高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省牡丹江市六校2023-2024學年高一上學期期末聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.下列各角中，與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記與角終邊相同的角為，則，當時，得.故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，又，所以.故選：B.3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數有意義，則有，解得，所以函數的定義域為.故選：A.4.函數的零點所在的區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的圖象是一條連續不斷的曲線，則在上遞增，而，，，，，可得，滿足零點存在性定理，故零點所在的區間是.故選：C.5.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數在上單調遞增，所以，即，又，所以.故選：C.6.已知函數是冪函數，且在上單調遞增，則實數（）A.-1 B.-1或2 C.2 D.3【答案】C【解析】由函數，可得，解得或，當時，函數在上單調遞增，符合題意；當時，函數在上單調遞減，不符合題意，所以實數的值為.故選：C.7.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數值為（）（參考數據）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】當時，，所以，由得，，所以的最小整數值為.故選：B.8.已知函數，對，，使得成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為所以時，，時，，綜上.當時，，，由題意，，即，解得；當時，，符合題意；當時，，，由題意，，即，解得；綜上可得.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，則終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】AC【解析】因為，所以由，得，若，則終邊在第一象限；若，則終邊在第三象限.故選：AC.10.設函數，則（）A.是奇函數 B.是偶函數C.在上單調遞減 D.在上單調遞減【答案】AC【解析】函數的定義域為R，，則是奇函數，不是偶函數，A正確，B錯誤；對于C，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，因此在上單調遞減，C正確；對于D，當時，在上單調遞增，D錯誤.故選：AC.11.已知，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】根據題意，由指數函數性質可知，當時，函數單調遞減，且，若，則函數圖象過坐標原點，此時圖象為D；當時，函數，圖象可能C；當時，函數單調遞增，且，此時交軸正半軸，函數圖象可以B.故選：BCD.12.已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論中正確的是（）A.B.時，C.D.在上有677個零點【答案】AB【解析】對于A，，A正確；對于B，當時，，即，則，于是，因此，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，當時，，此時函數無零點，而，由知，，，即有，顯然，因此在上有675個零點，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的終邊經過點，則__________.【答案】【解析】角的終邊經過點，則點到原點距離，所以.14.如果函數對任意正實數a，b，都有，則這樣的函數可以是______（寫出一個即可）【答案】【解析】由題意，函數對任意的正實數a，b，都有，可考慮對數函數，滿足.15.若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是______.【答案】2【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，所以扇形面積，所以當時，取得最大值為，此時，所以圓心角為（弧度）.16.已知函數定義域為，，對任意的，當時，有（e是自然對數的底）.若，則實數a的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意當時，有，即，即，故令，則當時，，則在上單調遞減，由于，而，即有，即，所以，即實數a的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，且為第二象限角，求的值；（2）已知的值.解：（1）因為，且為第二象限角，則，即的值為.（2）因為，則18.設命題：實數滿足，其中，命題：實數滿足.（1）若，且和都是真命題，求實數取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）當時，不等式為，解得，即，由，得，即，由和都是真命題，得，所以實數的取值范圍是.（2）由，，得，即命題，由（1）知命題，因為是的充分不必要條件，因此或，解得或，即，所以實數的取值范圍是.19.已知.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若存在，使得，求實數的取值范圍.解：（1）函數，由，得，解得或，所以實數的取值范圍是或.（2）當時，，又，當且僅當時取等號，依題意，，所以實數的取值范圍是.20.已知函數.（1）若函數是上的奇函數，求實數的值；（2）若函數在上的最小值是4，救實數的值.解：（1）若函數是上的奇函數，則，即，此時，經檢驗滿足，符合題意，故.（2）令，則，原函數可化為，因為函數在上的最小值是4，即在時的最小值為4，故，當時，在上單調遞增，此時沒有最小值，不符合題意；當時，，當且僅當，即時取等號，所以，即.21.退耕還林工程就是從保護生態環境出發，將水土流失嚴重的耕地，沙化、鹽堿化、石漠化嚴重的耕地以及糧食產量低而不穩的耕地，有計劃，有步驟地停止耕種，因地制宜的造林種草，恢復植被．某地區執行退耕還林以來，生態環境恢復良好，年月底的生物量為，到了月底，生物量增長為．現有兩個函數模型可以用來模擬生物量（單位：）與月份（單位：月）的內在關系，即且）與．