山東名校考試聯(lián)盟

2023-2024學年高一年級上學期期中檢測數(shù)學試題

2023.11

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合M巾<°L爪i2>0},則做A)I5=()

A.1%|0<x<l}B.1x|0<x<l}C.1%|-2<x<0jD.1x|l<x<2j

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8、3A,再求交集即可.

【詳解】3={無卜2<尤<1},d^A=1x|x>0},={x[0Kx<1}.

故選：B.

2.已知函數(shù)/(%)=(1—m-l)尤'"為幕函數(shù)，則“2=()

A.-1或2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)為暴函數(shù)得到方程，求出加的值.

【詳解】由題意得加2-根-1=1,解得加=2或〃Z=-L

故選：A

3.若函數(shù)/(九)的定義域為則函數(shù)=U的定義域為()

Vx+1

A.(-73,2]B.[O,網(wǎng)C.(-1,2]D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)定義域的概念及復合函數(shù)定義域的求解方法運算求解即可.

【詳解】???函數(shù)〃尤)的定義域為[T2],

?1?要使函數(shù)y=，(=1)有意義,

V^+T

-1<X2-1<2-A/3V%V

則有《解得<

x+1>0x>—1

—1<XW百，即函數(shù)y=的定義域為(—1,6].

故選：D.

4.已知a,b，。均為實數(shù)，貝I()

ba

A.若a>b,則比2>秘2B.若a</?<0,則一>—

ab

C.若且!>!，則Z?<O<aD.若a<b,貝以2<"(/

ab

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值，作差比較大小以及不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】依題意：

對于A,取c=0,易知錯誤；

,止不口?ab2-a2{b-a)[b+a)

選項B：由-----=-----------------△------人,

ababab

因為a<bvO,所以b-a>0,Z?+a<0,ab>0,

從而2-/<0,即一<一，選項B錯誤；

abab

選項C:由且!>工，得Q—b>0,S———=———>0,

ababab

從而ab<0,所以Q,b異號;又a>b,從而Z?vOva,C正確;

選項D：a<Z?vO時，易知錯誤.

故選：C.

5.已知命題JP：VX>0,，3—x>0,則命題。的否定是(

A.Vx>0,V3-x<03%>0,3-%<0

C.3%>0,y/3-x<0Vx<0,V3^x<0

【答案】B

【解析】

【分析】利用全稱命題的否定形式一一判定選項即可.

【詳解】易知X/x>0,」3—x>0的否定是:3%>0,」3-xW0或3-％<0,即3—x40.

故選：B

6.已知函數(shù)/(x)=x+jm,其定義域為值域為N.則“xeM”是“xeN”的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出函數(shù)的定義域M和值域N,通過兩個集合的關系進行判斷.

【詳解】y=/(x)定義域M=[—L”)，y=/(可在[―L”)是單調(diào)遞增的，值域N=[—1,”)，得

M=N所以“xeM”是“xeN”的充要條件.

故選：C

7.己知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當龍20時，/(x)=g(,—/卜,一2a2卜3a2).若VXGR,

/(x—a)</(%),則實數(shù)。的取值范圍為()

「11]「n1]「—Ifn1)

L66jL6jL33j6)

【答案】D

【解析】

【分析】畫出函數(shù)圖像，因為VxeR,/(x-?)</(x),所以根據(jù)圖像知一3a2+a>3〃，則求出實數(shù)

。的取值范圍.

【詳解】因為時，/(x)=|(|x-a2|+|x-2a2|-3a2),

所以OWxWa?時，f(%)=—(a~—x+2a~—x—3a?)=—x,

當2a2時，f(x)=-a2,

當x>3/時，f(x)=x-3a2,

因為了(%)是定義在R上的奇函數(shù)，圖像關于原點對稱,

畫出了(%)圖象，

由VxeR,/(x-a)<f(x),

即/(%)圖象向右平移。個單位后的圖象總在了(九)圖象下方，

故—3片+。>3/，則0<a<：.

故選：D

8.不等式V+2a盯+4>220對于Vx?2,3],X/y?2⑼恒成立，則。的取值范圍是()

「131

A.B.[-5,+00)C.-y,+ooID.[-l,+00)

【答案】A

【解析】

/、

【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)得2a之一-+4^對于Vxe[2,3],X/ye[2⑼恒成立，通過換元求最值即可

(yx)

求出〃的取值范圍.

【詳解】因為不等式24個2-必_4丁2對于VXG[2,3],Vye[2⑼恒成立，

(\

所以不等式2a之一-+4^對于Vxe[2,3],⑼恒成立，

wx)

令。=金29

X3'2

貝U—1+；)<—4,當且僅當/=2時，等號成立.

