第八節一般周期的函數的傅里葉級數一、以2l

為周期的函數的傅里葉展開機動目錄上頁下頁返回結束二、傅里葉級數的復數形式第十一章2/10/2025高等數學課件一、以2l

為周期的函數的傅里葉展開周期為2l函數f(x)周期為2

函數F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件設周期為2l

的周期函數f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續點處)其中定理.機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件其中令(在f(x)的連續點處)證畢機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件說明:其中(在f(x)的連續點處)如果

f(x)

為偶函數,則有(在f(x)的連續點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數收斂于如果f(x)為奇函數,則有機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件例1.

交流電壓經半波整流后負壓消失,試求半波整流函數的解:這個半波整流函數,它在傅里葉級數.上的表達式為的周期是機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件n>1

時機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件由于半波整流函數f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數可分解為直流部分與交流部分的和.機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件例2.

把展開成(1)正弦級數;(2)余弦級數.解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件說明:此式對也成立,由此還可導出據此有機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件當函數定義在任意有限區間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數其傅里葉展開方法:機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件方法2令在上展成正弦或余弦級數奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件例3.將函數展成傅里葉級數.解:令設將F(z)延拓成周期為10的周期函數,理條件.由于F(z)是奇函數,故則它滿足收斂定機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件利用歐拉公式二、傅里葉級數的復數形式設f(x)是周期為2l的周期函數,則機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件注意到同理機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件傅里葉級數的復數形式:因此得機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件式的傅里葉級數.例4.把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復數形解:在一個周期它的復數形式的傅里葉系數為內矩形波的函數表達式為機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件為正弦級數.內容小結1.周期為2l的函數的傅里葉級數展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數時,(偶)(余弦)2.在任意有限區間上函數的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數的復數形式利用歐拉公式導出機動目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件思考與練習1.將函數展開為傅里葉級數時為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數時哪些系數要單獨算?答:用系數公式計算如分母中出現因子n－k作業:

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計算系數和寫出收斂域.必須單獨計算.習題課目錄上頁下頁返回結束2/10/2025高等數學課件備用題期的傅立葉級數,并由此求級數(91考研)

解: