第2課時(shí)補(bǔ)集及綜合應(yīng)用

1.全集的概念及符號表示在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個(gè)給定的集合為全集.全集通常用U表示.2.補(bǔ)集及其性質(zhì)(1)定義(2)性質(zhì)：條件給定全集U及其任意一個(gè)子集A結(jié)論A∪(?UA)=U；A∩(?UA)=?；?U(?UA)=A.【思考】

?UA，A，U三者之間有什么關(guān)系？提示：A?U，?UA?U，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)?UU=?，?U

?=U. (

)(2)若A?B?U，則?UA??UB. (

)(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一. (

)

提示：(1)√.由集合補(bǔ)集的定義可知兩個(gè)等式都成立.(2)√.畫出維恩圖可知，此說法正確.(3)√.根據(jù)補(bǔ)集的定義可知，此說法正確.2.設(shè)集合U=R，M={x|x>2或x<0}，則?UM= (

)A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2}C.{x|x<0或x>2} D.{x|x≤0或x≥2}【解析】選A.如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知?UM={x|0≤x≤2}.3.已知全集U={x|-5<x<5，x∈Z}，A={0，1，2}，則?UA=________.

【解析】易知U={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，A={0，1，2}，故?UA={-4，-3，-2，-1，3，4}.答案：{-4，-3，-2，-1，3，4}類型一補(bǔ)集的運(yùn)算【典例】1.(2018·浙江高考)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，則?UA= (

)A.? B.{1，3} C.{2，4，5} D.{1，2，3，4，5}2.若集合A=[-1，1)，當(dāng)S分別取下列集合時(shí)，求?SA.(1)S=R.(2)S=(-∞，2].(3)S=[-4，1].【思維·引】1.根據(jù)補(bǔ)集的定義直接寫出.2.畫數(shù)軸表示集合S和集合A，觀察數(shù)軸結(jié)合補(bǔ)集的定義求出?SA.【解析】1.選C.因?yàn)槿疷={1，2，3，4，5}，A={1，3}，所以?UA={2，4，5}.2.(1)把集合A表示在數(shù)軸上如圖所示.由圖知?SA=(-∞，-1)∪[1，+∞).(2)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示.由圖易知?SA=(-∞，-1)∪[1，2].(3)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示.由圖知?SA=[-4，-1)∪{1}.【內(nèi)化·悟】借助數(shù)軸求集合的補(bǔ)集時(shí)要關(guān)注什么問題？提示：(1)注意全集是什么.(2)端點(diǎn)的畫法及取到與否.【類題·通】求集合補(bǔ)集的依據(jù)及處理技巧(1)依據(jù)：集合補(bǔ)集的定義.(2)兩種處理技巧：①當(dāng)集合用列舉法表示時(shí)，可借助維恩圖求解；②當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解.【習(xí)練·破】1.若全集U={0，1，2，3}且?UA={2}，則集合A的真子集共有 (

)A.3個(gè) B.5個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【解析】選C.因?yàn)閁={0，1，2，3}且?UA={2}，所以A={0，1，3}，所以集合A的真子集共有7個(gè).2.已知全集U=[-3，+∞)，集合A=(-3，4]，則?UA=________.

【解析】借助數(shù)軸得?UA={-3}∪(4，+∞).答案：{-3}∪(4，+∞)【加練·固】已知全集為U，集合A={1，3，5，7}，?UA={2，4，6}，?UB={1，4，6}，求集合B.【解析】方法一：因?yàn)锳={1，3，5，7}，?UA={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}.又?UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.方法二：滿足題意的維恩圖如圖所示.由圖可知B={2，3，5，7}.類型二集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算角度1借助維恩圖進(jìn)行集合的基本運(yùn)算【典例】1.如圖所示，I是全集，M，P，S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是 (

)A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩?IS D.(M∩P)∪?IS2.若設(shè)全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，4，5}.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)計(jì)算?UA，?UB，A∪B，A∩B.(2)計(jì)算(?UA)∪(?UB)，(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，?U(A∩B).【思維·引】1.根據(jù)交、并、補(bǔ)集的定義，逐個(gè)檢驗(yàn).2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算時(shí)，有括號的先算括號內(nèi)的，然后按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.【解析】1.選C.陰影部分是M與P的公共部分，且在S的外部.2.(1)因?yàn)閁={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，4，5}，所以?UA={3，4}，?UB={1，3}，A∪B={1，2，4，5}，A∩B={2，5}.(2)(?UA)∪(?UB)={1，3，4}，(?UA)∩(?UB)={3}，?U(A∪B)={3}，?U(A∩B)={1，3，4}.【素養(yǎng)·探】在集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算問題中，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象，利用維恩圖和數(shù)軸描述、分析集合的運(yùn)算問題.在本例2(2)的基礎(chǔ)上，猜測一個(gè)一般性的結(jié)論，并利用維恩圖證明.【解析】由此可猜測：(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)；(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).證明如下：用維恩圖表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)，有用維恩圖表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有：角度2借助數(shù)軸進(jìn)行集合的基本運(yùn)算【典例】1.(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，則A∩(?RB)= (

)A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}2.已知集合U=(-∞，4]，集合A=(-2，3)，B=[-3，2]，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】1.先計(jì)算?RB，再計(jì)算A∩(?RB).2.畫數(shù)軸，先計(jì)算A∩B，?UA，?UB，再計(jì)算(?UA)∪B，A∩(?UB).【解析】1.選B.因?yàn)榧螧={x|x≥1}，所以?RB={x|x<1}，所以A∩(?RB)={x|0<x<1}.2.如圖所示.因?yàn)锳=(-2，3)，B=[-3，2]，所以?UA=(-∞，-2]∪[3，4]，?UB=(-∞，-3)∪(2，4].A∩B=(-2，2]，所以(?UA)∪B=(-∞，2]∪[3，4]，A∩(?UB)=(2，3).

