第08講正余弦定理解三角形

（10類核心考點精講精練）

IfV考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15題,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面積公式及其應用

正弦定理解三角形

2024年新n卷，第15題,13分輔助角公式

正弦定理邊角互化的應用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17題,10分用和、差角的正弦公式化簡、求值

三角形面積公式及其應用

三角形面積公式及其應用

2023年新n卷，第17題,10分數量積的運算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18題,12分三角形面積公式及其應用無

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應用幾何圖形中的計算

正弦定理邊角互化的應用

2021年新H卷,第18題,12分三角形面積公式及其應用無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17題,10分無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新n卷，第17題,10分無

余弦定理解三角形

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較中等，分值為13-15分

【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用

1

2會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題.

3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題

【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式

在解三角形中的應用，同時也結合三角函數及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，需重點復習。

II考點梳理

知識點1正弦定理及形

知識點2三角形中三個內角的關系

知識點3余弦定理

知識點4三角形的面積公式

考點1正弦定理邊角互化解三角形

考點2利用正弦定理判斷三角形解的個數

考點3余弦定理求值

考點4利用正余弦定理判斷三角形的形狀

考點5三角形面積的應用

考點6外接圓、內切圓半徑問題

考點7雙正弦

考點8雙余弦

考點9解三角形中的證明問題

考點10解三角形中的實際應用

知識講解

1.正弦定理

(1)基本公式：

——n二二、h=」c一二2R(其中火為A45c外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

(2)變形

a_b，二2八一”心一a+b_a+c_b+c

sinAsinBsinCsin4+sin5+sinCsin/+sinsinZ+sinCsin5+sinC

a:b:c=sinA:sinB:sinC

2.三角形中三個內角的關系

A~\~B_7i_C

?兀

.?Z+8+C=2~22

sin(B+C)=sinZ,cos(5+C)=-cosA,tan(5+C)=一tanA

2

n_C7T_Cc

sin(g^)=sin|=cos|cos(^)=cos|=sin|tan(^)=tan=cot——

5一萬5一萬2

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a*1+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

,b72+.c2-a2a2+.c2-b72a2.+1b2-c2

cosA=--------------cosB=--------------cosC=--------------

2bc,2aclab

4.三角形的面積公式

S\ABC二萬

S^BC=~^bsinC=—acsinB=-bcsinA

考點一、正弦定理邊角互化解三角形

典例引領

jr

1.（2023?全國?高考真題）在中，內角4卅C的對邊分別是。也。，若acosB—bcos4=c,且。=《，

則=（）

7i7i37r2兀

A.—B.一C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得/Z的值，最后利用三角形

內角和定理可得的值.

【詳解】由題意結合正弦定理可得sin/cos5-sin5cos/=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sm^A+=cos+sin5cosA,

整理可得sinBcos4=0,由于BE（0,兀），故sin5〉0,

71

據此可得cos/=0,4=5,

故選：C.

2.（2024?湖南永州?三模）已知在“5C中，角A,B,C所對的邊分別為。，6,。，且acosB+6cos/=-2ccosC,

sinf2^+-|=-

貝Ijcos(/-B)=

l6)8

7

【答案】-/0.875

o

［分析］利用正弦定理結合和角正弦公式可得sin（4+8）=-2sinCeosC,進而求得C=?，從而有A+B=^,

3

故cos(4-5)=cos(24-qj=cos(2Z+5引=sin(24+喜,即可求解.

【詳解】因為〃cos5+bcosZ=-2ccosC,

由正弦定理可得sinAcos5+sin8cosA=-2sinCcosC,

即sin(/+B)=-2sinCcosC,所以sin(兀一C)=-2sinCcosC,

即sinC=-2sinCcosC,因為sinC>0,所以cosC=——,

2

因為0<C<兀，所以C=&，即N+B=g,

33

所以cos(4-8)=cos(2/一=cos(24+^j=sin^2A+:.

