數(shù)學(xué)建模真題分析預(yù)備知識(shí)回歸分析與多項(xiàng)式擬合線性規(guī)劃數(shù)據(jù)包絡(luò)模型（DEA）

2006年B題三個(gè)問題的解答第2頁,共134頁，星期六，2024年，5月一、預(yù)備知識(shí)——回歸分析回歸模型是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型

數(shù)學(xué)建模的基本方法通過對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識(shí)程度的限制,無法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。第3頁,共134頁，星期六，2024年，5月

回歸分析起源于生物學(xué)研究，是由英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾登（FrancisGalton1822-1911）在19世紀(jì)末葉研究遺傳學(xué)特性時(shí)首先提出來的。高爾登在1889年發(fā)表的著作《自然的遺傳》中，提出了回歸分析方法以后，很快就應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中來，而且這一名詞也一直為生物學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)所沿用。

第4頁,共134頁，星期六，2024年，5月

為了研究鋼材消費(fèi)量與國(guó)民收入之間的關(guān)系，在統(tǒng)計(jì)年鑒上查得一組歷史數(shù)據(jù)。引例：鋼材消費(fèi)量與國(guó)民收入的關(guān)系

年份196419651966……197819791980消費(fèi)(噸)698872988……144627362825收入(億)109712841502……294831553372

試分析預(yù)測(cè)若1981年到1985年我國(guó)國(guó)民收入以4.5%的速度遞增，鋼材消費(fèi)量將達(dá)到什么樣的水平？

第5頁,共134頁，星期六，2024年，5月鋼材消費(fèi)量--------試驗(yàn)指標(biāo)(因變量)Y；國(guó)民收入-----------自變量x；建立數(shù)據(jù)擬合函數(shù)y=f(x)；作擬合曲線圖形分析。

問題分析：第6頁,共134頁，星期六，2024年，5月

鋼材消費(fèi)量y與國(guó)民收入x的散點(diǎn)圖y=a+bx第7頁,共134頁，星期六，2024年，5月假設(shè)：（y=f(x)）1）Y是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，即Y服從正態(tài)分布，并且有方差D(Y)=σ2。回歸分析是研究變量間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析。特點(diǎn)：試驗(yàn)指標(biāo)（因變量）是隨機(jī)變量。2）根據(jù)觀測(cè)值作的散點(diǎn)圖，觀察出函數(shù)f(x)

是線性形式還是非線性形式。

第8頁,共134頁，星期六，2024年，5月回歸模型及回歸分析一元線性回歸模型或需要解決的問題：

1）在回歸模型中如何估計(jì)參數(shù)a、b和σ2？2）模型的假設(shè)是否正確？需要檢驗(yàn)。第9頁,共134頁，星期六，2024年，5月

設(shè)觀測(cè)值為(xi,yi)（i=1,2,…,n),代入模型中，yi=a+bxi+εi解出的參數(shù)記為則回歸方程：最小二乘法:第10頁,共134頁，星期六，2024年，5月回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)第11頁,共134頁，星期六，2024年，5月其中

第12頁,共134頁，星期六，2024年，5月第13頁,共134頁，星期六，2024年，5月第14頁,共134頁，星期六，2024年，5月稱Qe為殘差平方和或剩余平方和.可以證明：第15頁,共134頁，星期六，2024年，5月回歸方程的顯著性檢驗(yàn)第16頁,共134頁，星期六，2024年，5月第17頁,共134頁，星期六，2024年，5月第18頁,共134頁，星期六，2024年，5月回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)提出問題：1、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)|r|≤1|r|→1，線性相關(guān)|r|→0，非線性相關(guān)模型：Y

=a+bx

+ε（）-11||·0rα(n-2)-rα(n-2)H0的拒絕域?yàn)椋?/p>

2)(|?->nr|ra可以用三種不同方法進(jìn)行檢驗(yàn)，它們的本質(zhì)是相同的．第19頁,共134頁，星期六，2024年，5月2、F-檢驗(yàn)法平方和分解公式：記為實(shí)測(cè)值估計(jì)值殘差值，剩余平方和,越小越好認(rèn)為線性回歸效果好a2),1()2,1(~)2/(->--=nFFnFnQUF拒絕域第20頁,共134頁，星期六，2024年，5月預(yù)測(cè)——區(qū)間估計(jì)給定的自變量x0，給出y0的點(diǎn)估計(jì)量:

y0的置信度為(1

)的預(yù)測(cè)區(qū)間為：

第21頁,共134頁，星期六，2024年，5月小結(jié)：或

模型1、估計(jì)參數(shù)a，b，σ2；2、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼_與否；（即b→0）3、預(yù)測(cè)；