所以aN—2.

故選：A

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

“、[x2-2%+1,x<1

9.已知函數(shù)/(x)=j+]>],下列說法正確的是()

A.函數(shù)是減函數(shù)

B.VaeR,/(a2)>/(?-1)

C.若/(a—4)>/(3a),則〃的取值范圍是(—2,+8)

D.在區(qū)間[1,2]上的最大值為0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意，作圖，根據(jù)其單調(diào)性，可得答案.

【詳解】由題意，可作圖如下：

由圖像知了(%)在定義域上單調(diào)遞減，所以A正確；

因為a?—(4―1)=a?—a+1=(。―g]+-1>0，所以42>4一1

又因為函數(shù)“X)是減函數(shù)，所以—1),所以B不正確；

因為函數(shù)7(%)是減函數(shù)，所以a—4<3a,解得:a>-2,所以C正確；

由圖像可知D正確.

故選：D.

10.己知。，b是兩個正實數(shù)，滿足a+/?=l,則()

A.6+JF的最小值為1B.&+揚的最大值為J5

C.片+尸的最小值為!D.6+尸的最大值為1

【答案】BC

【解析】

【分析】利用條件以及不等式性質(zhì)可判斷A；利用基本不等式可判斷B,C；由。+人=1得人=1-。，從而

a2+b1可化為2a2—2a+1,結合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對于選項A：由于〃>0,b>0,且Q+Z?=l,從而Ovavl,0<b<l,

所以Q<&，從而〃+/7<&+痛，從而6+JF>l，取不到1,從而A錯誤；

選項B：由6+=y/a+b+2y/ab=y/l+2y/ab<+=A/2,

當且僅當a=6=g時等號成立，從而J3+揚的最大值為a,B正確；

選項C：因為/+/=(a+b)2—2a/?=l—2aZ??l—=%，

當且僅當a=人=」時取等號，從而C正確；

2

選項D：由〃+/?=1,得Z?=l-Q,由人>0,得Ovavl,

從而a2+//=a2+(]—4丫=2"2—24+1=2(4—g)+1,

從而當a=0或1時取得最大值，但從而無最大值，D錯誤，

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(%)=以2—3x+4,若任意%,42G[-1,23)且X]都有」(百)/(9)<一],則實數(shù)。

X]-%2

的值可以是()

11

A.—1B.C.0D.—

22

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，整理不等式，構造函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】不妨令玉〉々，因為八"八〃<-1,所以/(%)—〃々)<七一不，即

/(%)+%</(9)+*2,

4g(x)=/(x)+x=at2-2x+4,則g(xj<g(x2)，因為石>/，所以g(%)在[T,+°°)上單調(diào)遞減,

a<0

當〃=0時，符合題意；當〃。0時，貝?卜-1,解得：一

---s-1

、a

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是[一1,0],顯然—1,—1,0].

故選：ABC.

12.己知函數(shù)的定義域為R,〃％-1)為奇函數(shù)，“3尤—2)為偶函數(shù)，貝|()

A.巾=。B./(1)=0C./(4)=0D./(3)=0

【答案】BD

【解析】

【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性、周期性一一判定即可.

【詳解】???/(尤—1)為奇函數(shù)，.?./(%-1)=一/(一％-1),

??./'(%)關于(—1,0)對稱.

?.?/(3x—2)為偶函數(shù)，.?"(3x—2)=〃—3x—2),

二八%)關于1=—2對稱，

/(-%)+/(%-2)=0,/(x-2)=/2)n-f(-x)=/(-x-2)

=一/("=/(x—2)=>/(%+4)=-/(%+2)=/(x),即/(%)的一個周期為4,

故〃—l)=〃3)=0.

???了(%)關于(T,0)對稱，.../(x)+/(―2+x)=0,

.?./W+/(-2-X)=/(X)+/(-2-X+4)=0,即〃X)+/(2-X)=。,

故得到““關于(l,o)和(3,0)對稱，即B、D正確.

不妨設/(x)=sin[x-]],顯然符合題意，止匕時—*#0,〃4)=—1工0,

即A、C錯誤.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/■口)=<2-？苫<0,則/(/⑵)=.

x2-3x+1,%>0

【答案】-3

【解析】

【分析】利用分段函數(shù)的解析式代入直接計算即可.

【詳解】易知/(2)=22—3x2+1=—1,故/(7?(2))=/(—l)=2x(—l)+2=一3.

