高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區百色市2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為全集，集合，所以，又因為集合，所以.故選：D.2.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題的否定形式是，.故選：B.3.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數的定義域為.故選：D.4.設扇形周長為，圓心角的弧度數是3，則扇形的面積為（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】設扇形的半徑為，則弧長為，因為扇形的周長為，所以，解得，則，故扇形的面積為.故選：D.5.“方程有兩個不等實數根”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程有兩個不等實數根可得，解得，觀察選項可得“方程有兩個不等實數根”的一個充分不必要條件是.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，則，故.故選：A.7.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依題意，，又，，所以a，b，c的大小關系是.故選：D.8.函數是定義域為的奇函數，在上單調遞增，且.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于是定義域為的奇函數，所以，又在上單調遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．由可得，，由于在分母位置，所以，當時，只需，由圖象可知；當時，只需，由圖象可知；綜上，不等式的解集為．故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，即，故B正確；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，若，則，即，故D正確.故選：BCD.10.已知函數，給出下列四個結論，不正確的是（）A.函數是周期為的偶函數B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上的最小值為D.將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與的圖象重合【答案】AC【解析】對于A，由于，，即，則不是偶函數，A錯誤；對于B，當時，，而余弦函數在上單調遞減，因此函數在區間上單調遞減，B正確；對于C，當時，，，C錯誤；對于D，將函數的圖象向右平移個單位長度，得函數的圖象，所以所得圖象與的圖象重合，D正確.故選：AC.11.我國著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事休.”在數學學習和研究中，常用兩數的圖像來研究函數的性質，也常用函數的解析式琢磨函數圖象的特征，如函數（且）的圖像的大致形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】當時，函數在上單調遞減，當時，在上遞增，，當時，在上遞減，，A不滿足，D符合題意；當時，函數在上單調遞增，當時，在上遞減，，當時，在上遞增，，C不滿足，B符合題意.故選：BD.12.已知函數且，則下列說法正確的有（）A.在區間和上單調遞減B.直線與的圖象總有3個不同的公共點C.D.【答案】ACD【解析】畫出函數的大致圖象，如圖所示，A選項，由圖可知在區間和上單調遞減，所以A正確；B選項，由圖可知，當時，直線與的圖象有3個不同的公共點，當時，直線與的圖象有2個不同的公共點，所以B錯誤；CD選項，令，可得直線與的圖象有4個不同的交點，且交點橫坐標分別為，，，，由圖可知，，由基本不等式得，，所以，因為，所以，所以C，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數為奇函數.則____________.【答案】【解析】依題意，，解得或，當時，函數是偶函數，不符合題意，當時，函數奇函數，符合題意，所以.14.函數，則_________.【答案】1【解析】根據題意，，則.15.若，則的最小值為___________.【答案】9【解析】由，得，于是，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9.16.設定義域為的函數則關于的函數的零點的個數為_______.【答案】7【解析】令，得或.作出的簡圖，，由圖象得當或時，分別有3個和4個交點，故關于的函數的零點的個數為7.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.全集，若集合，.（1）求，；（2）若集合，，求的取值范圍.解：（1）由集合，，所以，.（2）因為，可得，又因為，且，所以，所以實數的取值范圍是.18.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.19.已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知得，且為第三象限角，所以（2）.20.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標：（2）先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若當時，關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由可得，因為，所以，，所以.令可得，所以對稱中心為.（2）由題意可得：，當時，，，，若關于的方程有實數根，則有實根，所以，可得：.所以實數的取值范圍為.21.受新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產廠為了提高產品的產量，投入90萬元安裝了一臺新設備，并立即進行生產，預計使用該設備前n年的材料費、維修費、人工工資等共為萬元，每年的銷售收入為55萬元，設使用該設備前n年的總盈利額為萬元．（1）寫出關于n的函數關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后，對該設備處理的方案有兩種：方案一：當總盈利額達到最大值時，該設備以10萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備以50萬元的價格處理．請問：使用哪種方案能在更短的時間內達到相應的最值目標？并比較分別使用兩種方案處理設備后的總利潤大小．解：（1）由題意得：．由，得，即，解得．由于，故設備企業從第3年開始盈利.