念。2.1空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

2.1.1空間坐標(biāo)系圖2-1

直角坐標(biāo)系

2.1.1空間坐標(biāo)系

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算圖2-2

空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算圖2-3向量的坐標(biāo)投影

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算圖2-4

向量的方向角

2.1.2空間向量的性質(zhì)及運(yùn)算

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積也就是說(shuō)，向量的點(diǎn)積可以用來(lái)表征兩個(gè)向量之間的夾角，以及第一個(gè)向量在第二個(gè)向量方向上的投影。

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

圖2-5點(diǎn)積表征的投影

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

2.1.3向量?jī)?nèi)積與外積

圖2-6向量的叉乘為了描述現(xiàn)實(shí)世界中有關(guān)空間物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，就要研究空間物體本身相對(duì)位置或自身各個(gè)部分相對(duì)位置發(fā)生變化的運(yùn)動(dòng)。一個(gè)空間物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，選擇的參照對(duì)象不同，對(duì)它的描述也就不同。因此，為了描述一個(gè)空間物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，就要選擇一個(gè)參照坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)我們一般稱之為世界坐標(biāo)系（WorldFrame）。為了描述剛體在空間中相對(duì)世界坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)，可以在剛體質(zhì)心上建立坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系稱為本體坐標(biāo)系（BodyFrame）。2.2位置與姿態(tài)的描述

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-7坐標(biāo)系{w}世界坐標(biāo)系{B}本體坐標(biāo)系一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，主要分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種。如圖2-8所示，剛體的平面運(yùn)動(dòng)一般有3個(gè)自由度（3DegreeofFreedom）。剛體在空間中的運(yùn)動(dòng)，一般就有6個(gè)自由度（6DegreeofFreedom），即三個(gè)坐標(biāo)分量和三個(gè)姿態(tài)分量。2.2位置與姿態(tài)的描述{w}世界坐標(biāo)系{B}本體坐標(biāo)系圖2-8剛體運(yùn)動(dòng)那么在坐標(biāo)系中，是如何表示剛體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的呢？對(duì)于確定了的坐標(biāo)系，可以用位置矢量，來(lái)表示世界坐標(biāo)系上任一點(diǎn)的位置，如圖2-9所示。2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-9位置矢量{w}世界坐標(biāo)系{B}本體坐標(biāo)系

2.2位置與姿態(tài)的描述

2.2位置與姿態(tài)的描述

2.2位置與姿態(tài)的描述

2.2位置與姿態(tài)的描述

2.2位置與姿態(tài)的描述例2.1如圖2-10所示，求坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系W的旋轉(zhuǎn)矩陣。2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-10例2.1旋轉(zhuǎn)矩陣{w}世界坐標(biāo)系例2.2如圖2-11所示，求坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系W的旋轉(zhuǎn)矩陣。2.2位置與姿態(tài)的描述上視圖30°30°{w}世界坐標(biāo)系圖2-11例2.2旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)?.3如圖2-12所示，求坐標(biāo)系W相對(duì)于坐標(biāo)系B的旋轉(zhuǎn)矩陣。2.2位置與姿態(tài)的描述以體坐標(biāo)系為參考的上視圖30°圖2-12例2.3旋轉(zhuǎn)矩陣{w}世界坐標(biāo)系

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-13例2.4向量轉(zhuǎn)換{w}世界坐標(biāo)系

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-14繞Z軸旋轉(zhuǎn){w}世界坐標(biāo)系

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-15繞X軸旋轉(zhuǎn)

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-16繞Y軸旋轉(zhuǎn)

2.2位置與姿態(tài)的描述圖2-17

向量旋轉(zhuǎn)變換{w}世界坐標(biāo)系剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)，可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)描述。旋轉(zhuǎn)矩陣可以反映固連在剛體上的坐標(biāo)系，其三個(gè)坐標(biāo)軸，在世界坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。此外，剛體在空間中的運(yùn)動(dòng)，有六個(gè)自由度（6DOF），分別為剛體質(zhì)心位置在空間中的三個(gè)自由度（3DOF）的移動(dòng)，以及與剛體固連的本體坐標(biāo)系，分別繞世界坐標(biāo)系的X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的另外三個(gè)自由度（3DOF）的轉(zhuǎn)動(dòng)。并且，這個(gè)繞世界坐標(biāo)系的X，Y，Z旋轉(zhuǎn)得角度，稱之為姿態(tài)角。2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角那么，同樣是描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，如果對(duì)于給定的一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，如何換算出剛體繞世界坐標(biāo)系的X，Y，Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)角呢？圖2-18

固定角坐標(biāo)首先來(lái)看X-Y-Z固定角坐標(biāo)，如圖2-18所示。

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角所謂的Z-Y-X歐拉角表示法，就是一開(kāi)始本體坐標(biāo)系B與世界坐標(biāo)系W重合，然后依次繞本體坐標(biāo)系B的Z-Y-X軸旋轉(zhuǎn)，這里每一次旋轉(zhuǎn)，均是根據(jù)上一次旋轉(zhuǎn)所在位置而進(jìn)行。這三次旋轉(zhuǎn)的角度稱為歐拉角。如圖2-19所示。2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角所謂的Z-Y-X歐拉角表示法，就是一開(kāi)始本體坐標(biāo)系B與世界坐標(biāo)系W重合，然后依次繞本體坐標(biāo)系B的Z-Y-X軸旋轉(zhuǎn)，這里每一次旋轉(zhuǎn)，均是根據(jù)上一次旋轉(zhuǎn)所在位置而進(jìn)行。這三次旋轉(zhuǎn)的角度稱為歐拉角。如圖2-19所示。2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角圖2-19

歐拉角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.4齊次坐標(biāo)變換驗(yàn)證式（2-50）。1）坐標(biāo)平移映射所謂映射，就是從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的變換。如圖2-21所示。2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換圖2-23表示了坐標(biāo)系間直接既有平移，又有轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換例2.7如圖2-24所示，已知坐標(biāo)系B的原點(diǎn)，在坐標(biāo)系W中的位置為(10,5,0)，空間中一點(diǎn)P，在坐標(biāo)系B中的坐標(biāo)為(3,7,0)，坐標(biāo)系B的姿態(tài)為繞Z軸以右手準(zhǔn)則正向旋轉(zhuǎn)30度。求點(diǎn)P在坐標(biāo)系W中的表示。2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換可以從投影的角度來(lái)驗(yàn)證上式計(jì)算的正確性，如圖2-25所示。2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

圖2-28先轉(zhuǎn)動(dòng)再移動(dòng)

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換

2.4齊次坐標(biāo)變換圖2-30

先轉(zhuǎn)動(dòng)再移動(dòng)的變換

2.4齊次坐標(biāo)變換圖2-31

向量在三個(gè)坐標(biāo)系之間的連續(xù)變換