一1

故答案為：-3.

14.寫出3x—1>0的一個必要不充分條件是.

【答案】%>0(答案不唯一)

【解析】

【分析】化簡條件3無-1>0,再利用充分條件與必要條件定義即可求解.

【詳解】由3%—1>0,等價于無>■,

3

貝%>0不能能推出x>—,x〉!能推出%>0,

33

則%>0是%,的必要不充分條件，

3

即x〉」的必要不充分條件是x>0.

3

故答案為：x>0(答案不唯一)

15.關于x的不等式,22的解集為.

1-xX

【答案】何無<0或|<X<1}

【解析】

分析】化簡分式不等式通過分類討論計算即可.

12212(x-l)+x3x-2/八

【詳解】由——2—O—+——<0,即，、《0,即1~五4°,

1-xXxx-1X(X-1)

若3x—2?0,則x(x—1)<0,解之得

若3x—2<0,則x(x—1)>0,解之得尤<0,

故答案為：{%[%<0或g<x<l}.

16.設函數(shù)/(%)的定義域為R,滿足/(x+l)=3/(x),且當尤?0,1]時，/(x)=%(%-1).若對任意

xe(-oo,m],都有/(%)之一1,則機的取值范圍是

【答案】—co,

【解析】

【分析】畫出函數(shù)圖象，從而得到9(x—2)(x—3)=—1,求出方程的根，數(shù)形結合得到答案.

【詳解】V/(x+l)=3/(x),

■■-/W=3/(x-l)，

當xe(-l,O]時，X+1G(0,1],故/(x)=；/(x+l)=gx(x+l)

11

XH---

32-3°

21

當xe(0,l]時，/(x)=x(x—l)=---€■?°，

4

當xe(l,2],x-時,/(x)=3/(%-l)=3(%-l)(x-2)

=3—

4

當xe(2,3],x—le(l,2]時,/(x)=3/(%-l)=9(x-2)(^-3)

9

=9x-

1-te4-,0

依次類推，畫出函數(shù)圖象如下:

15+A/515-75

令9(x—2)(x—3)=—1,解得石

所以要使對任意都有1,則根＜生好

6

/

故答案為：-8,

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知集合A=土/wo）,集合5={x|2相+3<%<根2},相￡區(qū).

（1）當機=一2時，求ADJB;

（2）若A3=3,求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】（1）AuB=1x|-l<x<4}

（2）[-72,3]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)加=2,分別求出集合A、B,即可求出

（2）根據(jù)Ac5=5,課確定然后分6=0和5W0分別確定加的取值范圍，再合并在一起.

【詳解】（1）由一《0,解得：—1VXW2,所以A={x|—1<XV2}.

當相=一2時，5={x[—1<xv4},

所以Au5={x[—1<x<4}.

故答案為：{x|-1<%<4}.

（2）因為ACBMJB,所以

當5=0時，2加+32加之，解得：—1<根《3；

2m+3<m2

當5W0時，要滿足題意需+2加+32—1,解之得：—血〈根<—1.

m2<2

綜上：實數(shù)冽的取值范圍為卜、5,3]

故答案為：[-后,3]

（1）判斷“外的奇偶性，并加以證明;

(2)求了(%)的值域.

【答案】(1)/(%)為偶函數(shù)，證明見解析

⑵(-1,1]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式判斷其奇偶性，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可證明；

1_丫222

⑵將〃力=匕1分離常數(shù)，化為了('=—1+1—，判斷三—的取值范圍，即可求得答案.

1+XXH-1XH-1

【小問1詳解】

(1)/(%)為偶函數(shù)

1一元2

證明：/(x)=L2的定義域為R,關于原點對稱，

-1+X2

1-f.

因”―‘二二三二八》)，所以/(X)為偶函數(shù);

1+X

【小問2詳解】

1-x2-X2-1+2,2

因為/(x)=------5-=-1+F—

1+x21+%2%2+1

22

所以0<——-<2,-1<——-1<1,

1+x21+x27

因此“X)的值域為(-1』.

19.命題0：關于x的方程Z2+2公+4°+5=0的兩個不相等的正實根，命題9：ae(m,7m+7),

(1)若命題力為真命題，求。的取值范圍；

(2)若q是P的充分條件，求加的取值范圍.

【答案】(1)[一8,-：.[-1,+CO)

§

7

【解析】

【分析】(1)利用二次方程根分布求得命題〃為真命題時。的取值范圍，從而得解;

(2)利用充分條件與集合的關系，轉化為子集問題處理即可.