已知數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),如何利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)以上的統(tǒng)計(jì)計(jì)算？第22頁,共134頁，星期六，2024年，5月MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)使用命令regress實(shí)現(xiàn)一元線性回歸模型的計(jì)算b=regress(Y,X)或

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)a，b以及它們的置信區(qū)間殘差向量e=Y-Y及它們的置信區(qū)間相關(guān)系數(shù)R2，F(xiàn)-統(tǒng)計(jì)量和與之對(duì)應(yīng)的概率p。由R2判定x與y是否線性相關(guān)，p小于alpha，說明回歸效果顯著殘差及其置信區(qū)間可以用rcoplot(r,rint)畫圖。默認(rèn)值是0.05y

=a+bx

+ε第23頁,共134頁，星期六，2024年，5月引例求解輸入：x=[10971284150213941303155519172051211122862311200324352625294831553372];y=[698872988807738102513161539156117651762196019022013244627362825];X=[ones(size(x')),x'][c,cint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05)rcoplot(r,rint)第24頁,共134頁，星期六，2024年，5月輸出：c=-460.5282(參數(shù)a)0.9840(參數(shù)b)cint=-691.8478-229.2085(a的置信區(qū)間)0.87791.0900(b的置信區(qū)間)r=[79.124869.1244-29.3788-104.1112-83.5709-44.5286-109.7219-18.5724-55.6100-23.8029-51.4019449.6576-33.4128-109.36515.816092.1364-32.3827]’(殘差向量)rint=（略）（參見殘差分析圖）stats=0.9631(R2)391.2713(F)0.0000(P)p遠(yuǎn)小于

=0.05

，模型從整體上看成立第25頁,共134頁，星期六，2024年，5月第12個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)異常，可刪除第26頁,共134頁，星期六，2024年，5月預(yù)測(cè)x1(1)=3372;y1(1)=2825;%80年收入和鋼材消費(fèi)fori=1:5x1(i+1)=1.045*x1(i);%未來五年國(guó)民收入以4.5%的速度遞增

y1(i+1)=-460.5282+0.9840*x1(i+1);%鋼材的預(yù)測(cè)值endx1,y1結(jié)果x1=3372.03523.73682.33848.04021.24202.1y1=28253006.83162.93325.93496.33674.4第27頁,共134頁，星期六，2024年，5月多元回歸或者非線性，也可以是用regress函數(shù)

第28頁,共134頁，星期六，2024年，5月多元線性回歸

b=regress(Y,X)1)確定回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值：對(duì)一元線性回歸，取p=1即可.第29頁,共134頁，星期六，2024年，5月3、畫出殘差及其置信區(qū)間：

rcoplot（r，rint）2)求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)、并檢驗(yàn)回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)殘差用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對(duì)應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）第30頁,共134頁，星期六，2024年，5月牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量收集了30個(gè)銷售周期本公司牙膏銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價(jià)9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029

8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其它廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期第31頁,共134頁，星期六，2024年，5月基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價(jià)格差x2~公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1,x2~自變量

y~因變量

0,1

,2,3~回歸系數(shù)

~隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）第32頁,共134頁，星期六，2024年，5月MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n

4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~

的估計(jì)值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量

rint~r的置信區(qū)間y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)

Stats~檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

R2,F,p

第33頁,共134頁，星期六，2024年，5月結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值p遠(yuǎn)小于

=0.05模型從整體上看成立第34頁,共134頁，星期六，2024年，5月多項(xiàng)式回歸（1）一元多項(xiàng)式回歸

1）確定多項(xiàng)式系數(shù)的命令：[p,S]=polyfit（x，y，m）2）一元多項(xiàng)式回歸命令：polytool（x，y，m）A、回歸：y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1