7

故答案為：—.

o

3.(2024?四川涼山?二模)設448c的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若竺巴0二0￡+8=i,則

QCOS5+6COS/C

A=.

【答案】j

【分析】根據給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計算即得.

■、斗心、*acosB-bcosAb,,sinAcosB-sinBcosAsin51

【詳解】在"5C中，由---------7+—=1及正弦定r理mZ得F：—-——-—————=h

acos5+8cos/csmAcosB+smBcosAsmC

而sinC=sin(/+5)=sinAcos5+sin5cosA,

sinAcosB-sinBcosAsin3

則----------------；-------------F----------------；-----------=1,

sin4cosB+sin5cosAsin4cosB+sin5cosA

整理得sin/cosB-singcos/+sinB=sinAcosB+sinBcosA,即2sin5cosA=sinB,

1jr

又sin5>0,因此cos4=—,而0<4<兀，所以/=；.

23

故答案為：J

4.（2024?全國?高考真題）記。8c的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinN+6cos/=2.

（1）求/.

（2）若。=2,也6sinC=csin23,求”8c的周長.

【答案】（1）/=2

0

（2）2+76+372

【分析】（1）根據輔助角公式對條件sin/+?cos/=2進行化簡處理即可求解，常規方法還可利用同角三

角函數的關系解方程組，亦可利用導數，向量數量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據正弦定理邊角互化算出3,然后根據正弦定理算出ac即可得出周長.

4

【詳解】(1)方法一：常規方法(輔助角公式)

由sin4+?cos/=2可得Lsin4+3^cos4=1,即sin(4+=)=1,

223

>-r-./八、.71/兀4兀、,,.7171An/口1兀

由于Ne(O,兀)=>/+^^(二,-；-),故/+1=彳，斛得

333326

方法二：常規方法(同角三角函數的基本關系)

由sin4+6cos4=2,又sin2A+cos24=1,消去sinZ得到：

4cos2A—4^/3COS/+3=0o(2cosA--\/3)2=0,解得cosA=,

7T

又/e(0,兀)，故/=；

6

方法三：利用極值點求解

設/(x)=sinx+追cosx(0<x<兀)，則/(x)=2sin[x+]](0<x<兀)，

顯然x=巴時，/(x)max=2,注意到/(Z)=sin4+百cos4=2=2sin(Z+巴)，

63

/(x)max=/(4)，在開區間@兀)上取到最大值，于是'=/必定是極值點，

即fr(A)=0=cosA-V5sinA,EPtanA=—,

71

又/e(0,7i),故

6

方法四：利用向量數量積公式(柯西不等式)

^a=(1,V3),b=(sinA,cosA)(由題意，a-b=sinA+-j3cosA=2,

根據向量的數量積公式，小坂=同|*。5伍弓=285〈2@,

貝(12cos5,3=2=cos萬=1,止匕時萬,3=0,即同向共線，

根據向量共線條件，l.cos/=6?sin4u>tan4=—,

3

jr

又/€(0,兀)，故4=F

6

方法五：利用萬能公式求解

設/=tan(，根據萬能公式，sin/+百cos/=2=±r+如二

21+t21+r

整理可得，Z2-2(2-V3)Z+(2-V3)2=0=(/-(2-73)):,

解得tan《=/=2-6,根據二倍角公式，tan/ugu也，

21-t23

又/e(0,兀)，故

(2)由題設條件和正弦定理

5

收bsinC=csin2Bo6sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又8,Ce(0,?,則sinBsinCwO,進而cos8=變，得到B=四,

24

7兀

于是C=it—A—B=—

12

sinC=sin(兀一4-8)=sin(/4+B)=sin4cos5+sinScosA=?+"

4

2_b_c

由正弦定理可得，」、=&=-，即==F

sm/sin5sinCsin-sm—sin——

6412

施牟得b=2A/2,C=y/6+&，

故"BC的周長為2+a+36

即時檢測

（________________________________

1.（2024?江西九江三模）在“3C中，角4屬。所對的邊分別為仇c,已知2c-〃=2bcos/,則8=（）

兀7127r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】運用正弦定理進行邊角互化，結合誘導公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【詳解】因為2C-Q=2bcos/,

由正弦定理，2sinC-sirU=2sin5cos4

因為4+8+。=兀，.二2sin（力+5）-2sin5cos4=siih4,

展開化簡2sirUcosB=sirU.sirU>0,cosB=—,

2

jr

又BG（0,7l）,二.5=§.

故選:B.

2.（2024?河北滄州?模擬預測）記AZBC的內角4,5,。的對邊分別為〃也。,若36cos5=acosC+ccos/,且

36=4c,貝i」C=.

【答案】4/450

4

【分析】根據三角恒等變換化簡計算可得cos3=,，由同角的平方關系可得sin5=迪，結合正弦定理計算

33

即可求解.

【詳解】因為36cos5=acosC+ccos/,

所以3sin5cos5=sirUcosC+sinCcos/,

所以3sin5cosS=sin（4+C）.又sin（/+C）=sin5w0,

6

所以cosB=g,所以sinB=71-cos2B=~~~?

因為36=4c,由正弦定理知3sinS=4sinC,

所以sinC=，又b>c,所以5>C,C=—.

24

故答案為：y

4

3.(2024?內蒙古呼和浩特?二模)在一8。中，記角A、B、。的對邊分別為。、b、c,已知

QQ=密ccosB+csin5?

⑴求角C;

(2)已知點。在/C邊上，且BC=6,BD=2近,求445c的面積.

【答案】(1)/C=171

(2)S=96或S=18G

【分析】（1）代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；

（2）先確定DC長度，再確定/C,即可判斷三角形形狀，確定面積.

【詳解】（1）；百"ueccosB+csiiiB,由正弦定理可得V3sin（5+C）=^sinCcos5+sinCsin5,

百sinBcosC+百cosBsinC=y/3sinCcosB+sinCsinB，

,/sinBw0,

?*tanC=V3,CG（0,7i）,

/.ZC=-；

3

（2）設Z）C=x,cos—=-=—+36—6x=x2+8,/.x=2或4,

3212x

當x=2時，AC=6,C=-,此時三角形為正三角形，S=J_x6x6x且=9力

322

當x=4時，AC=12,AB2=BC2+AC2-2AC-BCcosC=\08,

^^AB2+BC2=AC2,此時三角形為直角三角形，S=；x6百X6=186.

考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數

7

典例引領

7T

1.（2023?浙江?模擬預測）在“8C中，角42,C所對的邊分別為。也c.若8=*“=4,且該三角形有兩解,

則6的范圍是（）

A.（2省,+00）B.（2百,4）

C.（0,4）D.（3g,4）

【答案】B

【分析】利用正弦定理推出6=工叵，根據三角形有兩解，確定角/的范圍，從而結合sin4的取值范圍求

sin4

得答案.

【詳解】由正弦定理得一工=工，所以A_asinB_4xsin；_2e,

sinAsmB0--:~一:二~~—7

sinAsmAsinA

因為該三角形有兩解，故（TT27r7T

故sin/e（旦），即6=&3（2獨4）,

2sin/

故選：B

2.（2024?陜西渭南?模擬預測）已知。3c的內角N,B,C的對邊分別為。力,。，則能使同時滿足條件

JT

A=y,b=6的三角形不唯一的a的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+co）C.（0,6）D.（0,3）

【答案】A

【分析】利用三角形不唯一的條件進行求解即可.

JT1

【詳解】因為/=二力=6,則6sin/=6x—=3,

62

要使滿足條件的三角形不唯一，則6sin/<a<b,即3<a<6.

故選：A.

3.（2023?廣東茂名?三模）（多選）“3C中，角48,C所對的邊分別為0,8c.以下結論中正確的有（）

A.若a=40,6=20,8=25°,則必有兩解

B.若sin2Z=sin28,則一定為等腰三角形

C.若acosB-bcos/=c,則一定為直角三角形

D.若3=*a=2,且該三角形有兩解，貝！|6的范圍是（6,+8）

【答案】AC

【分析】根據正弦定理可判斷選項A；己知條件得出角43的關系，可判斷選項B；化邊為角可判斷選項C；

8

根據正弦定理可判斷選項D,進而可得正確選項.

【詳解】對于A,若。=40,6=20,3=25°,貝ijsin4=竺巴巨=型網至-=2sin25°<1,

b20

又A>B,所以必有兩解，故A正確；

對于B,若sin24=sin2B,貝!]2/=25或2/=兀-23,

即/=8或N+3=二，所以“BC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

2

對于C,由正弦定理得：QCOs5-Z?cosZ=cosiiL4cos3-sinScosZ=sinC,

即sin（力一8）=sinC=sin（^4+B）nsin5cos2=0,而sinBw0,故4=1,

所以“5C一定為直角三角形，故C正確；

7T

對于D,B=—,a=2,且該三角形有兩解，所以asiiR<Z?<a,

即2sin；〈b<2,也即6<6<2,故D錯誤.

綜上所述，只有AC正確，

故選：AC.

jr

1.（23-24高二下?浙江?期中）在“3C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的“3C有兩個，則。的

取值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,26）C.（2,4）D.（273,4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sinC,由sinC<l,且可得。的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得：號=’7,所以sinC=^8<l,所以a>2g,

sinAsinCa

因為滿足條件的有兩個，所以BC<4B,即。<4,所以。的取值范圍是（26,4）

故選：D

2.（2023?安徽?模擬預測）（多選）在中，AB=5B=60。,若滿足條件的三角形有兩個，則/C邊的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】BC

【分析】ABxsin5<AC<AB即可求解.

【詳解】根據題意可得：滿足條件的"8C有兩個，可得/8xsinB<NC</B=1<NC<G,

2

故選:BC

9

3.(2024?遼寧沈陽?模擬預測)(多選)在A/IBC中，角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,且已知。=2,

則()

A.若/=45。，且AABC有兩解，則6的取值范圍是(2,20)

B.若/=45°,且6=4,則恰有一解.

C.若c=3,且AASC為鈍角三角形，則6的取值范圍是(后,5)

D.若c=3,且“8C為銳角三角形，貝!16的取值范圍是(石,而)

【答案】AD

【分析】根據正弦定理，判斷三角形的解的個數，即可判斷AB,根據余弦定理和三邊的關系，即可判斷CD.

【詳解】A選項：由正弦定理，=占，sin8=*<l,

sin45siiw2,2

且b〉〃=2,貝2V2，選項A正確；

選項B：bsmA=4x—=2y/2>2,所以“8c無解，故B錯誤；

2

C選項：①。為最大邊：32>22+/>2.且3<2+6,此時1<6<下；

②b為最大邊：b2>22+32,且6<2+3,此時屈<6<5,選項C錯誤;

D選項：ft2<22+32,且32<22+〃，所以退<6〈而，選項D正確；

故選；AD.

考點三、余弦定理求值

甲典例引領

1.(2023?北京?高考真題)在中,(a+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),則NC=()

兀7T2兀57c

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因為(。+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=6(a-6),a1-c2^ab-b1,

貝故cosC=^^ab_\

lab2

71

又0<C(兀，所以c=§.

故選：B.

2.(2021?全國?高考真題)在中，已知8=120。，AC=J19,/5=2,則5c=()

10

A.1B.V2C.75D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到關于8C長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】設4B=c,4C=b,BC=a,

結合余弦定理：Z>z=a?+e?-2accos3可得:19=a2+4-2xaxexcos1200,

即：a2+2a-15=0>解得：a=3(a=-5舍去)，

故8C=3.

故選：D.