（2）方案一：總盈利額，當時．故方案一總利潤，此時；方案二：每年平均利潤，當且僅當時等號成立．故方案二總利潤，此時．比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適．22.已知是定義域為的奇函數.（1）求實數的值；（2）判斷函數在上的單調性，并利用函數單調性的定義證明；（3）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）是R上的奇函數，，對任意，即，即，對任意恒成立，，即.（2）為R上的增函數，證明如下：任取，，且，，，，，即，所以函數為R上的增函數.（3）不等式在R上恒成立，，又為R上的增函數，在R上恒成立，即，令，，上式等價于對恒成立，即，令，只需即可，又，開口向下，對稱軸為，，，.所以實數的取值范圍為.廣西壯族自治區百色市2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為全集，集合，所以，又因為集合，所以.故選：D.2.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題的否定形式是，.故選：B.3.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數的定義域為.故選：D.4.設扇形周長為，圓心角的弧度數是3，則扇形的面積為（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】設扇形的半徑為，則弧長為，因為扇形的周長為，所以，解得，則，故扇形的面積為.故選：D.5.“方程有兩個不等實數根”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程有兩個不等實數根可得，解得，觀察選項可得“方程有兩個不等實數根”的一個充分不必要條件是.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，則，故.故選：A.7.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依題意，，又，，所以a，b，c的大小關系是.故選：D.8.函數是定義域為的奇函數，在上單調遞增，且.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于是定義域為的奇函數，所以，又在上單調遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．由可得，，由于在分母位置，所以，當時，只需，由圖象可知；當時，只需，由圖象可知；綜上，不等式的解集為．故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，即，故B正確；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，若，則，即，故D正確.故選：BCD.10.已知函數，給出下列四個結論，不正確的是（）A.函數是周期為的偶函數B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上的最小值為D.將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與的圖象重合【答案】AC【解析】對于A，由于，，即，則不是偶函數，A錯誤；對于B，當時，，而余弦函數在上單調遞減，因此函數在區間上單調遞減，B正確；對于C，當時，，，C錯誤；對于D，將函數的圖象向右平移個單位長度，得函數的圖象，所以所得圖象與的圖象重合，D正確.故選：AC.11.我國著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事休.”在數學學習和研究中，常用兩數的圖像來研究函數的性質，也常用函數的解析式琢磨函數圖象的特征，如函數（且）的圖像的大致形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】當時，函數在上單調遞減，當時，在上遞增，，當時，在上遞減，，A不滿足，D符合題意；當時，函數在上單調遞增，當時，在上遞減，，當時，在上遞增，，C不滿足，B符合題意.故選：BD.12.已知函數且，則下列說法正確的有（）A.在區間和上單調遞減B.直線與的圖象總有3個不同的公共點C.D.【答案】ACD【解析】畫出函數的大致圖象，如圖所示，A選項，由圖可知在區間和上單調遞減，所以A正確；B選項，由圖可知，當時，直線與的圖象有3個不同的公共點，當時，直線與的圖象有2個不同的公共點，所以B錯誤；CD選項，令，可得直線與的圖象有4個不同的交點，且交點橫坐標分別為，，，，由圖可知，，由基本不等式得，，所以，因為，所以，所以C，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數為奇函數.則____________.【答案】【解析】依題意，，解得或，當時，函數是偶函數，不符合題意，當時，函數奇函數，符合題意，所以.14.函數，則_________.【答案】1【解析】根據題意，，則.15.若，則的最小值為___________.【答案】9【解析】由，得，于是，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9.16.設定義域為的函數則關于的函數的零點的個數為_______.【答案】7【解析】令，得或.作出的簡圖，，由圖象得當或時，分別有3個和4個交點，故關于的函數的零點的個數為7.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.全集，若集合，.（1）求，；（2）若集合，，求的取值范圍.解：（1）由集合，，所以，.（2）因為，可得，又因為，且，所以，所以實數的取值范圍是.18.計算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.19.已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知得，且為第三象限角，所以（2）.20.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標：（2）先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若當時，關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由可得，因為，所以，，所以.令可得，所以對稱中心為.（2）由題意可得：，當時，，，，若關于的方程有實數根，則有實根，所以，可得：.所以實數的取值范圍為.21.受新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產廠為了提高產品的產量，投入90萬元安裝了一