此命令產(chǎn)生一個(gè)交互式的畫面，畫面中有擬合曲線和y的置信區(qū)間。通過左下方的Export菜單，可以輸出回歸系數(shù)等。回歸問題擴(kuò)充：第35頁,共134頁，星期六，2024年，5月B、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項(xiàng)式在x處的預(yù)測(cè)值Y；（2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回歸多項(xiàng)式在x處的預(yù)測(cè)值Y及預(yù)測(cè)值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA；alpha缺省時(shí)為0.05.一元多項(xiàng)式回歸也可以化為多元線性回歸來解。第36頁,共134頁，星期六，2024年，5月法一直接作二次多項(xiàng)式回歸：

t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];

[p,S]=polyfit(t,s,2)得回歸模型為：第37頁,共134頁，星期六，2024年，5月法二化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];T=[ones(14,1)t'(t.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T);b,stats得回歸模型為：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')預(yù)測(cè)及作圖第38頁,共134頁，星期六，2024年，5月多元二項(xiàng)式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）n維列向量第39頁,共134頁，星期六，2024年，5月

命令rstool產(chǎn)生一個(gè)交互式畫面，畫面中有m個(gè)圖形，這m個(gè)圖形分別給出了一個(gè)獨(dú)立變量xi（另m-1個(gè)變量取固定值）與y的擬合曲線，以及y的置信區(qū)間。可以通過鍵入不同的xi值來獲得相應(yīng)的y值。第40頁,共134頁，星期六，2024年，5月例

設(shè)某商品的需求量與消費(fèi)者的平均收入、商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下，建立回歸模型，預(yù)測(cè)平均收入為800、價(jià)格為6時(shí)的商品需求量.解直接用多元二項(xiàng)式回歸：x1=[10006001200500300400130011001300300];x2=[5766875439];y=[10075807050659010011060]';x=[x1'x2'];rstool(x,y,'purequadratic')第41頁,共134頁，星期六，2024年，5月在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”,則beta（回歸系數(shù)）、rmse（剩余標(biāo)準(zhǔn)差）和residuals（殘差）都傳送到Matlab工作區(qū)中.在左邊圖形下方的方框中輸入800，右邊圖形下方的方框中輸入6。則畫面左邊的“PredictedY”下方的數(shù)據(jù)變?yōu)?6.3971，即預(yù)測(cè)出平均收入為800、價(jià)格為6時(shí)的商品需求量為86.3971.第42頁,共134頁，星期六，2024年，5月在Matlab工作區(qū)中輸入命令：beta,rmse第43頁,共134頁，星期六，2024年，5月非線性回歸（1）確定回歸系數(shù)的命令：

[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’,beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）回歸：殘差Jacobian矩陣，用于估計(jì)預(yù)測(cè)誤差需要的數(shù)據(jù)。回歸系數(shù)的初值是事先用m-文件定義的非線性函數(shù)估計(jì)出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)x、y分別為矩陣和n維列向量，對(duì)一元非線性回歸，x為n維列向量。其中個(gè)參數(shù)含義同前，alpha為顯著性水平，缺省時(shí)為0.05。該命令產(chǎn)生一個(gè)交互式的畫面，畫面中有擬合曲線和y的置信區(qū)間。通過左下方的Export菜單，可以輸出回歸系數(shù)等。第44頁,共134頁，星期六，2024年，5月、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：該命令用于求nlinfit或nlintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測(cè)值Y及預(yù)測(cè)值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA.[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）第45頁,共134頁，星期六，2024年，5月例4出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對(duì)耐火材料的侵蝕，容積不斷增大.我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān)系.對(duì)一鋼包作試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)列于下表：解答第46頁,共134頁，星期六，2024年，5月求解如下：2、輸入數(shù)據(jù)：

x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3、求回歸系數(shù)：

[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；

beta得結(jié)果：beta=11.6036-1.0641即得回歸模型為：第47頁,共134頁，星期六，2024年，5月4、預(yù)測(cè)及作圖：

[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；

plot(x,y,'k+',x,YY,'r')第48頁,共134頁，星期六，2024年，5月逐步回歸逐步回歸的命令是：

stepwise（x，y，inmodel，alpha）運(yùn)行stepwise命令時(shí)產(chǎn)生三個(gè)圖形窗口：StepwisePlot，StepwiseTable，StepwiseHistory.在StepwisePlot窗口，顯示出各項(xiàng)的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間.