【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

(1)已知三角形的三條邊求三個角；

(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

3.(2023?全國?高考真題)在中，ABAC=60°,AB=2,BC=4(>,N8/C的角平分線交2c于。，則

AD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根據等面積法求出

方法二：利用余弦定理求出NC,再根據正弦定理求出優C,即可根據三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記48=c,/C==a,

方法一：由余弦定理可得，22+62_2x2x6xcos60。=6,

因為b>0,解得：6=1+百，

由S"BC=S^ABD+SMCB可得,

—x2xZ?xsin600=—x2xADxsin30°+—xADxftxsin30°,

222

m回2A/3（1+V3）

解得：回*=3+Q=2.

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/—2x2xbxcos6（T=6,因為6>0,解得：b=\+也,

由正弦定理可得，X—=上=:—，解得：sin2=&+號sinC=—，

sin60°sinBsinC42

11

因為1+百>&>^，所以C=45°,5=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=3Q°,所以ZAD2=75°,BPAD=AB=2.

故答案為：2.

【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規.

122_2

4.（2023?全國?高考真題）記的內角的對邊分別為。也c,已知'W=2.

cosA

⑴求6c；

,、什QCOSB—ZJCOSZb13

⑵若————；——=1,求小面積.

acosB+bcosAc

【答案】⑴I

（2也

4

【分析】（1）根據余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sin么即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】（1）因為/=/+c2一"ccos/，所以'+C?=%ccos"=2歷=2,解得：bc=L

cosAcosA

/、，十九一…Tmr/口acosB—6cos4bsinAcos5-sin5cosAsin5

（2）由正弦定理可得----------;——;——-————;--—

acosB+bcosAcsinAcosn+sinncosAsinC

sin（4-8）sin5sin（A-B）-sin5

sin（4+8）sin（4+8）sin0+8）

變形可得：sin（^-5）-sin（A+B）=sin即一2cos/sin8=sin8,

1c

而0<sin5〈l,所以cos/二一大，又0<4〈兀，所以sin4=—，

22

故。的面積為以例=Lbcsin4=Lxlx^=亞.

△“2224

即時檢測

?________

1.（2021?安徽安慶?二模）在中，a,b,c分別是//,NB,。的對邊.若〃=〃。，且/+也be=c?+ac，

則的大小是（）

兀兀2兀5兀

A.-B.一C.—D.——

6336

【答案】A

2

【分析】由/二。。，且/+百方。=。？+QC,得到62+1-a=^bc,利用余弦定理求解.

【詳解】因為/二比，且〃?+Gbe=c?+QC,

所以〃+°2_〃2_&7c,

12

2-/百

所以cosA=卜十°

2bc2

71

因為，€（0,兀），所以A

6

故選：A

2.（2024?安徽合肥?一模）在“8C中，內角4民C的對邊分別為a,6,c,若26cosc=a（2-c）,且於5，

貝1］。=）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】給26cosc=a（2-c）兩邊同時乘以。，結合余弦定理求解即可.

【詳解】因為26cosc=a（2-c）,兩邊同時乘以.得:

2abcosC=a2（2-c）,由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，

貝|J/+/一。2=/（2一。），所以有j+。2_b2=02c,

Xtz2+c2-Z?2=2accosB,所以42c=2accosB,又因為B=

所以。=1.

故選：A

3.（2023?廣東廣州?三模）在"3C中，點。在邊8c上，AB=&,CD=3,8=45°,4403=60。，則NC

的長為

【答案】V19

【分析】根據題意，由條件可得然后在A/CO中由余弦定理即可得到結果.

【詳解】

由題意,

因為/8=而，CD=3,8=45°,ZADB=60°,

AE①2

所以絲則3

sin60°V3

2

在ANC。中，由余弦定理可得，AC2=AD-+CD1-2AD-CDcosAADC

=22+32-2X2X3XCOS120°=19.

所以=

故答案為：V19.

4.（2023?全國?高考真題）在“BC中，已知ZBNC=120。，48=2,AC=\.

（1）求sinN/8C；

13

⑵若。為8c上一點，且/B4D=90。，求△NDC的面積.

