第3節第二課時獨立性檢驗2023屆1《高考特訓營》·數學課程標準解讀命題方向數學素養1.掌握分類變量的含義.2.通過實例，理解2×2列聯表的統計意義.3.通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用1.分類變量與列聯表數學運算數學建模數學抽象2.分類變量關聯性的判斷3.獨立性檢驗的應用0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練1．分類變量與列聯表(1)為了表述方便，我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為__________，分類變量的取值可以用實數表示．分類變量(2)列聯表：列出的兩個分類變量的頻數表，稱為________．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為2×2列聯表．

y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d列聯表

概率臨界值1．[生活拓展]吸煙已成為全球范圍內嚴重危害健康、危害人類生存環境、降低人們的生活水平、縮短人類壽命的緊迫問題．為此，聯合國固定每年5月31日為全球戒煙日．吸煙和壽命是兩個分類變量，可以用獨立性檢驗判斷壽命與吸煙是否有關．2．[知識拓展]等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征，依據頻率穩定于概率的原理，我們可以推斷結果．例如：“微信”和“QQ”是騰訊社交體系中的兩款產品，小明為了解不同群體對這兩款產品的首選情況，統計了周圍老師和同學關于首選“微信”或“QQ”的比例，得到如圖所示的等高條形圖．根據等高條形圖中的信息，對于老師群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為：9∶1；對學生群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為3∶2，因而教師和學生都傾向于首選“微信”．

1．[易錯診斷]某醫療機構通過抽樣調查(樣本容量n＝1000)，利用2×2列聯表和χ2統計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得χ2＝4.453，經查閱臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.現給出四個結論，其中正確的是(

)A．在100個吸煙的人中約有95個人患肺病B．若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”D．只有5%的把握認為“患肺病與吸煙有關”解析：由已知數據可得有1－0.05＝95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，故選C.C2．[教材改編]下面是2×2列聯表：則表中的a＝________，b＝________．答案：52

74解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.

y1y2合計x1a2173x2222547合計b461203．在獨立性檢驗中，兩個分類變量“X與Y有關系”的可信度為99%，則隨機變量χ2的取值范圍是(

)A．[2.706，3.841) B．[3.841，6.635)C．[6.635，7.879) D．[7.879，10.828)解析：對照臨界值表可知選C.C4．[真題體驗](2021·全國甲卷(文))甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：

一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認為“甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異”．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3[題組·沖關]1．(多選題)根據如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是(

)A．吸煙患肺病的頻率約為0.2B．吸煙不患肺病的頻率約為0.8C．不吸煙患肺病的頻率小于0.05D．吸煙與患肺病無關系解析：從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率．A，B，C項都正確．特訓點1分類變量與列聯表【自主沖關類】ABC2．假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為YX

y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d對同一樣本，以下數據能說明X與Y有關的可能性最大的一組為(

)A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：對于同一樣本，|ad－bc|越小，說明X與Y相關性越弱，而|ad－bc|越大，說明X與Y相關性越強，通過計算知，對于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；對于選項D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7＞2.D[錦囊·妙法]1．根據等高堆積條形圖的高度差判斷．2．直接利用2×2列聯表的性質，建立方程求參數即可．典例1某科研機構為了研究中年人禿發與心臟病是否有關，隨機調查了一些中年人的情況，具體數據如表：特訓點2分類變量關聯性的判斷【師生共研類】

心臟病無心臟病禿發20300不禿發5450A．0.1 B．0.05C．0.025 D．0.01解析：因為χ2>6.635，所以有99%的把握說禿發與患心臟病有關，故這種判斷出錯的可能性為1－0.99＝0.01.D如果χ2＞xα，則“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數據中沒有發現足夠的證據支持結論“X與Y有關系”．(2022·麻城市月考)某市政府調查市民收入增減與旅游愿望的關系時，采用獨立性檢驗法抽查了3000人，計算得χ2＝6.023，則市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度是(

)A．90% B．95%C．99% D．99.5%解析：由臨界值表得6.023＞3.841＝x0.05，所以市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度為95%.B典例2

(2020·新高考全國Ⅰ卷)為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：特訓點3獨立性檢驗的應用【師生共研類】SO2PM2.5

[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表：SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]

(75，115]

(3)根據(2)中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中的PM2.5濃度與SO2濃度有關．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828(2)根據所給數據，可得下面的2×2列聯表：SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)根據(2)中的列聯表，P(χ2≥6.635)＝0.01，故有99%的把握認為該市一天空氣中的PM2.5濃度與SO2濃度有關．

(2022·陜西榆林市高三模擬)新能源汽車是指除汽油、柴油發動機之外所有的其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺．在當今提倡全球環保的前提下，新能源汽車產業必將成為未來汽車產業發展的導向與目標．新能源汽車也越來越受到消費者的青睞．某機構調查了某地區近期購車的200位車主的性別與購車種類情況，得到數據如下：

購置新能源汽車購置傳統燃油汽車合計男性10020120女性503080合計15050200(1)根據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為是否購置新能源汽車與性別有關；(2)用分層隨機抽樣的方法按性別從被調查的購置新能源汽車的車主中選出6位，參加關于“新能源汽車駕駛體驗”的問卷調查，并從這6位車主中隨機抽取2位車主贈送一份小禮物，求這2位獲贈禮品的車主中至少有1位女性車主的概率．參考數據：α0.100.050