StepwiseTable窗口中列出了一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計(jì)量剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對(duì)應(yīng)的概率P.矩陣的列數(shù)的指標(biāo)，給出初始模型中包括的子集（缺省時(shí)設(shè)定為全部自變量）顯著性水平（缺省時(shí)為0.０5）自變量數(shù)據(jù),

階矩陣因變量數(shù)據(jù)，階矩陣第49頁,共134頁，星期六，2024年，5月例6

水泥凝固時(shí)放出的熱量y與水泥中4種化學(xué)成分x1、x2、x3、x4

有關(guān)，今測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個(gè)線性模型.1、數(shù)據(jù)輸入：x1=[7111117113122111110]';x2=[26295631525571315447406668]';x3=[615886917221842398]';x4=[6052204733226442226341212]';y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]';x=[x1x2x3x4];第50頁,共134頁，星期六，2024年，5月2、逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：

stepwise(x,y)得圖StepwisePlot和表StepwiseTable圖StepwisePlot中四條直線都是虛線，說明模型的顯著性不好StepwiseTable中列出了各變量的回歸系數(shù)和置信區(qū)間，從該表中看出變量x3和x4的顯著性最差.第51頁,共134頁，星期六，2024年，5月（2）在圖StepwisePlot中點(diǎn)擊直線3和直線4，移去變量x3和x4移去變量x3和x4后模型具有顯著性.

雖然剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE）沒有太大的變化，但是統(tǒng)計(jì)量F的值明顯增大，因此新的回歸模型更好.ToMATLAB(liti51）第52頁,共134頁，星期六，2024年，5月（3）對(duì)變量y和x1、x2作線性回歸：

X=[ones(13,1)x1x2];b=regress(y,X)得結(jié)果：b=52.57731.46830.6623故最終模型為：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2第53頁,共134頁，星期六，2024年，5月

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常需要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā)，求函數(shù)y=f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=y(x)（通常稱為經(jīng)驗(yàn)公式）。從幾何上看，就是通過給定m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，求曲線y=f(x)的一條近似曲線y=y(x)使這條曲線盡可能與所給的m個(gè)點(diǎn)相吻合。二、預(yù)備知識(shí)——曲線的多項(xiàng)式擬合第54頁,共134頁，星期六，2024年，5月例1考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的記錄:最小二乘法的提法第55頁,共134頁，星期六，2024年，5月要求出拉伸強(qiáng)度和倍數(shù)的關(guān)系，插值法雖然在一定程度上，可以根據(jù)函數(shù)表求函數(shù)的近似表達(dá)式。但用來解決這里提出的問題存在明顯缺陷：

1.實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)帶有誤差，使用插值法會(huì)保留這些誤差，從而失去原數(shù)據(jù)表示的規(guī)律。

2.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往很多，用插值法得到的近似表達(dá)式明顯缺乏使用價(jià)值。為了獲得便于應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)公式，不用插值標(biāo)準(zhǔn)可能更合適，最小二乘法是解決這類問題的一種較好方法。第56頁,共134頁，星期六，2024年，5月并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近---------(1)第57頁,共134頁，星期六，2024年，5月必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差第58頁,共134頁，星期六，2024年，5月在回歸分析中稱為殘差平方和從而確定(1)中的待定系數(shù)殘差的大小可以衡量近似函數(shù)的好壞。求出使殘差的平方和最小的方法稱為曲線擬合的最小二乘法或最佳平方逼近。第59頁,共134頁，星期六，2024年，5月用最小二乘法求近似函數(shù)（經(jīng)驗(yàn)公式）的基本步驟如下：(1)確定近似函數(shù)類,即確定近似函數(shù)的形式。這并非單純的數(shù)學(xué)問題,與其它各領(lǐng)域的專門知識(shí)有關(guān).數(shù)學(xué)上,通常根據(jù)在坐標(biāo)紙上所描點(diǎn)的情況來選擇的形式(2)最小二乘解。即求使殘差的平方和最小的近似函數(shù)第60頁,共134頁，星期六，2024年，5月求系數(shù),使最小二乘法的求法多項(xiàng)式擬合