【小問1詳解】

當命題，為真命題時：設方程_|_2ax+4tz+5=0的兩根為為，4，

△=4/_4(4〃+5)〉0二

玉+%2=-2〃>0.解得一3<〃<一1

可得不等式組，即《

4

xxx2=4〃+5>0

故命題為真命題時，〃的取值范圍1一°°,一Z1[―l,+cc）

【小問2詳解】

設A=1一：'—l)

B=(m,7m+7),

若q是。的充分條件，可得8是A的子集,

m<7m+7

578

<m>——,解得——<加<——

467

7m+7<—1

（78-

綜上，m的取值范圍是一5,一7

20.原定于2022年9月10日至25日在中國杭州舉辦的第19屆亞洲運動會延期至2023年9月23日至10

月8日在中國杭州舉行，名稱仍為杭州2022年第19屆亞運會.杭州亞組委在亞奧理事會和中國奧委會的指

導下，有關各方共同努力，為全世界人民呈現(xiàn)了一屆“中國特色、浙江風采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文

化盛會.運動會期間，杭州某互聯(lián)網(wǎng)公司為保證直播信號的流暢，擬加大網(wǎng)絡的研發(fā)投入.據(jù)了解，該公司原

有員工200人，平均投入。（。>0）萬元/人，現(xiàn)把該公司人員調(diào)整為兩類：運營人員和服務人員，其中運營

人員有x名，調(diào)整后運營人員的人均投入調(diào)整為a（加-4x%）萬元/人，服務人員的人均投入增加2x%.

（1）若使調(diào)整后服務人員的總投入不低于調(diào)整前的200人的總投入，則調(diào)整后的服務人員最多有多少

人？

（2）現(xiàn)在要求調(diào)整后服務人員的總投入始終不低于調(diào)整后運營人員的總投入，求加的最大值及此時運營

人員的人數(shù).

【答案】(1)150人

(2)加的最大值為7,此時運營人員有100人.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意可得不等式(200-x)(l+2x%)a2200”，解不等式即可求得調(diào)整后服務人員最多

有150人;

(2)分別計算出調(diào)整后服務人員的總投入和運營人員的總投入，即可得加〈剪+3+二，由基本不等式

x50

即可求得加的最大值為7,此時運營人員有100人.

【小問1詳解】

由題意可知，調(diào)整后的服務人員有200-x人，人均投入為(l+2x%)a萬元/人,

從而可得(200-x)(l+2x%)a>200a,

解得04x4150.

即調(diào)整后服務人員最多有150人.

【小問2詳解】

由題意，得(200—x)(l+2x%)a“m-4x%)ox

",口一2U0U0一1J"11+北%卜、加一方Xx

x25

整理，得機〈迎+3+二

x50

,200.%/200x__

因ra>為——+3+—>2J---------+3=7,

x5050

當且僅當出=二，即x=100時等號成立，所以加＜7.

x50

所以加的最大值為7,此時運營人員有100人.

21.己知函數(shù)/(X)=口2—(。一1)》一2,aeR.

(1)設a〉—；，解關于x不等式/(%)＜血

(2)設a＞0,若當-［，+8時7(%)的最小值為一；，求。的值.

2

【答案】(1)答案見解析

(2))或3+君

32

【解析】

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法，利用分類討論思想，可得答案；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論，建立方程，可得答案.

【小問1詳解】

不等式即—（2a—l）x—2v0,即（x—2）（^tv+1）v0,

當。=0時，即％—2<0,解得xv2,

當awO時，由（x—2）（以+1）=0得：石=2,x2——,

（i）若。>0,則開口向上，—工<2,原不等式解得—L<X<2,

aa

（ii）若—!<a<0,則開口向下，—工〉2,原不等式解得x<2或x〉—工，

2aa

綜上，當〃>0時，解集為<%—<x<2>；

a

當〃=0時，解集為卜|%<2｝；

當—<〃<0時，解集為<x%（2或%>—>.

2[、/〃

【小問2詳解】

由a>0知〃％）開口向上，對稱軸是占二一1,

當不W一!，即0<a<L時，函數(shù)〃尤）在XC-;,+co）上單調(diào)遞增，

222J

最小值為了<[一0]）二3^^一5萬二一9^，解得。=§1；

當---，即一時,

22

函數(shù)/（%）在-g,Xo）單調(diào)遞減，在[尤0,+8）上單調(diào)遞增,

最小值/由）=_[_6"]=_2,解得或。=三5（舍）,

'°，4。422

綜上，。的值為工或土5.

32

____31

22.已知函數(shù)f