2．3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系 2題型二：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程 4題型三：交點(diǎn)問(wèn)題 5題型四：對(duì)稱問(wèn)題 6題型五：兩點(diǎn)間的距離 10題型六：點(diǎn)到直線的距離 11題型七：兩平行直線間的距離 12題型八：距離問(wèn)題的綜合靈活運(yùn)用 13題型九：線段和與差的最值問(wèn)題 15【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 18【高考真題】 32【題型歸納】題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系1．（多選題）（2024·高二·浙江溫州·期末）設(shè)直線：，：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與不重合B．當(dāng)時(shí)，直線與相交C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】BD【解析】對(duì)于A，時(shí)，若,,且時(shí)，兩直線：，：重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，聯(lián)立，可得,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組有唯一一組解，故直線與相交，B正確；對(duì)于C，時(shí)，若，則無(wú)解，此時(shí)；若，則有無(wú)數(shù)多組解，此時(shí)重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由可得，即兩直線斜率之積等于，故；若,則可得，此時(shí)滿足，直線：，：，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，D正確，故選：2．（多選題）（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)榧?，集合，且，所以直線與直線平行或交于點(diǎn)，當(dāng)兩線平行時(shí)，；當(dāng)兩線交于點(diǎn)時(shí)，，解得．綜上得a等于或2．故選：AD．3．（2024·高二·湖北武漢·期中）寫出使得關(guān)于的方程組無(wú)解的一個(gè)的值為.（寫出一個(gè)即可）【答案】，3，（寫出一個(gè)即可）【解析】顯然，當(dāng)時(shí)，不表示直線，無(wú)解，故方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由方程組可看作求兩直線（）與的交點(diǎn)，則方程組無(wú)解，即直線無(wú)交點(diǎn)，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)，即，解得或，此時(shí)，不過(guò)點(diǎn)，方程組無(wú)解.綜上，的取值為.故答案為：，3，（寫出一個(gè)即可）4．（2024·高三·上海楊浦·階段練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無(wú)窮多組解，則的值為【答案】4【解析】若方程組有無(wú)窮多組解，即兩條直線重合,即,則故答案為：4題型二：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程5．（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）若直線l經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即①．又直線l的斜率為，則，解得．將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．故答案為：.6．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．【答案】x－y＝0.【解析】設(shè)直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因?yàn)樗c直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直線為x－y＝0.故答案為：x－y＝0.題型三：交點(diǎn)問(wèn)題8．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解方程組，得，所以所求交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B9．（2024·高二·安徽宿州·階段練習(xí)）若的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由可得，，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，，由可知，方程的解是，又的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，其中，解得；綜上所述，.故選：B10．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.11．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，解方程組得，由題知，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A題型四：對(duì)稱問(wèn)題12．（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）已知不同的兩點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【解析】因?yàn)閮牲c(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，解得，所以.故選：C.13．（2024·高二·四川遂寧·期中）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題知，點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)為，則解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B.14．（2024·高二·北京西城·期中）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，，．15．（2024·高二·四川雅安·開學(xué)考試）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.16．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則.【答案】【解析】在直線上取點(diǎn)，，M，N關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)分別為.點(diǎn)在直線上，，解得，.故答案為：17．（2024·高一·浙江杭州·期末）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】【解析】根據(jù)條件求出直線的方程，從而求得直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線的方程為，顯然經(jīng)過(guò)定點(diǎn)故答案為：18．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為【答案】【解析】在直線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以，解得，即，將的坐標(biāo)代入，得：，所以直線的方程為.故答案為：.19．（2024·高二·安徽合肥·期末）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.【答案】【解析】利用所求直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上求解.在所求直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，，即，故答案為：.20．（2024·高二·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以反射光線所在直線方程為，即．故選：B．21．（2024·高三·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)的重心，則的周長(zhǎng)等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以直線的方程為.設(shè)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，易得，.易知直線就是所在的直線.所以直線的方程為.設(shè)的重心為，則，所以，即，所以（舍去）或，所以，.結(jié)合對(duì)稱關(guān)系可知，，所以的周長(zhǎng)即線段的長(zhǎng)度為：.故選：A.題型五：兩點(diǎn)間的距離22．（2024·高二·天津河西·階段練習(xí)）已知與兩點(diǎn)間的距離是17，則的值為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式得：，解得.故選：D23．（2024·高二·江西撫州·階段練習(xí)）點(diǎn)到直線的最大距離為（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】由題意知，直線即，所以該直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最大距離即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即.故選：C.24．