試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．已知全集，集合，則．2．設函數，若，則.3．不等式的解集為．（用區間表示）4．已知平面向量，，則在方向上的投影為．5．若拋物線的焦點到直線的距離為1，則實數的值為．6．復數，則.7．如圖，正方體中，為的中點，為正方形的中心，則直線與側面所成角的正切值是.8．已知多項式對一切實數恒成立，則9．函數在上是單調增函數，且圖像關于原點對稱，則滿足條件的數對.10．非空集合中所有元素乘積記為.已知集合，從集合的所有非空子集中任選一個子集，則為偶數的概率是．（結果用最簡分數表示）11．設點在直線上，點在曲線上，線段的中點為，為坐標原點，則的最小值為.12．數列an滿足，且，為的前項和，求二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13．函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．14．為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數據（見下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是（

）A．B．當時，y的預測值為2.2C．樣本數據y的第40百分位數為1D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數r不會改變15．已知點為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定16．已知定義在上的函數的導數滿足，給出兩個命題：①對任意，都有；②若的值域為，則對任意都有.則下列判斷正確的是（

）A．①②都是假命題 B．①②都是真命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是真命題，②是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4(1)求證：；(2)若四棱柱體積為36，求二面角的大小.18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知數列滿足，且．(1)求的值；(2)若數列為嚴格增數列，其中是常數，求的取值范圍．19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）ChatGPT是OpenAI研發的一款聊天機器人程序，是人工智能技術驅動的自然語言處理工具，它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統計規律來生成回答，但它的回答可能會受到訓練數據信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為0.18.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個問題中隨機抽取9個作答，已知在這10個問題中，小張能正確作答其中的9個.(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個問題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰中，分別求出小張和ChatGPT答對題數的期望與方差.20、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的左，右焦點外別為，設是第一象限內上的一點，的延長線分別交于點．

(1)求的周長；(2)求面積的取值范圍；(3)求的最大值．21、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．若函數滿足：對任意的實數，，有恒成立，則稱函數為“增函數”．(1)求證：函數不是“增函數”；(2)若函數是“增函數”，求實數的取值范圍；(3)設，若曲線在處的切線方程為，求的值，并證明函數是“增函數”．【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷01·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）。1、 2、2 3、4、 5、 6、15/ 7、 8、1. 9、10、 11、12、二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案.13141516ADCB三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面平行的判定定理與性質定理證明，（2）由棱柱的體積公式求解高，再由二面角的定義求解，【詳解】（1）由題意得，，平面，平面，平面，平面而，平面平面，又平面平面（2）四棱柱體積，得，得，過點作，垂足為，連接，由平面，得（三垂線定理），故即為二面角的平面角，，得，故，

18、【答案】(1)(2)【分析】（1）根據對數運算性質可得，即可判斷為等比數列，即可根據等比數列的通項求解，（2）利用作差法可得對正整數恒成立，即可求解.【詳解】（1）由，得，故，即.又，故數列是以為首項，為公比的等比數列.從而，.所以.（2）設數列滿足，因為數列為嚴格增數列，故對正整數恒成立，

