PAGE1-第2課時角度問題學習目標核心素養1.能敏捷運用正弦定理及余弦定理解角度問題．(重點)2．會將實際問題轉化為解三角形問題．(難點)3．能依據題意畫出幾何圖形．(易錯點)1.通過運用正、余弦定理解角度問題，提升學生的數學運算的素養．2．借助將實際問題轉化為解三角形問題，培育學生的數學建模的素養.1．方位角從指北方向按順時針轉到目標方向線所成的水平角．如點B的方位角為α(如圖所示)．方位角的取值范圍：0°～360°.2．方向角從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°.1．某次測量中，A在B的南偏東34°27′，B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′A[如圖所示．]2．已知兩座建筑A，B與規劃測量點C的距離相等，A在C的北偏東40°，B在C的南偏東60°，則A在B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°B[如圖，因為△ABC為等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即北偏西10°.]3．某人從A處動身、沿北偏西60°行走2eq\r(3)km到達B處，再沿正東方向行走2km到達C處，則A、C兩地的距離為________km.2[如圖所示，∠ABC＝30°，又AB＝2eq\r(3)，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，AC＝2，所以A、C兩地的距離為2km.]角度問題【例1】(1)如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站南偏西40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°(2)有一攔水壩的橫截面是等腰梯形，它的上底長為6m，下底長為10m，高為2eq\r(3)m，那么此攔水壩斜坡的坡比和坡角分別是()A．eq\f(\r(3),3)，60° B．eq\r(3)，60°C．eq\r(3)，30° D．eq\f(\r(3),3)，30°[思路探究](1)兩座燈塔A，B與視察站C的距離相等，說明∠A與∠B有何大小關系？燈塔B在視察站南偏東60°，說明∠CBD是多少度？(2)本小題關鍵是理解坡比與坡角的意義．(1)D(2)B[(1)由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.(2)如圖所示，橫截面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2eq\r(3)m，則AE＝eq\f(AB－CD,2)＝2m，∴tan∠DAE＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠DAE＝60°.]測量角度問題畫示意圖的基本步驟：1．在一次抗洪搶險中，某救生艇發動機突然發生故障停止轉動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風向是北偏東30°，風速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東________，大小為________km/h.60°20eq\r(3)[如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.]求航向的角度【例2】某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，馬上測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇馬上以21nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間．[思路探究]本題中所涉及的路程在不斷改變，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設出所用時間t，找出等量關系，然后解三角形．[解]如圖所示，依據題意可知AC＝10，∠ACB＝120°，設艦艇靠近漁輪所需的時間為th，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，依據余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以艦艇靠近漁輪所需的時間為eq\f(2,3)h.此時AB＝14，BC＝6.在△ABC中，依據正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．即艦艇航行的方位角為45°＋21.8°＝66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近漁輪．1．測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結果轉化為實際問題的解．2．在解三角形問題中，求某些角的度數時，最好用余弦定理求角．因為余弦函數在(0，π)上是單調遞減的，而正弦函數在(0，π)上不是單調函數，一個正弦值可以對應兩個角．但角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上時，用正、余弦定理皆可．2．甲船在A處視察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，問甲船應沿什么方向前進才能在最短時間內追上乙船？此時乙船行駛了多少海里？[解]設甲船沿直線AC與乙船同時到達C點，則A，B，C三點構成△ABC，如圖．設乙船速度為v海里/時，則甲船速度為eq\r(3)v海里/時，用時為th.由題意得BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－eq\f(a,2)(舍去)或vt＝a，∴BC＝a海里．在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.故甲船應沿北偏東30°的方向前進才能在最短時間內追上乙船，此時乙船行駛了a海里.求解速度問題[探究問題]1．某物流投遞員沿一條大路前進，從A到B，方位角是50°，距離是4km，從B到C，方位角是80°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是6km，試畫出示意圖．[提示]如圖所示：2．在探究1中，若投遞員想在半小時之內，沿小路干脆從A點到C，則此人的速度至少是多少？[提示]如探究1圖，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝eq\r(80＋32\r(3))，則此人的最小速度為v＝eq\f(\r(80＋32\r(3)),\f(1,2))＝8eq\r(5＋2\r(3))(km/h)．3．在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路干脆由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達C點的時間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時)＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知t2＝eq\f(8\r(5＋2\r(3)),16\r(7))≈0.55小時＝33分鐘；由于30<33＋10，所以此人在C點不能與投遞員相遇．【例3】如圖所示，一輛汽車從O點動身沿一條直線馬路以50公里/小時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車行駛方向)，汽車開動的同時，在距汽車動身點O點的距離為5公里、距離馬路途的垂直距離為3公里的M點的地方有一個人騎摩托車動身想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少公里？[思路探究]依據已知圖形構造三角形，利用余弦定理建立速度與時間的函數求解．[解]作MI垂直馬路所在直線于點I，則MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).設騎摩托車的人的速度為v公里/小時，追上汽車的時間為t小時，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))2＋900≥900，∴當t＝eq\f(1,8)時，v取得最小值為30，∴其行駛距離為vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(公里)．故騎摩托車的人至少以30公里/小時的速度行駛才能實現他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了eq\f(15,4)公里．解決實際問題應留意的問題：(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再依據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵最主要的一步．(2)將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，要正確運用正、余弦定理解決問題．3．一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向上，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，則此船的航行速度為()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時 B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時 D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時D[如圖，由題意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))海里，因此該船的航行速度為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/時)．]1．在探討三角形時，敏捷依據兩個定理可以找尋到多種解決問題的方案，但有些過程較煩瑣，如何找到最優的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式．2．測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結果轉化為實際問題的解．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若P在Q的北偏東44°，則Q在P的東偏北44°方向．()(2)如圖所示，該角可以說成北偏東110°.()(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定視察點與目標點之間的位置關系，其范圍均是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)若點A在點C的北偏東30°方向，點B在點C的南偏東60°方向，且AC＝BC，則點A在點B北偏西15°方向．()[解析](1)×.若P在Q的北偏東44°，則Q應在P的南偏西44°.(2)×.本圖所標角應為方位角，可以說成點A的方位角為110°.(3)×.因為方向角的范圍為0°～90°，而方位角的范圍為0°～360°.(4)√.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危急區，城市B在A的正東40km處，B城市處于危急區內的時間為()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2hB[設臺風中心移動th，城市B處在危急區，則(20t)2＋402－2×20t×40×cos45°≤900，解得eq\r(2)－eq\f(1,2)≤t≤eq\r(2)＋eq\f(1,2)，所以B城市處在危急區的時間為1h．]3．身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()A．d1>d2 B．d1<d2C．d1>20m D．d2<20mB[依據題意，可得tan50°＝eq\f(20,d1)，tan40°＝eq\f(20,d2)，又因為tan50°>tan40°，所以d1<d2.故選B．]4．如圖所示，某海輪以60海里/時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分