（2024·高二·全國(guó)·階段練習(xí)）已知菱形的對(duì)角線與軸平行，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四邊形為菱形，軸，軸，可設(shè)，，，解得：（舍）或，.故選：A.題型六：點(diǎn)到直線的距離25．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)到直線的距離等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線方程化為，由點(diǎn)到直線的距離公式得．故選：B.26．（2024·高二·湖南·期中）已知，，若，到直線的距離都等于，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)位于直線同側(cè)時(shí)，只有時(shí)，且兩平行線之間的距離為時(shí)，滿足條件，這樣的直線有2條；又，所以位于直線兩側(cè)時(shí)，只有當(dāng)直線恰為直線的中垂線時(shí)，滿足條件，此時(shí)的直線有1條.綜上所述，滿足條件的直線共有3條.故選：C．27．（2024·吉林·三模）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【解析】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選:D.28．（2024·高二·山西朔州·階段練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)，等距離，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解析：設(shè)所求直線的方程為，即，由已知及點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，即所求直線方程為或.故選:D.題型七：兩平行直線間的距離29．（2024·高二·浙江·期中）直線與之間的距離相等，則直線的方程是.【答案】【解析】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設(shè)直線的方程為，則由平行線間的距離公式得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.30．（2024·高一·重慶沙坪壩·期末）若兩條平行直線：與：間的距離為2，則.【答案】或【解析】由題意可得：，解得或.故答案為：或.31．（2024·高二·天津和平·階段練習(xí)）若兩條平行直線與之間的距離為，則.【答案】11或【解析】直線，即，直線與平行，，解得，直線與的距離為，，解得或故答案為：11或32．（2024·高二·北京朝陽(yáng)·期中）到直線的距離等于的直線方程為.【答案】或【解析】設(shè)所求直線方程為，由，得或,所以所求的直線方程為或，故答案為：或題型八：距離問(wèn)題的綜合靈活運(yùn)用33．（2024·高一·山東濱州·競(jìng)賽）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，得出函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)椋运硎军c(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差，如圖所示：因?yàn)?，所以的最大值?故答案為：.34．（2024·高二·廣東揭陽(yáng)·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【解析】函數(shù)，即為點(diǎn)至和的距離之和，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以,由圖形易得最小值為.故答案為:.35．（2024·高二·上海浦東新·期中）已知x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是．【答案】5【解析】即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，分別作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)分別為與軸，軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：5.36．（2024·高二·浙江溫州·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最大值為．【答案】【解析】，可轉(zhuǎn)化成x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差.，所以的最大值為.故答案為：題型九：線段和與差的最值問(wèn)題37．（2024·高二·浙江金華·期中）已知兩直線.(1)求過(guò)兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程；(2)已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【解析】（1）聯(lián)立，解得，因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以所求直線的斜率為；故所求直線方程為，即（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，，解得則，故的最小值為.38．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為,如圖所示，若點(diǎn)不在直線上則,連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為最大值．直線的方程是，即.令，得．則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.39．（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線．(1)在上求一點(diǎn)，使的值最?。?2)在上求一點(diǎn)，使的值最大．【解析】（1）由題意知，點(diǎn)、在直線的同一側(cè)．由平面幾何的知識(shí)可知，先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接，則直線與的交點(diǎn)為所求．設(shè)，則且，解得，，，直線的方程為．由，解得，即為所求；（2）連接，則與直線的交點(diǎn)即為所求，易得直線的方程為，聯(lián)立，解得，即為所求．40．（2024·高一·上海閔行·階段練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)，在直線上有一個(gè)點(diǎn)，滿足最小，則的最小值是【答案】5【解析】由于在上，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以的最小值為.故填：.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·山東濰坊·階段練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線的方程可化為，聯(lián)立，解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，因?yàn)橹本€的斜率，，所以直線的斜率，所以，所以，所以，故，所以直線的方程為.故選：C.2．（2024·高二·江蘇南通·開學(xué)考試）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即故,,當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：A3．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值等于（

）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】令，，由已知可得點(diǎn)，分別在直線，上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，到原點(diǎn)的距離，依題意點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離即為原點(diǎn)到直線的距離，為，因此的最小值為，因此的最小值等于.故選：D.4．（2024·高二·陜西西安·開學(xué)考試）直線：與直線：的距離是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】直線：化為，又直線：，所以，所以直線與直線的距離是.故選：A.5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).若，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則得，即，由題意知與直線不平行，故，由，得，即，故直線的斜率為，直線的直線方程為：，令得，故，令得，故由對(duì)稱性可得，由得，即，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會(huì)與軸相交，故不符合條件．故，故選：B.6．（2024·高二·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線與直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由直線可得，所以直線與直線平行，所以PQ的最小值為直線與直線距離，所以.故選：C.7．（2024·高二·江蘇·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最大值為()A． B．C．3 D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以交點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，由解得，所以，所以到的距離，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，所以的最大值為，綜上可知，點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，故選：D.8．