即對正整數恒成立，當時，取到最小值.所以.19、【答案】(1)；(2)0.9；(3)小張答對題數的的期望為8.1，方差為0.09，ChatGPT答對題數的期望為8.1，方差為0.81.【分析】（1）根據古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被ChatGPT正確回答”，確定相應概率，根據全概率公式，即可求得答案；（3）根據期望以及方差的計算公式，即可求得答案；【詳解】（1）設小張答對的題數為，則.（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，；（3）設小張答對的題數為，則的可能取值是，且，，設ChatGPT答對的題數為，則服從二項分布，則，，，.20、【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據題意，由橢圓的定義即可得到的周長為，從而得到結果；（2）根據題意，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理與弦長公式代入計算，即可得到結果；（3）根據題意，聯立直線的方程與橢圓方程，代入計算，即可得到點的坐標，同理可得點的坐標，然后表示出，結合基本不等式即可得到結果.【詳解】（1）為橢圓的兩焦點，且為橢圓上的點，，從而的周長為．由題意，得，即的周長為．（2）由題意可設過的直線方程為聯立，消去得，因為直線所過定點在橢圓內，則直線與橢圓必有兩交點，則，所以，令，則（當時等號成立，即時）所以，故面積的取值范圍為．（3）設，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，整理可得則，得，故．當時，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，所以，當且僅當時，等號成立．若軸時，易知，此時，綜上，的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問題，以及橢圓中三角形面積問題，難度較大，解答本題的關鍵在于聯立直線與橢圓方程，結合三角形的面積公式代入計算.21、【答案】(1)證明見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）取反例即可證明；（2）若該函數是“增函數”，設出任意的，，則有恒成立，運算即可得；（3）借助導數的幾何意義，對該函數求導后令導函數值為1，可得該方程有根，且是其中一個根，結合導數可證明該函數為嚴格增函數，故有且僅有一個根，即可得的值，而后設出，結合前面得出的在上是嚴格增函數，可得在上是嚴格增函數，又，則，即可得證.【詳解】（1）取，則，因為，故函數不是“增函數”；（2）因為函數是“增函數”，故任意的，，有恒成立，即恒成立，所以恒成立，又，，故，則，則，即；（3）記，根據題意，得，可得方程的一個解，令，則，令，則，故在上是嚴格增函數，又因為，故在恒成立，故，故在上是嚴格增函數，所以是唯一解，又，此時在處的切線方程即為，故成立；設，其中，，由在上是嚴格增函數以及，得，即，所以在上是嚴格增函數，因為，則,故，即得證.【點睛】本題考查函數新定義，理解新定義是關鍵，難點在最后一問中的的計算與“增函數”的證明，需要多次求導以得到函數的單調性，結合導數的幾何意義幫助計算的值，證明為“增函數”要結合對新定義的理解，設出函數以幫助證明.【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果。1．已知全集，集合，則．【答案】【分析】根據補集的定義直接進行運算即可.【詳解】因為，所以，故答案為：.2．設函數，若，則.【答案】2【分析】根據函數解析式，代入求值.【詳解】函數，有，則，解得.故答案為：23．不等式的解集為．（用區間表示）【答案】【詳解】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應填：．考點：一元二次不等式．4．已知平面向量，，則在方向上的投影為．【答案】【分析】先通過求出，然后直接使用在方向的投影的定義即得結果.【詳解】由于，，，從而，故在方向上的投影為．故答案為：.5．若拋物線的焦點到直線的距離為1，則實數的值為．【答案】【分析】先求得拋物線的焦點為，根據題意，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線可化為，可得其焦點為，因為拋物線的焦點到直線的距離為，可得，解得或（舍去），故實數的值為．故答案為：.6．復數，則.【答案】15/【分析】先利用復數的除法運算化簡，再利用復數的乘法計算即可.【詳解】，.故答案為：.7．如圖，正方體中，為的中點，為正方形的中心，則直線與側面所成角的正切值是.【答案】【分析】連接，得到即為與平面所成的角，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，設正方體的棱長為，則，在直角中，.故答案為：.8．已知多項式對一切實數恒成立，則【答案】【分析】賦值可得，再用通項求出，相加即可.【詳解】令可得，又展開式的通項為，令可得；令，可得，所以，所以，故答案為：1.9．函數在上是單調增函數，且圖像關于原點對稱，則滿足條件的數對.【答案】【分析】由函數在R上單調增得出，再由函數圖像關于原點對稱得出，即可得出答案.【詳解】當時，在上必有增有減，不合題意，故，此時，為常值函數，由其圖像關于原點對稱，所以，所以或，故滿足條件的數對為，故答案為：.10．非空集合中所有元素乘積記為.已知集合，從集合的所有非空子集中任選一個子集，則為偶數的概率是．（結果用最簡分數表示）【答案】【分析】先求出集合的所有非空子集的個數，然后求出為奇數的集合的個數，從而求出為偶數的集合的個數，最后由古典概型的概率計算公式可求．【詳解】解：因為集合，所以集合的所有非空子集共有個，若為奇數，則中元素全部為奇數，又的非空子集個數，共有個，所以為偶數的共有個，故為偶數的概率是．故答案為：．【點睛】結論點睛：若集合A有n個元素，則集合A的子集有個，非空子集有個.11．設點在直線上，點在曲線上，線段的中點為，為坐標原點，則的最小值為.【答案】【分析】通過轉化可得的最小值為到距離平方的最小值，利用導數求出切線即可得．【詳解】由題可設，，則則即，即的最小值為到距離平方的最小值，其中點在曲線上，在直線上，的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，設切點為，因為曲線導數，則，解得，所以切點為，所以，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將問題轉化到距離平方的最小值，從而結合導數的意義即可得解.12．數列an滿足，且，為的前項和，求【答案】【分析】逐項代入可得，再根據等比數列求和與極限求解即可.【詳解】由題，，，，，，，，，，..故.又當時，，故.故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13．函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式將函數化成的形式，代入周期公式可得結論.【詳解】易知，其中，由周期公式可得其最小正周期為.故選：A14．為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數據（見下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是（

