高一數學試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.

全卷共150分，考試時間120分鐘.考生作答時將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試

題卷上答題無效.

4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合"R,――則（）

A{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

2.命題“玉>0,%2+2%_520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.VX>0,X2+2X-5<0

C.3%>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

57T

3.若角三的終邊上有一點（—3,a）,則實數a的值為（）

R6「V3

A.-A/3L.-----D.

33

|x-l|-2,x<0

4.函數=?的零點的個數為（）

2

log5x+3x-x,x>0

A.1B.2C.3D.4

X

5.已知lga+lgb=0,則(a>0，且awl)與=,且6a1）的圖象可能為

()

6.設機=-^—,n=—不上，命題p:a>b,命題q:ab<m〃,則P是q的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運載火箭在酒泉衛星發射

中心點火發射，成功入軌.這次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發展階段的第2次載人飛行任務,

是工程立項實施以來的第30次發射任務，也是長征系列運載火箭的第493次飛行.設火箭質量是箭體質量與

燃料質量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數

之差成正比?已知某火箭的箭體質量為mkg,當燃料質量為mkg時，該火箭的最大速度為31n2km/s；當

燃料質量為祖（e-1）kg時，該火箭的最大速度為3km/s；當燃料質量為m（e4-l）kg時，則火箭的最大速

度為（）

A.10km/sB.llkm/sC.12km/sD.13km/s

8.已知函數/（x）=x+生，玉1c[2,a],3x2e[a,9]（2<a<9）,使/（%）/（々）2300成立,則實數

a的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對得2分.

9.已知下列等式左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）

,cosx1-sin%cl+sin2xl+2tan2x

A.----=------B.-......=---------

1+;sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53°-光）=8$（37。+%）D.sin（60。=cos（48（T+x）

10.已知0<a<l<),則下列說法正確的是()

A.log/>log/B.ahba<aabh

Clog/+log/<-2D.coscosZ7+—>0

I2

11.已知函數〃x)=logi：t2,則下列說法正確的是(

§2一九

A,函數值域為R

B.函數7(%)是增函數

C.不等式/(3x—1)+/(3力<0的解集為

?d+7］總+…+/㈢+/（T）+"0）+/⑴+/出+…+"擊］=0

12.定義在(0,+8)上的函數“X),對Vx,y>0,均有/(盯)=4(丁)+才⑴，當％>1時，/(x)<0,

令g(x)=/@，則下列說法正確的是()

A.g(l)=0B.g(x)gQj>0

C.Va>0,g(a)<g(a+1)D,V?>0,neN*,g[an^=ng(?)

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應題的橫線上.

13.函數〃x)=4優-3+5.>0),且awl)的圖象恒過定點p,點P又在累函數g(x)的圖象上，貝U

g(-2)=----------

14.若扇形的周長為10cm,面積為6cm2，圓心角為a[0<a<萬J,則夕=.

15.若關于x的不等式21og。%>(x-Ip恰有1個整數解，則實數。的取值范圍是.

16.用“(%)表示/(x),g(x)中較大者，記為/(x)=max{/(￡),g(x)}.已知函數

M(x)=max{e|x+21+2-e,-x2-4x-1},若關于x的方程"2(可+力0(司+6=0有8個相異實根，則

實數人的取值范圍是.

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明.解答過程或演算步驟.

17.已知角a滿足cosa-sin。.

sin(6/-7i)cos(7i+(7)cosa--

⑴求------------------r~3n----『

的值;

tan(5兀-a)sin1—---fzI

(2)若ae(0,兀)，求sincr+coscr的值.

18.已知集合A={x|3a+l<x<2},B=|x|X+^<oj.

(1)當a=-2時，求

(2)若4口3=4,求實數。的取值范圍.

3

19.己知定義域為R的函數f(x)=a—gip(aeR).