設(shè)已知點(diǎn)求m次多項(xiàng)式來擬合函數(shù)達(dá)到最小。第61頁,共134頁，星期六，2024年，5月于是得線性方程組即當(dāng)擬合函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形是平面曲線。這時(shí)，數(shù)據(jù)擬合問題的幾何背景是尋求一條近似逼近給定離散點(diǎn)的曲線，故稱為曲線擬合問題。由于函數(shù)達(dá)到最小,由高等數(shù)學(xué)知識(shí)有第62頁,共134頁，星期六，2024年，5月第63頁,共134頁，星期六，2024年，5月---------(3.1)方程組(3.1)稱為法方程組.可以證明,該方程組有唯一解并且相應(yīng)的函數(shù)就是滿足（3.1）的最小二乘解。第64頁,共134頁，星期六，2024年，5月1.多項(xiàng)式擬合已知一些離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)x=[x0,x1,…,xm],和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=[y0,y1,…,ym]，用n次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)p=polyfit(x,y,n)%Fitpolynomialtodata.%擬合的n次多項(xiàng)式為p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0p返回的是一個(gè)向量p=[an,an-1,…,a1,a0]用Matlab作最小二乘擬合第65頁,共134頁，星期六，2024年，5月例：已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲線首先畫圖觀察x=[12345];y=[44.5688.5];plot(x,y,'r*')點(diǎn)的形狀比較接近一條直線，所以用一次多項(xiàng)式擬合xi12345yi44.5688.5第66頁,共134頁，星期六，2024年，5月第67頁,共134頁，星期六，2024年，5月p=polyfit(x,y,1)p=1.25002.4500%下面畫擬合曲線的圖，首先取點(diǎn)xn=1:0.001:5;yn=polyval(p,xn);%Evaluatepolynomial.%若p=[an,an-1,…,a1,a0]，%則此命令求多項(xiàng)式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在xn各分量處的函數(shù)值plot(xn,yn,'b',x,y,'r*')第68頁,共134頁，星期六，2024年，5月第69頁,共134頁，星期六，2024年，5月

三、線性規(guī)劃分配問題

對(duì)有限的資源、人員、設(shè)備、時(shí)間等因素構(gòu)成的系統(tǒng)，為了最有效地實(shí)現(xiàn)某種目標(biāo)或任務(wù)，如何統(tǒng)籌規(guī)劃，以最優(yōu)的方式對(duì)有關(guān)因素加以安排或分配，使得耗費(fèi)最小，效益最大而風(fēng)險(xiǎn)最小。

相關(guān)的運(yùn)籌學(xué)分支包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃，統(tǒng)稱規(guī)劃論。

第70頁,共134頁，星期六，2024年，5月下面舉例說明某工廠用三種原料生產(chǎn)三種產(chǎn)品，已知的條件如下表所示，

試制訂使總利潤(rùn)最大的每日的生產(chǎn)計(jì)劃單位產(chǎn)品所需原料數(shù)量（公斤）產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3原料可用量（公斤/日）原料P12301500原料P2024800原料P33252000單位產(chǎn)品的利潤(rùn)（千元）354生產(chǎn)計(jì)劃問題第71頁,共134頁，星期六，2024年，5月問題分析第72頁,共134頁，星期六，2024年，5月列出模型目標(biāo)函數(shù)subjectto的縮寫約束條件x1,x2,x3稱為決策變量第73頁,共134頁，星期六，2024年，5月規(guī)劃的三要素決策變量目標(biāo)函數(shù)（根據(jù)要求，可以是極大化問題或者是極小化問題，可以只有一個(gè)目標(biāo)，也可以有多個(gè)目標(biāo)）約束條件（有的規(guī)劃問題沒有約束，稱為無約束問題）第74頁,共134頁，星期六，2024年，5月相關(guān)概念可行解：滿足約束條件的解稱為可行解可行域：所有可行解的集合稱為可行域，通常記為D最優(yōu)解：一個(gè)可行解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值時(shí)(極大化問題達(dá)到極大值，極小化問題達(dá)到極小值)，則稱為最優(yōu)解。（可能不唯一）最優(yōu)值：最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。（唯一）規(guī)劃問題就是在一組約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的極值問題。第75頁,共134頁，星期六，2024年，5月線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是線性的規(guī)劃舉例：線性規(guī)劃的求解方法是比較成熟的，目前應(yīng)用的比較廣泛的是單純形方法，并且隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，可以實(shí)現(xiàn)上機(jī)求解，我們將學(xué)習(xí)利用matlab軟件求解線性規(guī)劃第76頁,共134頁，星期六，2024年，5月用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].第77頁,共134頁，星期六，2024年，5月3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.第78頁,共134頁，星期六，2024年，5月解編寫M文件xxgh1.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

