4．4數學歸納法目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：對數學歸納法的理解 2題型二：數學歸納法中的增項問題 3題型三：證明恒等式 4題型四：證明不等式 6題型五：歸納—猜想—證明 9題型六：用數學歸納法證明整除性問題 10題型七：用數學歸納法證明幾何問題 11【重難點集訓】 13【高考真題】 22【題型歸納】題型一：對數學歸納法的理解2．（2024·高二·全國·課前預習）對于不等式，某同學用數學歸納法的證明過程如下：（1）當時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設當（且）時，不等式成立，即，那么當時，，所以當時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確 B．驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確【答案】D【解析】在時，沒有應用時的歸納假設，不是數學歸納法.故選：D.4．（2024·高二·全國·課后作業）已知命題及其證明：（1）當時，左邊，右邊，所以等式成立．（2）假設時等式成立，即成立，則當時，，所以時等式也成立．由（1）（2）知，對任意的正整數命題都成立．判斷以上評述（

）A．命題、證明都正確 B．命題正確、證明不正確C．命題不正確、證明正確 D．命題、證明都不正確【答案】B【解析】證明不正確，錯在證明當時，沒有用到假設時的結論．由等比數列求和公式知,命題正確.故選：B．9．（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用數學歸納法證明時，第一步應證明（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，即從起連續項正整數之和.則為從起連續3個正整數之和，故第一步應證明.故選：B.10．（2024·高二·上海·專題練習）用數學歸納法證明（），在驗證成立時，左邊計算所得的項是（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】因為，當時，左邊，故C正確.故選：C.題型二：數學歸納法中的增項問題18．（2024·高二·浙江杭州·期末）用數學歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（