(1)判斷了(九)的單調性，并用單調性的定義加以證明;

(2)是否存在實數a使函數/(%)為奇函數？若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

20.果園A占地約3000畝，擬選用果樹3進行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植36棵，種

植成本y(萬元)與果樹數量了(百棵)之間的關系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

(1)根據以上表格中的數據判斷：y=ax+b與y=c?+d哪一個更適合作為>與x的函數模型;

(2)已知該果園的年利潤Z(萬元)與X,y的關系為z=2y-0.1x,則果樹數量X為多少時年利潤最大?

21.已知函數了⑺是定義在R上的奇函數，函數g(x)是定義在R上的偶函數，且/(x)+g(x)=e、.

(1)求函數y(x),g(x)的解析式；

’271『x11

(2)解關于x的不等式glogjX-logj—<flog/4og3二+-.

I9x)I927Je

22.已知函數/(%)=(尤2+x)e'+lnx—Lg(x)=xeX,(其中e是自然對數的底數)

(1)判斷函數g(x)在(0,+。)上的單調性(不必證明)；

⑵求證：函數了(%)在，內存在零點%,且g(%o+l)=gIn：；

(3)在(2)的條件下，求使不等式2%0出一不如%)+(1—左)%—1之0成立的整數上的最大值?

(參考數據:ln2?0.693,A/3?1.732)

高一數學試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.

全卷共150分，考試時間120分鐘.考生作答時將答案答在答題卡上，在本試卷

上答題無效.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條

形碼區域內.

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆

書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；

在草稿紙、試題卷上答題無效.

4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合。=R,A=-}，吟則（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據補集、交集的定義進行計算即可.

【解析】由4={引x<0}得e4=何x?0}；

又5={-2,—

所以（七人）門5={0,1,2}.

故選：A.

2.命題“土>0,%2+2%-520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.Vx>0,X2+2X-5<0

C.3x>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

【答案】B

【解析】

【分析】根據全稱量詞命題和存在量詞命題的關系直接寫出原命題的否定.

【解析】原命題的否定是：Vx>0,x-+2x-5<0.

故選：B

57r

3.若角三的終邊上有一點（—3,。），則實數。的值為（）

6

A.—有B.一"C.且D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數定義列方程即可得解.

【解析】由題意結合三角函數定義得tan2=-3=g，解得a=石.

63-3

故選：D.

z、lx—11—2,x0

4.函數/（%）=1；2c的零點的個數為（）

log5x+3x-x,%>0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】xWO時，可以直接求出零點，x>0時，通過圖象即可得出零點個數，進而得出結

果.

【解析】當尤V0時，

令卜-1|-2=0,解得*=一1或3（舍）,

所以xWO時，/（%）有一個零點;

當%>0時,令/(X)=0,得logs為=爐-31,

作y=log5X和y=f—3x圖象如下,

所以x>0時，/（%）有兩個零點.

綜上，八工）共有3個零點.

故選：C

5.已知lga+lgb=O,則（a>0，且awl）與g（x）=log/（b>0,且8力1）

的圖象可能為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用對數運算得到6=—,再結合指數函數與對數函數的性質即可判斷選項.

a

【解析】因為lga+lgb=O,

所以一lga=lgb,b=-,

a

若0<6<1,則0<工<1,排除C,

a

若萬〉1,則,〉1,排除AB.

a

故選：D

。IQIt<）7.0

6.設根-,n=-12,命題p:a>〃，命題4：。/?<機〃，則。是4的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由題意通過作差法得出命題q：。6<根〃的充要條件為出b,結合充分不必要條

件的定義即可得解.

r加七、4日甬止,,2a+362b+3a6a2+6b~+13ab

【解析】由題扇<mnoab<-----------------------

5525

o6a2+6b2+13ab>25abo(a—>0=aHZ?,

即命題4：必<"2〃的充要條件為標b,

所以命題p：a>b是命題q:ab<mn的充分不必要條件.

故選：A.