第79頁,共134頁，星期六，2024年，5月第80頁,共134頁，星期六，2024年，5月運(yùn)行結(jié)果第81頁,共134頁，星期六，2024年，5月解:編寫M文件xxgh2.m如下：

c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)第82頁,共134頁，星期六，2024年，5月第83頁,共134頁，星期六，2024年，5月第84頁,共134頁，星期六，2024年，5月例汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對(duì)鋼材、勞動(dòng)時(shí)間的需求，利潤(rùn)及工廠每月的現(xiàn)有量。

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材（噸）1.535600勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)）28025040060000利潤(rùn)（萬元）234

制訂月生產(chǎn)計(jì)劃，使工廠的利潤(rùn)最大。第85頁,共134頁，星期六，2024年，5月設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1,x2,x3汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃模型建立

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材1.535600時(shí)間28025040060000利潤(rùn)234線性規(guī)劃模型(LP)第86頁,共134頁，星期六，2024年，5月在commandwindow輸入以下命令，每行以回車結(jié)束c=[-2-3-4];A=[1.535;280250400];b=[60060000];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;0];VUB=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)MATLAB求解：先化為求解的標(biāo)準(zhǔn)形式第87頁,共134頁，星期六，2024年，5月第88頁,共134頁，星期六，2024年，5月x=(64.5161,167.7419,0.0000)T,結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？X取值是否滿足約束目標(biāo)函數(shù)值Z(64,167,0)T滿足629(64,168,0)T滿足632(65,167,0)T滿足631(65,168,0)T不滿足——最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=632第89頁,共134頁，星期六，2024年，5月評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個(gè)被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentanalysis,簡(jiǎn)稱DEA模型）的方法，用于評(píng)價(jià)相同部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個(gè)模型被命名為C2R模型.從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,這一模型是用來研究具有多個(gè)輸入,特別是具有多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門”同時(shí)為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個(gè)模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性”.第90頁,共134頁，星期六，2024年，5月1987年查恩斯,庫伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì).數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域.查恩斯和庫伯等人的第一個(gè)應(yīng)用DEA的十分成功的案例,就是評(píng)價(jià)為弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的效果.在評(píng)估中,輸出包括“自尊”等無形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無論哪種指標(biāo)都有無法與市場(chǎng)價(jià)格相比較,也難以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)),這也是DEA的優(yōu)點(diǎn)之一.

DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行第91頁,共134頁，星期六，2024年，5月等方面.目前,這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用來研究多種方案之間的相對(duì)有效性(例如投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià));研究在決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何(例如建立新廠后,新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對(duì)其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評(píng)價(jià)，即對(duì)各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動(dòng)力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益）作一個(gè)相對(duì)有效性評(píng)價(jià)。為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子第92頁,共134頁，星期六，2024年，5月

例1：某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評(píng)價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（萬元）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268

由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。

第93頁,共134頁，星期六，2024年，5月對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比即類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：第94頁,共134頁，星期六，2024年，5月我們限定所有的hj值不超過1，即，這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。即因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。max第95頁,共134頁，星期六，2024年，5月設(shè)則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃其對(duì)偶問題為max第96頁,共134頁，星期六，2024年，5月設(shè)vi為第i個(gè)指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個(gè)產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個(gè)企業(yè)投入的綜合值為，產(chǎn)出的綜合值為其生產(chǎn)效率定義為:于是問題實(shí)際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個(gè)企業(yè)的效率值hj最大。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。

我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj≤1。這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對(duì)而言有效的；若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。第97頁,共134頁，星期六，2024年，5月根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個(gè)企業(yè)（如第3個(gè)企業(yè)即丙企業(yè)）的相對(duì)生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：

1、評(píng)價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對(duì)于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對(duì)“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。

