第07講一元二次方程

目錄

題型12應用根的判別式證明方程根的

一、考情分析情況

二、知識建構題型13應用根的判別式求代數式的取

值范圍

考點—元二次方程的相關概念

題型14與根的判別式有關的新定義問

題型01識別一元二次方程

題

題型02由一元二次方程的概念求參數

考點三一元二次方程根與系數的關系

的值

題型01由根與系數的關系直接求代數

題型03一元二次方程的一般式

式的值

題型04由一元二次方程的解求參數的

題型由根與系數的關系和方程的解

值02

通過代換求代數式的值

題型05由一元二次方程的解求代數式

題型由根與系數的關系和方程的解

的值03

通過降次求代數式的值

題型06已知一元二次方程的一個根，求

題型由方程兩根滿足關系求字母或

另一個根04

代數式的值

考點二解一元二次方程

題型05不解方程由根與系數的關系判

題型01用直接開平方法解一元二次方

斷根的正負

程

題型06由方程兩根的不等關系確定字

題型02利用配方法解一元二次方程

母系數的取值范圍

題型03利用因式分解法解一元二次方

題型與根與系數有關的新定義問題

程07

題型08構造一元二次方程求代數式的

題型04利用公式法解一元二次方程

值

題型05利用換元法解一元二次方程

題型09根與系數的關系和根的判別式

題型06選用合適的方法解一元二次方

的綜合應用

程

考點四一元二次方程的應用

題型07錯看或錯解一元二次方程問題

題型01分裂（傳播）問題

題型08配方法的應用

題型02碰面（循環）問題

題型09判斷不含字母的一元二次方程

題里增長率問題

的根的情況03

題型04營銷問題

題型10判斷含字母的一元二次方程根

題型工程問題

的情況05

題型06行程問題

題型II由方程根的情況確定字母的值

題型與圖形有有關的問題

或取值范圍07

oo?

考點要求新課標要求命題預測

一元二次方程的相本考點內容以考直一元二

＞理解一元二次方程的相關概念.

關概念次方程的相關概念、解一元二次方

＞理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

程、根的判別式、韋達定理（根與

一元二次方程的解法解數字系數的一元二次方程；

系數的關系1一元二次方程的應

法＞會用一元二次方程根的判別式判別方程是否

用題為主，既有單獨考查，也有和

有實根及兩個實根是否相等；

二次函數結合考察最值問題，事

一元二次方程的根

＞了解一元二次方程的根與系數的關系.

考查，分值為15分左右.

與系數的關系

預計2024年各地中考還將

繼續考查上述的幾個題型，復習過

程中要多注意各基礎考點的鞏固，

一元二次方程的應＞能根據具體問題的實際意義檢驗方程解的合

用理性.特別是解法中公式法的公式，不要

和后續二次函數頂點坐標的縱坐

標公式記混了.

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脫欠01麗一元二次6行

ttt：只含有一個未如跟尸月天均販的aw次JBUS2的整五方程，嘰博一元二;欠方程.J

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考點-----元二次方程的相關概念

、夯基:必備基購識樵理_________

概念：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：CLX2+bx+c=0（a工0）,

的相關概念其中：。是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.

一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，就是這個一元二次方程的解.

囪目易錯

1.如果明確了a/+以+c=。是一元二次方程，就隱含了aWO這個條件（當爐0時，不含有二次項，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必須具備三個條件：

①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數；③所含未知數的最高次數是2.

3.在判斷一個方程是不是一元二次方程時,要先化成一般形式，再判斷.

4.二次項系數、一次項系數和常數項都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項的系數

Dr+rt7生物士彳

題型01識別一元二次方程

【例1】（2023?江西撫州?金溪一中校考模擬預測）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+[=3D.4x4-5=6x

【辭】A

【提示】根據一元二次方程的定義：含有一個未知數，并且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程叫

一元二次方程，進行判斷即可.

【詳解】解：A.是一元二次方程，故該選項符合題意；

B.含有兩個未知數，故不是一元二次方程，該選項不符合題意；

C.不是整式方程,故不是一元二次方程，該選項不符合題意；

D.未知數的最高次數是1,故是一元一次方程，該選項不符合題意.

故選：A.

【點撥】本題考查了一元二次方程的定義，解題時要注意：①是整式方程，②只含有一個未知數，③所含

未知數的項的最高次數是2.

【變式1-1]（2023?四川成都?一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2x-3=0

C.J2+2x+5=x（x-1）D.x2-1=0

【統】D

【提示】根據一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做石

二次方程，逐項提示判斷即可.

【詳解】解：A.x2+x-y=0,二個未知數，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

B.ax2+2%-3=0,當a=0時，是一元一次方程,故該選項不符合題意；

C.x2+2%+5=%(%-1)整理后得3x+5=0,不含二次項，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

D.x2-1=0,是一元二次方程，故該選項符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方

程叫一元二次方程”是解題的關鍵.

題型02由一元二次方程的概念求參數的值

[例2](2023南陽市一模)關于K的方程(m+1)%網+】-m%+6=0是一元二次方程，則，〃的值是()

A.-1B.3C.1D.I或一1

【馥】C

【提示】根據一元二次方程的定義，即可求解.

【詳解】解：..關于K的方程(m+1)“向+1-mx+6=0是一元二次方程，

.,.|m+1=2且m+1^0,

解得：m=1.

故選C.

【點撥】本題主要考直了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為2

式方程是一元二次方程是解題的關鍵.

【變式2-1](2022上?遼寧沈陽?九年級期中)方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是關于無的一元二次方

程，則m=.

【辱】-2

【提示】根據一元二次方程的定義知，77?_2=2,且m-2工0,據此可以求得m的值.

【詳解】解：?方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是關于x的一元二次方程，

2

Am—2=2,且m—2H0,

解得m=-2;

故答案是：-2.

【點撥】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程必須滿足四個條件：(1)未知數的最高次數是2；

(2)二次項系數不為0；(3)是整式方程；(4)含有一個未知數，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵.

題型03一元二次方程的一般式

［例3］(2022上河南鄭州?九年級鄭州外國語中學校考期中)將一元二次方程3/=5工-1寫成一般形式，

下列等式正確的是()

A.3x2—5x-1=0B.3x2+5x-1=0

C.3.r2—5r+1=0D.3x2+5.r+1=0

【箭】C

【提示】把等號右邊的式子移到等號左邊即可解題.

【郵】解：3%2=5%-1

移項得：

故選C.

【點撥】本題考查一元二次方程的T殳形式，解題的關鍵是掌握移項變號的基本步驟.

【變式3-1X2023?廣東東莞?東莞市東華初級中學校考模擬預測［各方程4/+8x=25化成Q/+以+c=0

的形式，則a,b,c的值分別為()

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.I,2,25

普】C

【提示】將4/+8x=25移項化為一元二次方程的一般式即可求解.

【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4/+8%-25=0,

.,.a=4,h=8,c=-25,

故選：C.

【點撥】本題考杳一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問題的關鍵.

【變式3-2].（2021上?山西晉中九年級階段練習）若一元二次方程的二次項系數為1,常數項為0,它的一

個根為2,則該方程為.

【答案】x2-2x=0/-2<+^=0

【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程.

【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：.r-2r=0.

故答案為：f-2r=0.

【點撥】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式3?312023集賢縣.九年級期中已知關于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=0的常數項是0,

則a的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.1

【分】B

【提示】根據一元二次方程的定義和題意列出〃滿足的條件求解即可.

【詳解】解：由題意，卜2一：：5,

解得：a=-1,

故選：B.

【點撥】本題考有一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關鍵.

題型04由一元二次方程的解求參數的值

【例4】（2022?廣東?中考真題）若x=1是方程/-2x+a=（）的根，則a=.

【辱】1

【提示】本題根據一元二次方程的根的定義，把尸1代入方程得到〃的值.

【洋解】把1代入方程/-2x+a-0,得l-2+^-O,

解得片1,

故答案為：1.

【點撥】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解,

就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值.

【變式4-1］（2021.湖南長沙.中考真題）若關于%的方程--依-12=。的一個根為3,則k的值為一

【辱】-1

【提示】將工=3代入方程可得一個關于左的一元一次方程，解方程即可得.

【詳解】解：由題意，將x=3代入方程/-k4-12=0得：3?-3k-12=0,

解彳歌=-1,

故答案為：-1.

【點撥】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵.

方法技

利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數的值，同時還要注意限制參數取

酒的亙他哈今爾住

題型05由一元二次方程的解求代數式的值

［例5］（2023?甘肅隴南?一模）關于%的一元二次方程2%。-2+巾=4的解為x=1,則a+m的值為（）

A.9B.8C.6D.4

【修】C

【提示】根據一元二次方程的概念可求出a的值，根據解為％=1可求出m的值，由此即可求解.

【詳解】解：關于x的一元二次方程2--2+巾=4,

.-a-2=2,解得，a=4,

.?一元二次方程2/4-771=4,

,?解為X=1,

.'.2xI2+m=4,解得，m=2,

.'.a+m=4+2=6,

故選：C.

【點撥】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數式求值

的方法是解題的關鍵.

【變式5-1]（2023.北京海淀?校考模擬預測）如果x=-1是方程/+?nx+n=0的一個根，那么〃?、〃的大

小關系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不確定的

【統】A

【分析】把方程的解代入方程，得到，〃，〃的關系式，判斷〃的大小.

【詳解】解：把％=—1代入方程有：1一機十九=0

.'.m-n=1>0

：.m>n.

故選：A.

【點撥】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到，〃的關系式，是解題的關鍵.

【變式5-2X2023渭南市月考期關于x的方程Q/+bx-l=0的一個解為％=1則2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=l,再求代數式的值.

【詳解】解：把x=1代入方程a/+以-1=o得。-1=0,

即a+b=1,

所虛023-a-b=2023-（a+fo）=2023-1=2022.

故答案為：2022.

【點撥】本題考有了一元二次方程的解和求代數式的值，“知解必代”是解題的關鍵.

【變式5-3]（2023?廣東佛山?校考一模）已知a是方程27-5%-7=。的一個根，則代數式4a2T0Q的值

是—?

【統】14

【分析】根據方程的根的定義，把x=a代入方程求出2a2-5Q-7=。即可解答；

【詳解】解：??算是方程2/-5*-7=0的一個根，

.,.2a2-5a-7=0,

整理得，2Q2-5a=7,

/.4a2-10a=2(2a2-5a)=14,

故答案是：14.

【點撥】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解題的關鍵.

題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根

［例6］（2022?廣西貴港中考真題）若％=-2是一元二次方程嚴+2x+m=0的一個根，則方程的另一個

根及，〃的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【翳】B

【提示】直接把％=-2代入方程，可求出機的值，再解方程，即可求出另一個根.

【詳解】解：根據題意，

-X=一2是一元二次方程避+2r+=0的一個根,

把％=一2代入/+2x+m=0,貝！J

（-2）2+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

.,.x2+2x=0,

+2）=0,

；.Xi=-2,x=0,

方程的另一個根是x=0；

故選：B

【點撥】本題考直了解一元二次方程，方程的解，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的步驟進行計算.

【變式6-1］（2023寧德市一模）關于.1的一元二次方程“2-2依-5=0的一個根是I,則這個方程的另一

個根是—.

【分】-5

【提示】根據方程的一個根1代入方程求出A得到一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：..?關于x的一元二次方程--2依-5=0的一個根是1,

.-.I-2k-5=0,

'-k=-2,

：.x2+4x-5=0,

解得Xi=1,皿=-5,

???方程的另一個根是-5.

故答案為：-5.

【點撥】本題主要考直了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關鍵.

【變式6-2](2023遵義市第十一中三模)若關于%的一元二次方程/-依-2=0的一個根為x=1,則這

個一元二次方程的另一個根為.

【會】-2

【提示】由題目已知尸1是方程的根，代入方程后求出&的值，再利用一元二欠方程的求根方法即可答題.

【詳解】解：將X=1代入一元二次方程/-kx-2=0有：1-k-2=0,右-1,

方程M+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

即方程的另一個根為戶-2

故本題的答案為-2.

【點撥】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用已知根代入方程求出未知系數是解題的關鍵.

考點二解一元二次方程

，夯基1必備基砒曬蝌_________

基本思路通過''降次"，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程,得

到的兩個解就是原方程的解.

特征步驟

直接形如aj?=b1）方程兩邊同時除以〃，得

a

（wo）的一元2）兩邊分別開方得xl=島,x2=-JI

開平

二次方程

方法

1）移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；

解2）二次項系數化為1：方程兩邊都除以二次項系數：

可配成3）配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為

（mx+a）12=3b

元配月（nix+a^=b（b>0）的形式：

形式的

解法4）求解：判斷右邊等式符號，天平方并求解.

次一元二次方程

法

【注意】：①當b<0時，方程無解

方

程②當厄0時，方程的根是廣上四

m

的

方可化成I）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0;

法因式

(av+0)(cx+d)=O2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；

分解形式的

3）3母|因武刀刀!J為令/彳可土11網1Jb/人萬本土/

法一元二次方程

4）求解.

口訣：右化零，左分