7.2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運載火箭在

酒泉衛星發射中心點火發射，成功入軌.這次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發

展階段的第2次載人飛行任務，是工程立項實施以來的第30次發射任務，也是長征系列運

載火箭的第493次飛行.設火箭質量是箭體質量與燃料質量的和，在不考慮空氣阻力的條件

下，燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數之差成正比.已知某火箭的

箭體質量為mkg,當燃料質量為mkg時，該火箭的最大速度為31112km/s；當燃料質量為

機(e-l)kg時，該火箭的最大速度為3km/s；當燃料質量為加(e4-l)kg時，則火箭的最

大速度為()

A10km/sB.11km/sC.12km/sD.

13km/s

【答案】C

【解析】

【分析】燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數之差成正比，可設出函

數模型，代入可得函數解析式，進而得解.

【解析】設當燃料質量為xkg時，火箭的最大速度為ykm/s,

則y-yQ=^[ln（x+m）-ln（x0+m）],

又當燃料質量為mkg時，該火箭的最大速度為31n2km/s；當燃料質量為，〃（e-l）kg時，

該火箭的最大速度為3km/s；

所以3-31n2=k[ln（?7e—m+7n）—ln（m+根）],

解得左=3,

所以y-31n2=3[ln（x+m）-ln（2m）],

令x=/"（e，—1）,貝！|y-31n2=3[in（me，-m+/n）-ln（2m）J,

y=3[4-ln2]+31n2=12,

故選：C.

8.已知函數〃x）=x+—,羽e[2,a],切e[a,9]（2<a<9）,使〃菁）/（々）2300

X

成立，則實數。的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數的單調性可得函數/（x）=x+史在[2,9]內的單調性與最值情況，所以

X

/（^）max=/（2）=30,"9）=13,根據不等式能成立，可得，3x2e[a,9],所以

/（9）=15,可得4=3,進而可得參數范圍.

【解析】由已知當x?2,9]時，/（%）=%+—>2^6=12,當且僅當*=羽，即x=6

時等號成立，

且〃x）=X+生在（2,6）上單調遞減,在（6,9）上單調遞增，

又f（2）=2+m=20,/（9）=9+^=13</（2）,

所以〃x）=x+史在[2,可上的最大值為"2）=20,

又叫e[2,a],居e[a,9],使/（%）/（々）2300成立,

即/小）3〃切2300,

所以±24a,9］,使/（%）=15,即〃%）在［。,9］上的最大值/（。）215,

即。H215,角軍得Q?3或QN12,

a

又2<〃<9,

所以aw（2,3],

故選：A.

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）

cosx1-sinxl+sin2xl+2tan2x

A.--------二-------B.-----=------

1+sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53。-%）=8$（37。+%）D.sin（60。-x）=cos（48（T+x）

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A、B,由同角三角函數的基本關系進行化簡證明即可，對于C、D,由誘導

公式進行化簡證明即可.

【解析】對于A,

cosxcosx（l-sinx）cosx（l-sinx）cosx（l-sinx）1-sinx

1+sinx（l+sinx）（l-sinx）l-sin2xcos2xcosx

對于B,1+sin-_（si^x+cos?X+sii?%_cos?x+Zsii?%_l+Ztan?%.故B正確；

sinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx

對于C,sin（53°—x）=sin[90°—（37°+x）]=cos（37°+x）,故C正確；

對于D,cos（480°+x）=cos（120°+x）=cos[180°—（60°-x）]=—cos（60°-x）,故D錯

誤.

故選：ABC.

10.已知0<。<1<〃，則下列說法正確的是（）

haab

A.log/>log/B.ab<ab

C.log/+log/<-2D.cos^cos/j+-1j>0

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,C,利用特殊值。=4力=2進行判斷；對于B,根據指數函數的單調性

2

進行判斷；對于D,根據cos6+^|的范圍判斷cos[os6+￡]的符號.

【解析】對于A,C,由0<。<1<〃，令。=5力=2,則log2=log/=-1,

log步+log/=-2,故A,C錯誤；

對于B,由0<。<1<〃，0<ab<aa>0<ba<bb<所以故B正確；

〃[a3兀

對于D,由0VQV1<Z?,得0<—<—，—1VcosZ?<1,—l<cosbn—<—<—，所以

22222

cos"osZ?+〉0,故D正確.