這n個(gè)企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：

第98頁,共134頁，星期六，2024年，5月……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m輸入nj…21部門指標(biāo)權(quán)數(shù)每個(gè)決策單元的效率評(píng)價(jià)指數(shù)定義為：

j=1,2,…,n第99頁,共134頁，星期六，2024年，5月而第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為：上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評(píng)價(jià)第j0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p（1）第100頁,共134頁，星期六，2024年，5月這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令

則模型（1）轉(zhuǎn)化為：（2）第101頁,共134頁，星期六，2024年，5月（2）寫成向量形式有:第102頁,共134頁，星期六，2024年，5月其對(duì)偶問題為：（3）寫成向量形式有：s.t.無約束（4）

minθ第103頁,共134頁，星期六，2024年，5月設(shè)問題（4）的最優(yōu)解為λ*，s*-,s*+,θ*，則有如下結(jié)論：（1）若θ*=1，則DMUj0為弱DEA有效（總體）。（2）若θ*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效（總體）（3）令0=θ*x0-s*-,0=y0+s*+,則<0,0>為<x0,y0>在有效前沿面上的投影，相對(duì)于原來的n個(gè)DMU是有效（總體）的。

（4）若存在λj*(j=1,2,…,m),使=1成立，則DMUj0為規(guī)模效益不變；若不存在λj*(j=1,2,…,m)，使=1成立，則<1DMUj0為規(guī)模效益遞增；若不存在λj*(j=1,2,…,m)，使=1成立，則>1

DMUj0為規(guī)模效益遞減。

第104頁,共134頁，星期六，2024年，5月有效解的解釋：F(X)={f1(X),f2(X),…,fn(X)}如對(duì)于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對(duì)最優(yōu)解：若對(duì)于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)第105頁,共134頁，星期六，2024年，5月第106頁,共134頁，星期六，2024年，5月DEA實(shí)施用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型比較決策單元間的相對(duì)效率，對(duì)決策單元做出評(píng)價(jià)的方法。決策單元用DMU表示。假設(shè)有n個(gè)決策單元：第j個(gè)決策單元DMUj,j=1,2,…,n每個(gè)決策單元都有相同種類的輸入和輸出假設(shè)有m種輸入，s種輸出，則對(duì)于DMUj輸入：Xj=[x1j,x2j,…,xmj]T輸出：Yj=[y1j,y2j,…,ysj]T第107頁,共134頁，星期六，2024年，5月x1j

x2j..xmjDMUjy1j

y2j..ysj輸入輸出第j個(gè)決策單元當(dāng)然希望輸入（投入）少，輸出（產(chǎn)出）多所以對(duì)每個(gè)DMUj的輸入輸出數(shù)據(jù)綜合分析，定義綜合效率的數(shù)量指標(biāo)，據(jù)此對(duì)各DMUj定級(jí)排序，確定有效的（相對(duì)效率最高的）DMUj第108頁,共134頁，星期六，2024年，5月DEA的基本模型——CCR模型1.已知：對(duì)于DMUj輸入：Xj=[x1j,x2j,…,xmj]T輸出：Yj=[y1j,y2j,…,ysj]T2.評(píng)價(jià)DMUj方法為了表述方便我們把下標(biāo)簡(jiǎn)化，例如對(duì)第j0個(gè)決策單元進(jìn)行評(píng)價(jià)（1≤j0≤n）,對(duì)應(yīng)DMUj0，Xj0，Yj0記為DMU0，X0，Y0第109頁,共134頁，星期六，2024年，5月

應(yīng)用定理對(duì)DMU的DEA有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)（詳細(xì)見參考文獻(xiàn)：《管理科學(xué)基礎(chǔ)》，天津大學(xué)出版社，229-238）。這里我們省略一些步驟，不涉及方法原理，只說明求解過程。第110頁,共134頁，星期六，2024年，5月第111頁,共134頁，星期六，2024年，5月定理：設(shè)D1ε最優(yōu)解為λ0,θ0,S10,S20,有

1.若θ0=1，則DMUj0為弱DEA有效

2.若θ0=1,且S10=0,S20=0，則DMUj0為DEA有效第112頁,共134頁，星期六，2024年，5月DEA有效第113頁,共134頁，星期六，2024年，5月例：下面有四個(gè)DMU，各決策單元的輸入輸出見下表試評(píng)價(jià)各決策單元的DEA有效性解：已知：DMUj，j=1,2,3,4X1=[2,3]T,Y1=[1,1.2]TX2=[3,1]T,Y2=[3,1]TX3=[4,5.2]T,Y3=[2.5,2.8]TX4=[3.5,3.5]T,Y4=[4.3,2.7]T