）A．B．當時，y的預測值為2.2C．樣本數據y的第40百分位數為1D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數r不會改變【答案】D【分析】由表格數據求出樣本點的中心坐標，代入可得的值由此即可判斷A，進一步可得回歸方程，由此即可驗算B選項，由百分位數的概念即可判斷C，由相關系數公式即可判斷D.【詳解】，所以樣本點的中心坐標為，將它代入得，，解得，故A錯誤；對于B，當時，y的預測值為，故B錯誤；對于C，樣本數據y的第40百分位數為，故C錯誤；對于D，由相關系數公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數r不會改變，故D正確.故選：D.15．已知點為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】取的中點，的中點，的中點，可得，，，分別利用，，和余弦定理可得答案.【詳解】三個角所對的三邊分別為，取的中點，的中點，的中點，連接，，，則，，，所以，，，因為，所以，即，由余弦定理得，因為，所以，即為鈍角三角形.故選：C.

16．已知定義在上的函數的導數滿足，給出兩個命題：①對任意，都有；②若的值域為，則對任意都有.則下列判斷正確的是（

）A．①②都是假命題 B．①②都是真命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是真命題，②是假命題【答案】B【分析】對于①，根據不等式，構造函數，然后利用函數的單調性證明即可；對于②，根據函數的值域和單調性，結合不等式求解即可.【詳解】，故在上遞增，對于①，設，，設，，，單調遞減，單調遞增，，即，，即，故，故①是真命題.對于②，由①知，，即，，故.且在上遞增，故，，故的值域為所以，即，故，②是真命題.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題①判斷的關鍵是首先根據導數和函數單調性的關系得到在上遞增，再構造函數，利用導數得到其單調性，最后得到，則可判斷①.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4

(1)求證：；(2)若四棱柱體積為36，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面平行的判定定理與性質定理證明，（2）由棱柱的體積公式求解高，再由二面角的定義求解，【詳解】（1）由題意得，，平面，平面，平面，平面而，平面平面，又平面平面（2）四棱柱體積，得，得，過點作，垂足為，連接，由平面，得（三垂線定理），故即為二面角的平面角，，得，故，

18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知數列滿足，且．(1)求的值；(2)若數列為嚴格增數列，其中是常數，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據對數運算性質可得，即可判斷為等比數列，即可根據等比數列的通項求解，（2）利用作差法可得對正整數恒成立，即可求解.【詳解】（1）由，得，故，即.又，故數列是以為首項，為公比的等比數列.從而，.所以.（2）設數列滿足，因為數列為嚴格增數列，故對正整數恒成立，

即對正整數恒成立，當時，取到最小值.所以.19、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）ChatGPT是OpenAI研發的一款聊天機器人程序，是人工智能技術驅動的自然語言處理工具，它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統計規律來生成回答，但它的回答可能會受到訓練數據信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為0.18.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個問題中隨機抽取9個作答，已知在這10個問題中，小張能正確作答其中的9個.(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個問題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰中，分別求出小張和ChatGPT答對題數的期望與方差.【答案】(1)；(2)0.9；(3)小張答對題數的的期望為8.1，方差為0.09，ChatGPT答對題數的期望為8.1，方差為0.81.【分析】（1）根據古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被ChatGPT正確回答”，確定相應概率，根據全概率公式，即可求得答案；（3）根據期望以及方差的計算公式，即可求得答案；【詳解】（1）設小張答對的題數為，則.（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，；（3）設小張答對的題數為，則的可能取值是，且，，設ChatGPT答對的題數為，則服從二項分布，則，，，.20、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的左，右焦點外別為，設是第一象限內上的一點，的延長線分別交于點．

(1)求的周長；(2)求面積的取值范圍；(3)求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據題意，由橢圓的定義即可得到的周長為，從而得到結果；（2）根據題意，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理與弦長公式代入計算，即可得到結果；（3）根據題意，聯立直線的方程與橢圓方程，代入計算，即可得到點的坐標，同理可得點的坐標，然后表示出，結合基本不等式即可得到結果.【詳解】（1）為橢圓的兩焦點，且為橢圓上的點，，從而的周長為．由題意，得，即的周長為．（2）由題意可設過的直線方程為聯立，消去得，