故選：BD.

11.已知函數/(x)=logi/二，則下列說法正確的是()

32—X

A.函數/(%)值域為R

B.函數“X)是增函數

C.不等式"3》—1)+〃3力<0的解集為

D.

小盛]+/[圭>…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

【答案】ACD

【解析】

2+x

【分析】對于A,令/=三三川€(—2,2),利用換元法和對數函數的性質即可求得；對于

2+尤

B,令。=一二，由復合函數的單調性進行判斷即可；對于C,利用函數的奇偶性和單調性

2-x

進行解不等式；對于D,由〃-力+/(力=0即可求解.

【解析】對于A,令"巖,2,2),又因為"§三=-1-士在(—2,2)上遞增，

所以/e(O,+8),由對數函數的性質可得，>=1°8,的值域為口，故A正確；

對于B,因為/=言=-1-4在(-2,2)上遞增，>=腕/在(0,+8)上遞減，由復合

函數的單調性可知，/(》)=1。81蘭2為減函數，故B錯誤；

T2-x

對于C,因為〃x）=log1T-的定義域為（—2,2）,且/（一￡）=1081；^—,

Zl—XZ+X

2|_-JQ

f（x）+f（-x）=logl--+log,-_-=logj=0,所以“力為奇函數，且〃%）在

3%33

（-2,2）上為減函數，

不等式/（3x—1）+/（3力<0等價于/（3%—1）<—/（3x）即/（3%—1）</（―3司，

3x—1>—3x

1?

等價于〈―2<3x—1<2,解得—<九<—,故c正確；

63

—2<3x<2

對于D,因為〃—）+/（力=。且"0）=0,所以

小盛"［圭卜…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

,故D正確.

故選：ACD.

12.定義在（0,+8）上的函數了（%）,對Vx,y>0,均有/（盯）=4（y）+W（x），當％〉1

時，/（%）<0,令g（x）=/H,則下列說法正確的是（）

X

A.g（l）=0B.g（x）gR卜0

C.Va>0,g（a）<g（a+l）D.X/Q>0,〃￡N,g⑷

【答案】AD

【解析】

【分析】根據對Vx,y>0,均有/(盯)=獷(丁)+討(力，且g(x)=/^,令x=y=l,

JC

即可得g(l)的值，從而判斷A；令y」得了,，［=獷1口+，/("=0,則

XkXJ\XJJC

/(-|=-4/(x)-于是可化簡且⑴81］的式子，從而可判斷B；令x=a+l,y=L

結合當x〉l時，/(x)<0,可得qf(a+l)—(a+l)/(a)<0，則可得g(a),g(a+l)的

大小關系，從而可判斷C；利用歸納法推出/(a")=w"T/g),從而可判斷D.

【解析】對Vx,y>0,均有/(盯)=4(y)+W(x),令x=y=l可得

/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,則g(i)=平=0,故A正確；

Vx,y>0,可令y=」得/(%一］=?(—］+—/(x)=0,所以/(一］=—^/(工)，

XkXJ\XJX\XJX

小〕

則8(/￡1=#,卡=〃"/〔￡1=〃“)］一口(”?一口2(”。，

X

故B不正確；

令％=〃+l,y=L可得

a

S+1)。+—/(tz+l)=(Q+1)I0二"+1)—(。+1)”〃)

aa2

因為當％>1時，/(x)<0,

又Va>0,^^=l+，>l,所以

aa\a)

故歹(a+l)—y+l)〃a)<0,所以4(a+l)—(a+l)/(a)<0,

a

所以Va>O,g(a+l)-g(a)=\-+=/(%)〃。,則

g("+l)Vg(Q),故C不正確;

令％=y=a,得/(々2)=4(々)+4(々)=24(々)，貝！J

/(4)二療(〃2)+//(〃)=3〃2/(々)，/(々4)=12/(〃2)+42/([2)=4〃3/(a),

以此類推可得：=

r*/八f(a)na〃。)也4=飴(。)，故D正確.