決策單元評(píng)價(jià)指標(biāo)DMU1DMU2DMU3DMU4輸入12343.5輸入2315.23.5輸出1122.54.3輸出21.23.22.82.7第114頁,共134頁，星期六，2024年，5月設(shè)Z=[λ1,λ2,

λ3,

λ4,θ,S11,S12,S21,S22]T，對(duì)于DMU1第115頁,共134頁，星期六，2024年，5月求解的matlab命令：c=[0,0,0,0,1,-1e-6,-1e-6,-1e-6,-1e-6];A=[-1,0,0,0,0,0,0,0,00,-1,0,0,0,0,0,0,00,0,-1,0,0,0,0,0,00,0,0,-1,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,-1,0,0,00,0,0,0,0,0,-1,0,00,0,0,0,0,0,0,-1,00,0,0,0,0,0,0,0,-1];b=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];Aeq=[2,3,4,3.5,-2,1,0,0,03,1,5.2,3.5,-3,0,1,0,01,2,2.5,4.3,0,0,0,-1,01.2,3.2,2.8,2.7,0,0,0,0,-1];beq=[0,0,1,1.2];[z,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq)第116頁,共134頁，星期六，2024年，5月第117頁,共134頁，星期六，2024年，5月z=

0.00000.29430.00000.09570.60890.00001.19740.00000.0000[λ1,λ2,

λ3,

λ4,θ,S11,S12,S21,S22]T=

0.00000.29430.00000.09570.60890.00001.19740.00000.0000由定理DMU1非DEA有效第118頁,共134頁，星期六，2024年，5月對(duì)于DMU2求解的matlab命令：c=[0,0,0,0,1,-1e-6,-1e-6,-1e-6,-1e-6];A=[-1,0,0,0,0,0,0,0,00,-1,0,0,0,0,0,0,00,0,-1,0,0,0,0,0,00,0,0,-1,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,-1,0,0,00,0,0,0,0,0,-1,0,00,0,0,0,0,0,0,-1,00,0,0,0,0,0,0,0,-1];b=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];Aeq=[2,3,4,3.5,-3,1,0,0,03,1,5.2,3.5,-1,0,1,0,01,2,2.5,4.3,0,0,0,-1,01.2,3.2,2.8,2.7,0,0,0,0,-1];beq=[0,0,2,3.2];[z,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq)第119頁,共134頁，星期六，2024年，5月[λ1,λ2,

λ3,

λ4,θ,S11,S12,S21,S22]T=0.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00000.0000由定理DMU2為DEA有效第120頁,共134頁，星期六，2024年，5月同理由定理DMU3、DMU4為DEA有效第121頁,共134頁，星期六，2024年，5月2006年B題題目回顧：艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡(jiǎn)稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡(jiǎn)稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。第122頁,共134頁，星期六，2024年，5月現(xiàn)在得到了美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測(cè)試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測(cè)試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他濱）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韋拉平）。第123頁,共134頁，星期六，2024年，5月請(qǐng)你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。(3)艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥品價(jià)格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對(duì)（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）有什么改變。第124頁,共134頁，星期六，2024年，5月附件1是同時(shí)服用3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。問題（1）：利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。分析：?jiǎn)栴}在于什么是“最佳治療終止時(shí)間”需要了解HIV感染過程，藥物治療目的，由題目：

“這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。”第125頁,共134頁，星期六，2024年，5月如果隨機(jī)取若干個(gè)病人，畫出他們CD4和HIV濃度隨時(shí)間變化的圖形（散點(diǎn)圖），可以看出多數(shù)的CD4大致有先增后減的趨勢(shì)，HIV大致有先減后增的趨勢(shì)，這也是符合實(shí)際規(guī)律的，剛用藥的時(shí)候效果比較顯著，隨著用藥的時(shí)間增加，病毒逐漸有了抗藥性，效果變差，所以對(duì)于“最佳治療終止時(shí)間”的理解可以是以下三個(gè)時(shí)刻之一：1.當(dāng)CD4濃