（2024·高二·山東棗莊·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交直線于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使取得最大值.(原因如下：根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱圖形特征，知,此時(shí),在直線上另取點(diǎn),連接,則,)不妨設(shè)點(diǎn)，則有：解得：即,故故選：C.9．（多選題）（2024·高二·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）一光線過(guò)點(diǎn)，經(jīng)傾斜角為的且過(guò)的直線反射后過(guò)點(diǎn)，則反射后的光線還經(jīng)過(guò)下列哪些點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】?jī)A斜角為的且過(guò)的直線的方程為，即.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，即，解得，即.于是反射后的光線所在的直線方程為，即.對(duì)于A：在l的左側(cè)，反射光線（射線）不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：時(shí)，故B正確；對(duì)于C：時(shí)，故C正確；對(duì)于D：時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．（多選題）（2024·高二·河北石家莊·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】令A(yù)x1,y1、Bx2,y設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則有：，兩式相加得：，所以，則原點(diǎn)到該直線的距離，大于該值的都有可能.故選：CD11．（多選題）（2024·高二·陜西·開學(xué)考試）已知平行四邊形的三條邊所在直線的方程分別是，的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為，且平行四邊形的面積為5，則（

）A．的坐標(biāo)為B．的坐標(biāo)為C．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為D．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為【答案】BCD【解析】由,解得，所以,由,解得，所以,故A錯(cuò)誤，B正確，由于，故，且之間的距離為，根據(jù)平行四邊形的面積為5，所以,故，設(shè)：，則，在上，所以，又，解得或，所以直線方程可能為，和，CD正確，故選：BCD12．（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是.【答案】【解析】聯(lián)立兩條直線的方程，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，由，故得的取值范圍是.故答案為：.13．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【解析】由題可知，表示的是直線0上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之差．如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即最大，最大值為，所以的最大值為．故答案為：．14．（2024·高二·廣東廣州·期中）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn)．若，則的值為.【答案】/0.5【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故，設(shè)，因?yàn)椋?，則，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為，由對(duì)稱性可得在直線上，即，解得，故直線的方程為，聯(lián)立直線與直線，，解得，所以，將代入中，.故答案為：15．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若定義兩點(diǎn)和之間的“t距離”為，其中表示p，q中的較大者，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為；若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為，則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.【答案】4【解析】第一空：點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為；第二空：若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為，則，不妨設(shè)，解得或，此時(shí)，即，由對(duì)稱性可知，當(dāng)或時(shí)，，如圖所示：

，所以A點(diǎn)的軌跡就是正方形的四條線段，則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.故答案為：；4.16．（2024·高二·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中點(diǎn)為與直線的交點(diǎn).故答案為：.17．（2024·高二·四川內(nèi)江·期中）已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.(1)求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積．【解析】（1）由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，所以直線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（2）由（1）得，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.18．（2024·高二·天津南開·期中）已知直線與直線．(1)當(dāng)m為何值時(shí)，與相交；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，與平行，并求與的距離；(3)當(dāng)m為何值時(shí)，與垂直．【解析】（1）由直線與相交，則，解得且.（2）由直線與平行，則，解得，所以此時(shí)直線，，所以與的距離為.（3）由直線與垂直，則，解得或.19．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）如圖，OAB是一張三角形紙片，，，，設(shè)與、的交點(diǎn)分別為、，將沿直線折疊后，使落在邊上的點(diǎn)處．設(shè)，試用表示點(diǎn)到距離．【解析】以為原點(diǎn)，邊所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)椋裕B接，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱，所以．當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的方程為，點(diǎn)到的距離為．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，從而直線的方程為，即．①又直線的方程為，②由①②解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到距離為.當(dāng)時(shí)也滿足上式．所以點(diǎn)到距離為.20．（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）如圖，已知，，，直線：．(1)求直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，李老師站在點(diǎn)用激光筆照出一束光線，依次由（反射點(diǎn)為）、（反射點(diǎn)為）反射后，光斑落在點(diǎn)，求入射光線的直線方程．【解析】（1）由直線：，即，令，解得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由直線的方程為，即，所以，解得，所以，由題意得、、、四點(diǎn)共線，，由對(duì)稱性得，所以入射光線的直線方程為，即．【高考真題】1．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（全國(guó)卷））直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)為直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程上任意一點(diǎn)，則關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，即有，滿足直線方程，即，

化簡(jiǎn)得，.故選：C.2．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖北卷））已知點(diǎn)和．直線與線段的交點(diǎn)M分有向線段的比為，則m的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【解析】設(shè)，且，則，得，解得：,代入直線，，得.故選：D3．（1990年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷））如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【