試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．設集合，，則.2．已知，則．3．復數（為虛數單位），則.4．若，且，則的最大值為.5．學校的高三年級共有500名學生，一次考試的數學成績服從正態分布，已知，估計高三年級學生數學成績在110分以上的人數為.6．若不等式對任意都成立，則實數的最大值為.7．設點是曲線上一點，則點到直線最小的距離為.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F在BE上，若，則.9．一張儲蓄卡的密碼共6位數字，每位數字都可從0~9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，他任意按最后一位數字，則不超過2次就按對的概率為．10．某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個直角邊長為8的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面ABC＇面積達到最大11．設橢圓的左、右焦點分別為、，且與圓在第二象限的交點為，，則橢圓離心率的取值范圍為．12．已知函數y=fx的表達式為，若方程有四個不相等的實根，且，則取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13．已知數據，，…，（，）是上海普通職工n個人的年收入，這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果加上世界首富的年收入，則這個數據中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數增加，中位數一定變大，方差可能不變；B．年收入平均數增加，中位數可能不變，方差變大；C．年收入平均數增加，中位數可能不變，方差可能不變；D．年收入平均數增加，中位數可能變大，方差不變.14．若直線與直線平行，則（

）A． B．0 C．1 D．1或15．的內角，，的對邊分別為，，，滿足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．16．若無窮數列滿足：，當，時，（其中表示，，，中的最大項），有以下結論：①若數列是常數列，則；②若數列是等差數列，則公差；③若數列是等比數列，則公比；④若存在正整數，對任意，，都有，則是數列的最大項.則其中的正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）設等差數列的公差為，其前項和為，且滿足.(1)求的值；(2)當為何值時最大，并求出此最大值.18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知臍橙分類標準：果徑80mm～85mm為一級果，果徑75mm～80mm為二級果，果徑70mm～75mm或85mm以上為三級果．某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑（單位：mm），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70～85mm中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，①求這9個臍橙中一級果，二級果，三級果的數量②求抽到的一級果個數的數學期望；(2)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式并求出當為何值時，最大？19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點．(1)證明：平面．(2)求與平面所成角的正弦值．20、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓常數，點為坐標原點．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點，，求的取值范圍；(3)設是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．21、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．函數的定義域為，如果存在，使得，稱t為的一個不動點．函數（，為自然對數的底數），定義在R上的函數滿足，且當時，．(1)求證：為奇函數；(2)當a變化時，求函數不動點個數；(3)若存在，，且為函數的一個不動點，求a的取值范圍．

【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷04·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）。1、 2、15/0.2 3、4、 5、 6、 7、/ 8、 9、15/0.210、11、12、二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案.13141516BCBC三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）運用等差數列的求和公式和性質求解即可；（2）求出，用二次函數知識來解題即可．【詳解】（1），則，，故的值為.（2）由（1）知道，，，，由于開口向下，且對稱軸為.而，則或者時，最大.．18、【答案】(1)①一級果4個，二級果3個，三級果2個；②；(2)當時，最大【分析】（1）①求出果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比，從而求出一級果，二級果，三級果的數量；②求出的可能取值和對應的概率，得到數學期望；（2）得到，從而得到不等式組，求出當時，最大.【詳解】（1）①果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比為，故這9個臍橙中一級果數量為個，二級果個，三級果個；②的可能取值為，故，，，，故（2）一級果的頻率為，用頻率代替概率，故，故，令，故，解得，又，故，故當時，最大.19、【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先以點為原點，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，根據法向量與向量垂直，即可判斷線面平行；（2）首先求平面的法向量，再代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：直三棱柱中，，以為頂點建立空間坐標系如圖，，，點，分別為與的中點，取中點，，，，在△中，，平面，且，平面，平面，，且，平面，平面，為平面的一個法向量，而，，，，又平面，平面；（2）易知，，，，設是平面的一個法向量，則，，取，則，，即，設與平面所成角為，則故與平面所成角的正弦值為．