【類題·通】求集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的方法【習(xí)練·破】1.全集U={x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，求集合A，B.【解析】方法一：根據(jù)題意作出維恩圖如圖所示.由圖可知A={1，3，9}，B={2，3，5，8}.方法二：因?yàn)??UB)∩A={1，9}，(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，所以?UB={1，4，6，7，9}.又因?yàn)閁={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B={2，3，5，8}.因?yàn)??UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，所以A={1，3，9}.

2.已知全集U=[-1，4]，A=[-1，1]，B=(0，3]，求?UA，(?UB)∩A.【解析】因?yàn)閁=[-1，4]，A=[-1，1]，B=(0，3]，結(jié)合數(shù)軸(如圖).可知?UA=(1，4]，?UB=(3，4]∪[-1，0].結(jié)合數(shù)軸(如圖).可知(?UB)∩A=[-1，0].【加練·固】已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}，P=，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP).【解析】將集合A，B，P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示.因?yàn)锳={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}，所以A∩B={x|-1<x<2}，?UB={x|x≤-1或x>3}.又P=所以(?UB)∪P=.又?UP=所以(A∩B)∩(?UP)={x|-1<x<2}∩={x|0<x<2}.類型三根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或范圍【典例】1.已知全集U={2，0，3-a2}，P={2，a2-a-2}，且?UP={-1}，則實(shí)數(shù)a的值為________.2.已知集合A=[2，+∞)，B=[-1，5]. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求(?RA)∩B.(2)若D=[1-a，1+a]，且D∪(?RB)=?RB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思維·引】1.由?UP={-1}得，-1∈U，且-1?P，0∈P，列方程求a的值.2.(1)先計(jì)算?RA，再計(jì)算(?RA)∩B.(2)由D∪(?RB)=?RB，確定D與?RB的關(guān)系.【解析】1.因?yàn)?UP={-1}，所以-1∈U，且-1?P，0∈P.所以解得a=2.經(jīng)檢驗(yàn)，a=2符合題意，故實(shí)數(shù)a的值為2.答案：22.(1)因?yàn)榧螦=[2，+∞)，B=[-1，5].所以?RA=(-∞，2)，(?RA)∩B=[-1，2).(2)因?yàn)镈=[1-a，1+a]且D∪(?RB)=?RB，?RB=(-∞，-1)∪(5，+∞)，所以D??RB，當(dāng)D=?時(shí)，1-a>1+a，解得a<0，成立；當(dāng)D≠?時(shí)，或，無解.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，0).【內(nèi)化·悟】對于含有參數(shù)的交、并、補(bǔ)問題，依據(jù)題目條件求出參數(shù)值后，還要注意什么問題？提示：需將參數(shù)值代回檢驗(yàn)，舍去不符合題意的參數(shù)值.【類題·通】由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法(1)有限集：由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識求解.(2)無限集：與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個(gè)時(shí)，一般借助數(shù)軸分析法求解.【發(fā)散·拓】補(bǔ)集思想的應(yīng)用對于一些比較復(fù)雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確、難于從正面入手的數(shù)學(xué)問題，在解題時(shí)，可從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這時(shí)能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決.這就是“正難則反”的解題策略，也是處理問題的間接化原則的體現(xiàn).【延伸·練】已知集合A={x|x2+ax+1=0}，B={x|x2+2x-a=0}，C={x|x2+2ax+2=0}.若三個(gè)集合至少有一個(gè)集合不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有即解得-<a<-1，所以當(dāng)a≤-或a≥-1時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，即三個(gè)集合至少有一個(gè)集合不是空集.則a的取值范圍為【習(xí)練·破】已知集合A=(-∞，a)，B=(-∞，1)∪(3，+∞).若A∩(?RB)=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】?RB=[1，3]，利用數(shù)軸畫出集合A與?RB，如圖.因?yàn)锳∩(?RB)=?，所以應(yīng)滿足a≤1，故a的取值范圍是(-∞，1].【加練·固】已知全集U=[-6，5]，M=(-3，2]，N=(0，2).(1)求M∩(?UN).(2)若C=[a，2a-1]且C?(?UM)，求a的取值范圍.【解析】(1)全集U=[-6，5]，M=(-3，2]，N=(0，2)，所以?UN=[-6，0]∪[2，5]，所以M∩(?UN)=(-3，0]∪{2}.(2)因?yàn)镃=[a，2a-1]，?UM=[-6，-3]∪(2，5]，且C?(?UM)，當(dāng)C=?時(shí)，a>2a-1，解得a<1；當(dāng)C≠?且C?(?UM)時(shí)，

或解得2<a≤3.綜上所述：a的取值范圍是(-∞，1)∪(2，3].類型四集合的基本運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用【生活情境】某校隨機(jī)抽取50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成