（1）分別使用兩個函數模型對本次退耕還林進行分析，求出對應的解析式；（2）若測得年月底生物量約為，判斷上述兩個函數模型中哪個更合適．解：（1）若選，由題意有，解得，所以，若選，由，所以，.（2）若用，當時，，若用，當時，，所以用模型更合適.22.已知函數且.（1）若，求不等式的解集；（2）若，是否存在，使得在區間上的值域是，若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）當時，函數，不等式，則有，即，整理得，解得，所以不等式的解集是.（2）函數中，，解得，即的定義域為，當時，函數在上都單調遞減，則函數在上單調遞減，因此函數在上單調遞減，假定存在，使得在區間上的值域是，于是，即，則，因此關于的方程在上有兩個不相等的實根，設，則有，整理得，顯然此不等式組無解，所以不存在這樣的滿足條件.黑龍江省牡丹江市六校2023-2024學年高一上學期期末聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.下列各角中，與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記與角終邊相同的角為，則，當時，得.故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，又，所以.故選：B.3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數有意義，則有，解得，所以函數的定義域為.故選：A.4.函數的零點所在的區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的圖象是一條連續不斷的曲線，則在上遞增，而，，，，，可得，滿足零點存在性定理，故零點所在的區間是.故選：C.5.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數在上單調遞增，所以，即，又，所以.故選：C.6.已知函數是冪函數，且在上單調遞增，則實數（）A.-1 B.-1或2 C.2 D.3【答案】C【解析】由函數，可得，解得或，當時，函數在上單調遞增，符合題意；當時，函數在上單調遞減，不符合題意，所以實數的值為.故選：C.7.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數值為（）（參考數據）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】當時，，所以，由得，，所以的最小整數值為.故選：B.8.已知函數，對，，使得成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為所以時，，時，，綜上.當時，，，由題意，，即，解得；當時，，符合題意；當時，，，由題意，，即，解得；綜上可得.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，則終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】AC【解析】因為，所以由，得，若，則終邊在第一象限；若，則終邊在第三象限.故選：AC.10.設函數，則（）A.是奇函數 B.是偶函數C.在上單調遞減 D.在上單調遞減【答案】AC【解析】函數的定義域為R，，則是奇函數，不是偶函數，A正確，B錯誤；對于C，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，因此在上單調遞減，C正確；對于D，當時，在上單調遞增，D錯誤.故選：AC.11.已知，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】根據題意，由指數函數性質可知，當時，函數單調遞減，且，若，則函數圖象過坐標原點，此時圖象為D；當時，函數，圖象可能C；當時，函數單調遞增，且，此時交軸正半軸，函數圖象可以B.故選：BCD.12.已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論中正確的是（）A.B.時，C.D.在上有677個零點【答案】AB【解析】對于A，，A正確；對于B，當時，，即，則，于是，因此，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，當時，，此時函數無零點，而，由知，，，即有，顯然，因此在上有675個零點，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的終邊經過點，則__________.【答案】【解析】角的終邊經過點，則點到原點距離，所以.14.如果函數對任意正實數a，b，都有，則這樣的函數可以是______（寫出一個即可）【答案】【解析】由題意，函數對任意的正實數a，b，都有，可考慮對數函數，滿足.15.若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是______.【答案】2【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，所以扇形面積，所以當時，取得最大值為，此時，所以圓心角為（弧度）.16.已知函數定義域為，，對任意的，當時，有（e是自然對數的底）.若，則實數a的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意當時，有，即，即，故令，則當時，，則在上單調遞減，由于，而，即有，即，所以，即實數a的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，且為第二象限角，求的值；（2）已知的值.解：（1）因為，且為第二象限角，則，即的值為.（2）因為，則18.設命題：實數滿足，其中，命題：實數滿足.（1）若，且和都是真命題，求實數取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）當時，不等式為，解得，即，由，得，即，由和都是真命題，得，所以實數的取值范圍是.（2）由，，得，即命題，由（1）知命題，因為是的充分不必要條件，因此或，解得或，即，所以實數的取值范圍是.19.已知.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若存在，使得，求實數的取值范圍.解：（1）函數，由，得，解得或，所以實數的取值范圍是或.（2）當時，，又，當且僅當時取等號，依題意，，所以實數的取值范圍是.20.已知函數.（1）若函數是上的奇函數，求實數的值；（2）若函數在上的最小值是4，救實數的值.解：（1）若函數是上的奇函數，則，即，此時，經檢驗滿足，符合