20、【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據已知結合離心率公式化簡計算；（2）應用向量間關系結合基本不等式化簡求范圍即可；（3）應用斜率積的公式化簡得出結合三角形面積公式結合點在橢圓上化簡求值.【詳解】（1）由橢圓方程為，則離心率，又所以；（2）由已知得又點是橢圓上任意一點，則，化簡可得（3）法一：由已知可得，即，平方可得，又在橢圓上，所以，所以，化簡可得設與的夾角為，則，則，所以的面積，故的面積為定值；方法二：由已知，即，①當直線斜率不存在時，，則，又在橢圓上，則，所以，此時；②當直線斜率存在時，設直線的方程為：，聯立直線與橢圓，得，則，，則，即，所以，點到直線的距離d=t1+k所以，所以的面積為定值．【點睛】關鍵點點睛：面積定值關鍵是應用點在橢圓上代入面積公式化簡求值即可.21、【答案】(1)證明過程見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據變形得到，從而得到，證明出結論；（2）由得，令，求導得到函數單調性和極值情況，從而得到的解的情況，得到答案；（3）由題目條件得到在R上單調遞減，變形得到，即，由函數單調性得到，根據不動點得到在時有解，構造，，求導得到其單調性和最值，從而得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】（1），故，其中，則，其中定義域為R，故為奇函數，（2）由得，令，則令，解得，令?'x<0，解得，所以在單調遞減，在上單調遞增，其中，故當時，無解，當時，有1個解，當時，有2個解；綜上，當時，函數沒有不動點；當時，函數有1個不動點；當時，函數有2個不動點.（3）當時，，故，所以在上單調遞減，根據奇函數的對稱性，可得在R上單調遞減，因為存在，即，則，故，則，即，因為為函數一個不動點，所以在時有解，令，，因為當時，，所以在上單調遞減，且趨向于時，趨向于，所以只需，即，解得，故a的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法,使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．設集合，，則.【答案】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解，得，解得，則，而不等式，即恒成立，則，所以.故答案為：2．已知，則．【答案】15【分析】由誘導公式即可求解.【詳解】，故答案為：3．復數（為虛數單位），則.【答案】【分析】先對化簡，然后可求出其共軛復數【詳解】，所以共軛復數是.故答案為：4．若，且，則的最大值為.【答案】【分析】根據基本不等式，即可求解.【詳解】，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：15．學校的高三年級共有500名學生，一次考試的數學成績服從正態分布，已知，估計高三年級學生數學成績在110分以上的人數為.【答案】【分析】根據正態分布的性質結合條件即得.【詳解】因為該次考試的成績服從正態分布，且，所以，所以，因此該年級數學成績在分以上的人數約為.故答案為：6．若不等式對任意都成立，則實數的最大值為.【答案】【分析】由參變量分離法可知，對任意的恒成立，求出函數在上的最小值，即可得出實數的最大值.【詳解】因為不等式對任意都成立，則，因為函數、在上均為增函數，則函數在上為增函數，所以，當時，，所以，，因此，實數的最大值為.故答案為：.7．設點是曲線上一點，則點到直線最小的距離為.【答案】/【分析】設，利用點到直線距離公式表示出點P到直線距離，根據函數最值即可求解.【詳解】點P在曲線上，設，則點P到直線l的距離為，當時，.故答案為：.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F在BE上，若，則.【答案】【分析】根據向量平行四邊形法則及線性運算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得參數.【詳解】由題意可知，因為點F在BE上，所以，所以，所以，所以.故答案為：9．一張儲蓄卡的密碼共6位數字，每位數字都可從0~9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，他任意按最后一位數字，則不超過2次就按對的概率為．【答案】15/【分析】分第一次按對和第二次才按對，結合概率公式求解即可.【詳解】“第1次按對”為事件，“第2次按對”為事件.則不超過2次就按對的概率為.故答案為：.10．某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個直角邊長為8的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當遮陽篷ABC與地面所成的角大小為時，所遮陰影面ABC＇面積達到最大【答案】【分析】遮陰影面面積達到最大即是點到的距離最大，根據正弦定理表示出點到的距離，即可找出角度取值與面積之間的關系．【詳解】如圖，過點C作交AB于D，連接，由題知，因此就是遮陽篷ABC與地面所成的角，因為，則求遮陰影面面積最大，即是求最大，又，，設，，由正弦定理，得，當且僅當時取等號，此時所遮陰影面面積最大，故答案為：11．設橢圓的左、右焦點分別為、，且與圓在第二象限的交點為，，則橢圓離心率的取值范圍為．【答案】【分析】根據已知條件及直角所對的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構造函數即可求出離心率的取值范圍．【詳解】由以線段為直徑的圓與橢圓在第二象限相交于點，所以半徑，即，且．所以，由于，令，則，則．由于函數在上單調遞減，故在上單調遞減，故，即，滿足，符合題意．所以橢圓離心率的取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是根據已知條件及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構造函數，結合對勾函數的性質即可.12．已知函數y=fx的表達式為，若方程有四個不相等的實根，且，則取值范圍是.【答案】【分析】判斷函數關于直線對稱，畫出函數的大致圖象，由函數與有4個交點，進而求出的取值范圍，由利用函數和換元法并結合二次函數的性質即可求出的最小值．