所6以rIX/〃>O,〃eN,g(〃)=--~-=------

')an

故選：AD.

【小結】關鍵小結：本題的關鍵是利用合理賦值、作差法并結合其所給性質逐項分析即可.

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相

應題的橫線上.

13.函數/(%)=4優-3+5(。＞。)，且a/l)的圖象恒過定點p,點尸又在幕函數g(x)的

圖象上，則g(-2)=.

【答案】4

【解析】

【分析】由己知求出定點尸的坐標，根據待定系數法求出g(x),從而可得結果.

【解析】由x—3=0,得x=3,所以定點尸(3,9),

設g(x)=x",又g(3)=3"=9,得a=2,所以g(x)=f,

所以g(—2)=(—2)2=4,

故答案為：4.

14.若扇形的周長為10cm,面積為6cm之，圓心角為&］。＜&＜,則夕=.

4

【答案】一

3

【解析】

【分析】由扇形的周長和面積公式進行求解即可.

【解析】設扇形的半徑為，

1,

因為扇形的周長為ar+2r=10,扇形的面積為一1廣=6,

2

ar+2r=Wr=3

r=2TV4

由<12A得一a=3或4，又因為0＜。＜一,所以&=一.

—ar=o?=-23

I23

4

故答案為：一.

3

15.若關于x的不等式21ogflx>(X-1)?恰有1個整數解,則實數a的取值范圍是

【答案】［73,4)

【解析】

【分析】分。<。<1和a>1兩種情況作出圖象，根據不等式的解集即可求解.

【解析】當。<°<1時，作出y=21og“x和y=(x—I?的圖象，

由圖像可知210gM>(x-Ip沒有整數解，不符合題意;

當時，作出y=21og.x和y=(x—l)2的圖象,

因為210gM〉(％-1)?恰有1個整數解，

所以x=2是不等式的整數解,

2

21oga2＞（2-l）

所以《解得上<a<4，

2

21ogfl3＜（3-l）

即實數。的取值范圍是［6,4b

故答案為：［6,4)

16.用/(%)表示/(x),g(x)中的較大者，記為"(%)=111作{/(%)送(左)}.已知函數

M(x)=max^e'A+2l+2-e,-x2-4x-1j,若關于x的方程加2(力+旬0(力+6=0有8

個相異實根，則實數h的取值范圍是.

【答案】(-5,-276)

【解析】

【分析】由題意設/(x)=J+N+2—e,g(x)=—/—4x—l=—(x+2)2+3,根據對稱軸、

單調性等知識畫出圖象，由題意當且僅當M(X)=%,M(X)=/2是關于M(x)的方程

知2(月+初0(司+6=0的兩個根，2</"2<3,/尸小進一步換元分離參數，并結合對

勾函數的性質即可得解.