）A．1項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】因為，所以，共項，則共項，所以比共增加了項，故選：D19．（2024·高二·河南駐馬店·期中）用數學歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據數學歸納法可知：當時，當時，相比從到，可知多增加的項為故選：D20．（2024·高二·浙江嘉興·期中）用數學歸納法證明：時，從推證時，左邊增加的代數式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據數學歸納法的推導可得，當時，當時.左邊增加的代數式是.故選：A題型三：證明恒等式25．（2024·高二·全國·隨堂練習）求凸n邊形的對角線的條數．【解析】因為三角形沒有對角線，即；四邊形有2條對角線，即；五邊形有5條對角線，即；猜想，下面利用數學歸納法證明：（1）當時，，命題成立；（2）假設當時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數；當時，邊形時在k邊形的基礎上增加了一邊，增加了一個頂點，則增加的對角線是頂點與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊，增加的對角線條數為，所以，可知：當時，命題成立，所以猜想正確；綜上所述：凸n邊形的對角線的條數.22．是否存在常數a、b，使等式對一切正整數n都成立？若存在，求出a、b的值并用數學歸納法證明你的結論．若不存在，請說明理由．【解析】存在．將，分別代入等式，得，即，所以或.猜測對一切正整數都成立．證明：（1）當時，顯然成立；（2）假設時，成立；則當時，左邊右邊，所以時，等式也成立．綜合（1）（2），由數學歸納法就可以斷定等式對一切正整數都成立．30．（2024·高二·全國·課后作業）用數學歸納法證明：(1)；(2)．【解析】（1）證明：記，當時，則有，等式成立，假設當，等式成立，即，則，這說明當時，等式成立，故對任意的，.（2）證明：設，當時，，等式成立，假設當時，等式成立，即，所以，，這說明當時，等式成立，所以，對任意的，.31．（2024·高二·上海·課后作業）用數學歸納法證明（為正整數）．【解析】設．①當時，左邊，右邊，等式成立；②設當時等式成立，即，則當時，．由①②可知當時等式都成立．題型四：證明不等式38．數列滿足且(1)用數學歸納法證明：；(2)已知不等式對成立，證明：，其中無理數….【解析】（1）證明：將代入可得，①當時，，滿足，②假設當時滿足，③當時，有成立，故得證；（2）證明：由（1）知，，兩邊取對數可得：，，，，，將上式相加可得：，，，，得證.42．（2024·高三·全國·專題練習）若數列的通項公式為，，證明：對任意的，不等式成立.【解析】證明：由于，故.所證不等式為.（1）當時，左式，右式，左式>右式，結論成立.（2）假設當時結論成立，即，則當時，，要證時結論成立，只需證，即證.由基本不等式知成立.故成立，所以當時，結論成立.由（1）（2）可知，對任意的時，不等式成立.43．（2024·高二·全國·課后作業）證明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即，當n＝k＋1時，，所以當n＝k＋1時，不等式成立．綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．題型五：歸納—猜想—證明51．（2024·高二·上海·隨堂練習）設數列滿足，且（n為正整數）．(1)求，，，并由此猜想出的一個通項公式；(2)用數學歸納法證明你的猜想成立．【解析】（1）由，得，由，得，由，得，由此猜想的一個通項公式：（n為正整數）；（2）用數學歸納法證明：①當，滿足，命題成立；假設當（k為正整數）時命題成立，即，則當時，，命題仍然成立，由①和②可知：（n為正整數）．52．（2024·高二·上海·課后作業）已知數列滿足，且，求數列的通項公式并證明．【解析】計算得，，，，…，猜測數列的通項公式為，用數學歸納法證明：證明：（i）當時，符合上述公式；（ii）假設當（為正整數）時，有，則當時，，符合上述公式.由（i）（ii）可知，（為正整數）.53．設，（n為正整數）．若，求，及數列的通項公式．【解析】，．可寫為，，，因此猜想．下面用數學歸納法證明上式：當時結論顯然成立．假設時結論成立，即．則，所以當時結論成立．所以通項公式為．題型六：用數學歸納法證明整除性問題61．（2024·高二·上海閔行·期中）證明：當時，能被64整除．【解析】（1）當時，能被64整除．（2）假設當時，能被64整除，則當時，．故也能被64整除．綜合（1）（2）可知當時，能被64整除．62．（2024·高二·陜西西安·階段練習）用數學歸納法證明：能被整除．【解析】當時，，又，能被整除；假設當時，能被整除，即，那么當時，能被整除；綜上所述：能被整除.63．（2024·高二·全國·課后作業）用數學歸納法證明：能被整除.【解析】證明：（1）當時，能被整除，所以結論成立；（2）假設當時結論成立，即能被整除．則當時，，因為能被整除，能被整除，所以，能被整除，即即時結論也成立．由（1）（2）知命題對一切都成立．題型七：用數學歸納法證明幾何問題70．（2024·高二·江蘇·課后作業）平面內有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數.【解析】證明：（1）當時，兩條直線的交點只有一個，又，當時，命題成立．（2）假設，且時，命題成立，即平面內滿足題設的任何條直線交點個數，那么，當時，任取一條直線，除以外其他條直線交點個數為，與其他條直線交點個數為，從而條直線共有個交點，即，這表明，當時，命題成立．由（1）、（2）可知，對命題都成立．73．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數與函數的圖像關于直線對稱，（1）在數列中，，當時，，在數列中，，，若點在函數的圖像上，求a的值.（2）在（1）的條件下，過點作傾斜角為的直線，若在y軸上的截距為，求數列的通項公式.【解析】（1）因為函數是的反函數，則.因為點在函數的圖像上，所以.（*）令，得，，，則.（2）由（1）得，（*）式可化為.①直線的方程為：.因為在y軸上截距為，所以，結合①可得.②由①式可知，當自然數時，，.兩式作差得，結合②式得.③在③式中，令，結合，可解得或2，又因為當時，，所以.同理，在③式中，依次令，，可解得，.由此猜想，然后用數學歸納法證明如下：（i）當，2，3時，已證成立；（ii）假設當時命題成立，即，當時，由③式可得，把代入，解得或.由于，則，所以不符合題意，應舍去，故只有，則當時命題也成立.綜上可知，數列的通項公式為.69．（2024·高二·廣東珠海·期末）記直線為曲線的漸近線．若，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，再過作軸的垂線交于點依此規律下去，得到點列，，，和點列，，，，為正整數．記的橫坐標為，．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）由直線為曲線的漸近線，可得直線的方程為，可得，，，，，，，，，，，，，，則，，，，，；，，，，，；（2）證明：運用數學歸納法證明．，當時，原不等式的左邊，右邊，由，則原不等式成立；設時，，當時，，要證原不等式成立，即證，上式化為，即為，即為，兩邊平方可得，該不等式顯然成立，所以時，原不等式也成立．所以．【重難點集訓】1．（2024·高二·陜西榆林·階段練習）利用數學歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項 C．k項 D．1項【答案】B【解析】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，故增加的項數為：.故選：B.2．（2024·高二·全國·專題練習）意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數列在現代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數列被2除后的余數構成一個新數列，則數列的前2024項的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．1350【答案】D【解析】依題意，若，等價于為偶數，若，等價于為奇數，顯然，猜想：，當時，成立；假設當時，成立，則為奇數，為偶數；當時，則為奇數，為奇數，為偶數，故符合猜想，因此，，所以數列的前2024項的和為.故選：D3．（2024·高三·全國·對口高考）已知，證明不等式時，比多的項數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，所以比多的項數是.故選：B.4．（2024·高二·上海·期中）用數學歸納法證明，由到時，不等式左邊應添加的項是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，左邊的代數式為，當時，左邊的代數式為，故用時左邊的代數式減去時左邊的代數式的結果為：故選：D．5．（2024·高二·全國·課堂例題）用數學歸納法證明：，在驗證成立時，左邊所得的代數式是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】當時，，所以左邊為.故選：C.6．（2024·高二·全國·課前預習）對于不等式，某同學用數學歸納法的證明過程如下：（1）當時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設當（且）時，不等式成立，即，那么當時，，所以當時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確 B．驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確【答案】D【解析】在時，沒有應用時的歸納假設，不是數學歸納法.故選：D.7．（2024·高二·河南·期中）已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設（，k為偶數）時命題為真，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立【答案】B【解析】由數學歸納法的證明步驟可知，假設（，k為偶數）時命題為真，還需要再證明下一個偶數，即時等式成立.故選：B8．（多選題）（2024·高二·吉林延邊·階段練習）如圖，點均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點均在函數的圖象上．為數列前項和，為數列的前n項和，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對A，第一個等邊三角形頂點坐標代入得，故A正確；將點坐標代入，將點坐標代入得，對BC，法一：由此可猜測：．接下來用數學歸納法證明，當，顯然成立，假設，成立，則時，，，即，故B錯誤；故在，所以，由于，解得成立，故也成立，綜上可得，故C錯誤；法二：數列前項和為，則頂點坐標為，，故B錯誤；因為點在函數上，所以，，則，，兩式相減得，，因為，所以，，第一個等邊三角形頂點代入得，代入得，所以，故是以為首項為公差的等差數列，所以，故C錯誤；對D，，所以，故AD正確，BC錯誤，故選：AD9．（多選題）（2024·高二·安徽·期末）設數列滿足，且當時，有則（