【詳解】當時，，函數關于直線對稱，畫出函數的圖象，如圖所示，方程有四個不相等的實根，函數與有4個交點，由函數的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數的圖象可知：，，且，，，，，，令，，，設，則，，根據對勾函數單調性其單調遞增，則，又，設，，對稱軸為，則即，即范圍為故答案為：．【點睛】方法點睛：函數零點的幾種等價形式：函數的零點函數在軸的交點方程的根函數與的交點.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13．已知數據，，…，（，）是上海普通職工n個人的年收入，這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果加上世界首富的年收入，則這個數據中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數增加，中位數一定變大，方差可能不變；B．年收入平均數增加，中位數可能不變，方差變大；C．年收入平均數增加，中位數可能不變，方差可能不變；D．年收入平均數增加，中位數可能變大，方差不變.【答案】B【分析】由于數據，，，，是上海普通職工個人的年收入，如果再加上世界首富的年收入，我們根據平均數的意義，中位數的定義，及方差的意義，分析由于加入后，數據的變化特征，易得到答案．【詳解】數據，，，，是上海普通職工個人的年收入，而為世界首富的年收入,則會遠大于，，，，，故這個數據中，年收入平均數大大增大，但中位數可能不變，也可能稍微變大，但由于數據的集中程度也受到比較大的影響，而更加離散，則方差變大故選：B14．若直線與直線平行，則（

）A． B．0 C．1 D．1或【答案】C【分析】根據直線一般式中平行滿足的系數關系，即可求解.【詳解】直線與直線平行，故，解得，故選：C15．的內角，，的對邊分別為，，，滿足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理的推論求得，求解即可.【詳解】因為，所以，即，所以，因為，所以，故選：B16．若無窮數列滿足：，當，時，（其中表示，，，中的最大項），有以下結論：①若數列是常數列，則；②若數列是等差數列，則公差；③若數列是等比數列，則公比；④若存在正整數，對任意，，都有，則是數列的最大項.則其中的正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據所給定義得到，即可判斷①；結合等差數列的定義推導出有最大值，則不可能遞增，即可判斷②；求出公比，即可判斷③；結合周期數列及所給定義判斷④.【詳解】對于①：若數列是常數列，則，所以（），故①正確；②若數列是等差數列，則，所以有最大值，因此不可能遞增，所以，故②錯誤；③若數列是公比為的等比數列，則，且，所以，所以或，又因為，所以，所以，故③正確；④若存在正整數，對任意，，都有，假設在中最大，則中都是最大，則且，即，所以，所以是數列的最大項，故④正確.所以正確的有①③④，共個.故選：C【點睛】關鍵點點睛：對于新定義型問題，解答的關鍵是理解所給定義，再結合等差、等比數列的通項公式一一判斷.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）設等差數列的公差為，其前項和為，且滿足.(1)求的值；(2)當為何值時最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）運用等差數列的求和公式和性質求解即可；（2）求出，用二次函數知識來解題即可．【詳解】（1），則，，故的值為.（2）由（1）知道，，，，由于開口向下，且對稱軸為.而，則或者時，最大.．18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知臍橙分類標準：果徑80mm～85mm為一級果，果徑75mm～80mm為二級果，果徑70mm～75mm或85mm以上為三級果．某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑（單位：mm），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70～85mm中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，①求這9個臍橙中一級果，二級果，三級果的數量②求抽到的一級果個數的數學期望；(2)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式并求出當為何值時，最大？【答案】(1)①一級果4個，二級果3個，三級果2個；②；(2)當時，最大【分析】（1）①求出果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比，從而求出一級果，二級果，三級果的數量；②求出的可能取值和對應的概率，得到數學期望；（2）得到，從而得到不等式組，求出當時，最大.【詳解】（1）①果徑80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的頻率之比為，故這9個臍橙中一級果數量為個，二級果個，三級果個；②的可能取值為，故，，，，故（2）一級果的頻率為，用頻率代替概率，故，故，令，故，解得，又，故，故當時，最大.19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點．(1)證明：平面．(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先以點為原點，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，根據法向量與向量垂直，即可判斷線面平行；（2）首先求平面的法向量，再代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：直三棱柱中，，以為頂點建立空間坐標系如圖，，，點，分別為與的中點，取中點，，，，在△中，，平面，且，平面，平面，，且，平面，平面，為平面的一個法向量，而，，，，又平面，平面；（2）易知，，，，設是平面的一個法向量，則，，取，則，，即，設與平面所成角為，則故與平面所成角的正弦值為．20、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知橢圓常數，點為坐標原點．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)若是橢圓上任意一點，，求的取值范圍；(3)設是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據已知結合離心率公式化簡計算；（2）應用向量間關系結合基本不等式化簡求范圍即可；（3）應用斜率積的公式化簡得出結合三角形面積公式結合點在橢圓上化簡求值.【詳解】（1）由橢圓方程為，則離心率，又所以；（2）由