【答案】⑴*

(2)1

【分析】⑴首先由余弦定理求得邊長BC的值為3c=不，然后由余弦定理可得cos2=區，最后由同角

14

三角函數基本關系可得sinB=?~

14

(2)由題意可得合%=4,則/48=：52度，據此即可求得△NDC的面積.

^/\ACD5

【詳解】(1)由余弦定理可得:

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

??I-?a2+c2-b27+4-156

貝!J_BC=y/1>cosB=--------------=----------產=-----，

lac2X2XV714

考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀

.典例引領

1.(22-23高三?吉林白城?階段練習)已知“8C中，角A,B,C所對的邊分別是。，6,。，若

(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin/=2sin3cosC,那么"SC是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】將(a+6+c)(b+c-a)=3加化簡并結合余弦定理可得A的值，再對sin/=2sin8cosc結合正、余

弦定理化簡可得邊長關系，進行判定三角形形狀.

【詳解】由(。+6+。)優+。一。)=36。，得S+c)?-/=36c,

整理得〃+C2-2=6C,則cosN=〃+￡―/二,

14

因為/e（O,7i）,所以/=5，

272_2

又由sin4=2sin5cosc及正弦定理，得a=2b，3------—,化簡得b=c,

2ab

所以力為等邊三角形，

故選：B

A

2.（22-23高三上■河北?階段練習）在“3C中，角4瓦C對邊為。也c,且2c-cos2_=b+c,則“3C的形

2

狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

A

【分析】先根據二倍角公式化簡C0S?2，根據余弦定理化簡得到/=/+〃即可得到答案.

A

【詳解】因為2ciOS?—=b+c,

2

1_i_msA

所以2c--------=b+c,即c+ccos/=b+c，

2

所以ccosZ=b,

在“3C中，由余弦定理：cosZ="+c2_a-,

2bc

入2+「22

代入得，c.+C-=b,即〃+c2一°2=2/,

2bc

所以。2=/+/.

所以小5C直角三角形.

故選：B

3.（2024高三■全國?專題練習）設△A8C的三邊長為3c=a,CA=b,48=c，若tan包=’一,tan-=-^-,

2b+c2a+c

則是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各邊長為。、b、c且內切圓半徑為r,

法一：由內切圓的性質有tan4=4、tan?=—竺，根據邊角關系可得。=b或/+〃=,2,注意討論所

2b+c2a+c

得關系驗證所得關系的內在聯系；

JT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得/=3或/+2=彳，結合三角形內角的性質討論所得關系判斷三角

形的形狀.

【詳解】設P=g（a+8+c）,△NBC的內切圓半徑為心如圖所示，

15

c

法一:

Ara廠、▲Brb-

.［方=7^二江①；3丁行二4②-

p-b_aa+c2(p-b)_a(a+c)

①十②，得:

p-ab+cb2(p_q)Z?(6+c)

于是b(b+c)(c+〃-b)=a^a+c^{b+c-a),

ab2-b3+bc2=a2b-a3+ac2，(a-6)(/+/>2-c2j=0,

從而得Q=b或/+/=",

???乙4=N5或NC=90。.故^ABC為等腰三角形或直角三角形,

(1)當Q=6時，內心/在等腰三角形C4B的底邊上的高C。上,

2a+c

又p-4=L(6+c-a)=Lc,代入①式，得_^=旦=，，即兒y=」_

22

(2a+c).1cb+ca+c2a+ca+c

2a-c_a2

上式兩邊同時平方，得:化簡，一2〃2=0，即C=J^Q.即△45。直角三角形,

2a+c(Q+C『

為等腰直角三角形.

(2)當/+62=°2時，易得r=g(a+6—c).

ja+b—c)

工,此式恒成立,

代入②式，得

J.

a+c-b^a+c

2

綜上，△4BC為直角三角形.

法二：

4sin4匕門=二及正弦定理和題設條件,得"sin/

利用tan—=①，

21+cosAsin5+sinC