高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市普通高校2025屆春季招生統一文化考試數學仿真模擬卷02一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知，，，．若，則．【解析】，，，，，則．【答案】22．若，則．【解析】因為，所以．【答案】3．不等式的解集為．【解析】由可得，，所以，所以，即不等式的解集為，，【答案】，4．圓的半徑是．【解析】根據題意，圓即圓，其半徑，【答案】5．已知事件的對立事件為，若（A），則．【解析】事件的對立事件為，若（A），則．【答案】0.56．已知，，且，則的最小值為．【解析】因為，，且，所以；當且僅當，即，時，等號成立所以的最小值為．【答案】7．某校抽取100名學生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據身高數據繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數為．【解析】極差為，組距為5，且第一組下限為153.5，，故組數為7組，【答案】78．已知，則（用數字作答）．【解析】令時，解得；令時，；①，令時，；②，故①②得：，故．【答案】9．定義符號函數，則方程的解集為．【解析】由方程，可得，，，當時，原式等價于，，；當時，原式等價于，即，，，【答案】，10．已知函數，其中，3，，，2，，從中隨機抽取1個，則它在，上是增函數的概率為．【解析】函數，其中，3，，，2，，從中隨機抽取1個，基本事件總數，記事件表示“在，上是增函數”，由已知可知開口一定向上，對稱軸為，則，即，則事件包含的基本事件有：，，，共3個，所以（A），【答案】11．設復數滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數的和為．【解析】設，由得，，，則，即，所以，若，則或，檢驗得，時，得（舍，當時，或，，當時，得或，當，時，此時不存在，當，時，，，此時，故．【答案】12．已知、、為空間中三組單位向量，且、，與夾角為，點為空間任意一點，且，滿足，則最大值為．【解析】設，，，，不妨設，，，則，因為，所以，可得，，所以，解得，故．【答案】二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．設函數，則下列函數中為奇函數的是A． B． C． D．【解析】因為，所以為奇函數，符合題意．【答案】14．甲、乙兩機床同時加工直徑為的零件，為檢驗質量，從它們生產的零件中隨機抽取6件，其測量數據的條形統計圖如下，則A．甲的數據的平均數大于乙的數據的平均數 B．甲的數據的中位數大于乙的數據的中位數 C．甲的數據的方差大于乙的數據的方差 D．甲的數據的極差小于乙的數據的極差【解析】甲的數據的平均數為，乙的數據的平均數為，故選項錯誤；甲的數據的中位數為100，乙的數據的中位數為100，故選項錯誤；甲的數據的方差為，乙的數據的方差為，故甲的數據的方差大于乙的數據的方差，即選項正確；甲的數據的極差為，乙的數據的極差為，故選項錯誤；【答案】15．如圖所示，在正方體中，是平面的中心，、、分別是、、的中點，則下列說法正確的是A．，且與平行 B．，且與平行 C．，且與異面 D．，且與異面【解析】設正方體的棱長為，則，作點在平面內的射影點，連結，，所以，所以，故選項，錯誤；連結，因為為平面的中心，所以，又因為，分別為，的中點，所以，又因為，所以，且，所以與異面，故選項錯誤．【答案】16．已知數列的前項和為，，，成等差數列，則下列說法正確的是A．如果數列成等差數列，則，，成等比數列 B．如果數列不成等差數列，則，，不成等比數列 C．如果數列成等比數列，則，，成等差數列 D．如果數列不成等比數列，則，，不成等差數列【解析】如果數列成等差數列，設公差為，由，，成等差數列，可得，即，化為，由，，只有，才有，但，此時，，不為等比數列，故錯誤；如果數列成等比數列，設公比為，由，，成等差數列，可得，若，則，可得，不成立；所以不為1，則．化為，即，解得，因為，所以，可得，，為等差數列，故正確；若不成等差數列，無法判斷，，不成等比數列，故錯誤；若不成等比數列，無法判斷，，不成等差數列，故錯誤．【答案】三、解析題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．如圖，在三棱錐中，平面，，，，點滿足平面，且在平面內的射影恰為的重心．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．解：以為坐標原點，，，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，0，，，，，，0，，的重心，，，設，，，則，，，平面，，，，，，，，，平面，且，，，，0，，，又由，得，解得，；（1），1，，，，，，，，，，直線與平面所成角的正弦值為；（2），1，，，0，，設平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，點到的距離．18．在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值及的面積．解：（Ⅰ）在中，，由余弦定理，可得，整理可得，解得或（舍去）；（Ⅱ）由題意可得，由正弦定理，可得，所以的面積．19．2020年，全世界范圍內都受到“新冠”疫情的影響．了解某些細菌、病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播、保護環境有極其要的意義．某科研團隊在培養基中放入一定量某種細菌進行研究，發現其蔓延速度越來越快，經過2分鐘菌落的覆蓋面積為，經過3分鐘覆蓋面積為，現菌落覆蓋面積（單位：與經過時間（單位：的關系有兩個函數模型與可供選擇．（參考數據：，，，，，．（1）試判斷哪個函數模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；（2）在理想狀態下，至少經過多久培養基中菌落面積能超過？（計算結果保留到整數）解：（1）的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢，根據題意應選，于是，解得：，，（2）根據函數模型，可得不等式，解得，故至少經過培養基中菌落面積能超過．20．橢圓上頂點為，左焦點為，中心為．已知為軸上動點，直線與橢圓交于另一點；而為定點，坐標為，直線與軸交于點．當與重合時，有，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）設的橫坐標為，當時，求面積的最大值．解：（1）設，由，知，即，由，知，即，則，故橢圓的標準方程為；（2）直線的方程為與聯立，可得，且△，有，即，直線的方程為，令，可得，，，即，，而，當，即時取等號，且，故面積的最大值為．21．設函數，，其中，、，若對任意，均有，則稱函數是函數的“控制函數”，且對所有的函數取最小值定義為．（1）若，，試問是否為的“控制函數”；（2）若，使得直線是曲線在處的切線，求證：函數是為函數的“控制函數”，并求的值；（3）若曲線在處的切線過點，且，，求證：當且僅當或時，（c）（c）．（1）解：，設，，當，時，易知，即單調減，，即，是的“控制函數“；（2）證明