）A．， B．，C． D．【答案】ACD【解析】對于A中，當為偶數時，則為奇數，可得且，，則，即，所以，即，因為，所以，又，所以，所以A正確；對于B中，由成立，假設，則由，知，所以，即時，也成立，所以，不存在，，所以B錯誤；對于C中，由，，猜想，當時，成立，假設，由，則，即時，也成立，所以，故C正確；對于D中，因為當n為奇數時，，為奇數所以，故D正確；故選：ACD.10．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）已知數列中，，，則下列結論正確的是（

）A．當時，數列為常數列B．當時，數列單調遞減C．當時，數列單調遞增D．當時，數列為擺動數列【答案】ABC【解析】對于A選項，當時，，由可得，，，，以此類推可知，對任意的，，此時，數列為常數列，A對；對于B選項，當時，則，此時，數列單調遞減，B對；對于C選項，因為，，且，則，猜想，，，當時，猜想成立，假設當時，猜想成立，即，則當時，，因為，則，則函數在上單調遞增，所以，，即成立，由數學歸納法可知，對任意的，，所以，，此時，數列單調遞增，C對；對于D選項，當時，取，則且，則，，，，以此類推可知，當且時，，即，此時，數列不是擺動數列，D錯.故選：ABC.11．（2024·高二·全國·單元測試）用數學歸納法證明能被14整除的過程中，當時，應變形為.【答案】【解析】當時，.故答案為：

.12．（2024·高二·甘肅慶陽·階段練習）若用數學歸納法證明是31的倍數，在驗證成立時，原式為．【答案】【解析】當時，.故答案為：13．（2024·高二·全國·課后作業）在運用數學歸納法證明能被整除時，則當時，除了時必須有歸納假設的代數式相關的表達式外，還必須有與之相加的代數式為．【答案】【解析】設當時，能被整除，所以時，，因此必須有代數式．故答案為：14．（2024·高二·全國·課后作業）觀察下列各式：總結出一般規律，并用數學歸納法證明你所得到的結論.【解析】觀察各式，可得一般規律，用數學歸納法證明如下：當時，左邊，右邊，等式成立；假設時，等式成立，即，那么當時，故時，等式也成立.綜上，等式對于一切正整數n都成立.15．（2024·高二·全國·課后作業）用數學歸納法證明：能被整除.【解析】①當時，能被整除，所以當時結論成立.②假設當時，能被整除，那么當時，，由假設可知能被整除，即能被整除，所以當時結論也成立.綜上，能被整除.16．（2024·高二·全國·課后作業）已知數列的首項，且，試猜想出這個數列的通項公式，并用數學歸納法證明．【解析】，，，，…，猜想：．證明如下：（1）當時，，猜想成立；（2）假設當時，猜想成立，即，則當時，，所以當時，猜想也成立．綜合（1）（2），可知猜想對于任意都成立．17．（2024·高二·上海·期中）已知等差數列的首項為，公差為，前項和為.若，用數學歸納法證明：.【解析】等差數列中，，，當時，，，原等式成立；假設當時，原等式成立，即，，則，即當時，原等式成立，所以對一切，等式成立.【高考真題】1．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知數列的通項公式為的通項公式為．記數列的前項和為，則，的最小值為．【答案】【解析】由題可知，所以，，令，則，當時，，即，下面用數學歸納法證明：當時，成立，假設時，成立，當時，，即時也成立，所以當時，，即，所以時，，時，，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：；.2．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）數列滿足，其中，，．當，時，該數列的通項公式為，若該數列滿足對任意的正整數，都有：，當時，符合條件的正整數對的個數為．其中為的最大公因數．【答案】【解析】（1）當，時，有，，.設，則，，且.故具有相同的初值和遞推式，故，從而；（2）根據，，，知，.一方面，若，則，故.從而；另一方面，若，下面證明：.定義數列滿足，，.則用數學歸納法可證明，，直接利用公式計算可知，對，有.由于，，，故.從而如果，就有；如果，就有.定義序列如下：，且對非負整數，.則根據上面的結論，有，同時根據最大公因