【解析】由題意設/(x)=eHl+2—e,g(x)=—/—4x—i=—(x+2)2+3,

由此可知f(x),g(x)的對稱軸均為x=-2,

且當尤<—2時，/(九)單調遞減，g(x)單調遞增，

當x>-2時，/(%)單調遞增，g(x)單調遞減，

且/(-3)=g(-3)=/(-l)=g(-l)=2,由此可以畫出這兩函數的大致圖像如圖所示：

eM+2-e,x<-3

所以M(x)=max+2-e,-4%-=<-%2-4x-l,-3<x<-l,

/+2+2—e,x>一1

所以直線y=與函數y=V(x)至多有4個不同交點，

關于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2個不同的根，

由題意若關于X的方程“2(X)+旬0(力+6=0有8個相異實根，

則當且僅當兩個關于x的方程M(x)=4，M(x)=/2共有8個不同的根，

其中3)=g(—3)=/(—l)=g(—l)=2<./2<g(—2)=3/戶小

2

=(x)=t2是關于M(x)的方程M(X)+/JM(X)+6=0的兩個根，

令/=Af(x),則關于『的方程/+4+6=0有兩個不同的根2<%/<3,%wJ，

即6=有兩個不同的根2〈九弓<3,4/J，

設力(‘)=—'+：]，由對勾函數性質得，

當2</<幾時，丸(。=—[+■1]單調遞增，當?</<3時，/?(/)=—[+：]單調遞減,

所以//("max=丸(布)=一2斯，/l(2)=/l(3)=-5,

所以6=-。+]]有兩個不同的根2<t[,t]<3,：wt2,

當且僅當“(2)=/z(3)=-5</?<W)max=k(巫)=-2底,

綜上所述：實數b的取值范圍是”,-2").

故答案為：卜5,-2").

【小結】關鍵小結：關鍵是分析出直線y=，/eR與函數y=M(x)至多有4個不同的交

點，

關于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2個不同的根，

由此可將題目等價轉換為6=一有兩個不同的根2<aJ2<3,4w凸，從而即可順利

得解.

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟.

17.已知角。滿足cosa-sina=—.

sin(。一兀)cos(兀+a)cosa--

(1)求------------------(37tl的值;

tan(5兀一a)sin[----orI

（2）若二￡（0,兀），求sino+cosa的值.

【答案】（1）--

【解析】

【分析】（1）利用誘導公式和同角三角函數的關系進行化簡，再由

（cosa-sina）2=l-2sinacosa即可得到結果.

(2)由(cosa+sina)2=l-2sinacosa及sinacos。>0,ae(0,7i)即可得到結果.

【小問1解析】

一sina(-cosa^sina

原式二

一tanacos。

Sin26ZCOS6Z

—：---------=-sincrcoscr.

sin。

-------coscr

cosa

1

,/cos。-sina=—

5

/.(cosa-sin"=1-2sinacose=sinocosa=-

2525

原式=.

25

【小問2解析】

1249

(sin。+coscif)2=1+2sinocosor=l+2x—=—

/\12

?「ae(0,7i)且sinacoscif=—>0,

GI0,-1-1,/.sina+cosa>0,

,sin…a=、僧」

V255

18.已知集合4={乂3。+1<%<2},3=1%|^~|40

（1）當。=—2時，求Au8;

（2）若=求實數。的取值范圍.

【答案】（1）AoB={^|-5<x<3}

⑵[-1,+?)

【解析】

【分析】（1）化簡集合，利用并集運算求解即可;

（2）由=4可得然后利用A=0與A/0兩種情況討論即可.

【小問1解析】

x+2,八

-------<0,

x-3

(%+2)(%—3)<0且1w3,

—2<jvv3,

B={x|-2<x<3},

當〃二一2時，A={x|—5<x<2},

AoB={x|-5<x<3}.

【小問2解析】

?：Ar\B=A.:.A(^B.

由(1)知5={犬|一2<%<3},XA={x\3a+1<%<2}.

則當3a+l<2即時，A/0,

3

3a+12—2

要使AoB,則1^-l<a<~.

〃<一3

I3

當3。+122即1時，A=0,滿足AuB.

3.

綜上所述，實數。的取值范圍為[-1,”)

3

19.已知定義域為R的函數/(x)=a—右ip(aeR)-

(1)判斷了(%)的單調性，并用單調性的定義加以證明；

(2)是否存在實數。使函數7(%)為奇函數？若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)/(%)是R上的增函數，證明見解析

3

(2)存在實數。=不

2

【解析】

【分析】(1)根據單調性的定義直接證明即可；

(2)法一：利用奇函數的定義可得參數值；法二：利用特值法，令/(0)=0可得解.

【小問1解析】

由/'(x)=a—下工可知，"％)是R上的增函數.

證明：設VXp/eR,且看<々，

則上)—小)="上田―

八"J(3^+lJ[3^+1)付+1)(3*+1)

^.^y=3x在R上單調遞增，且石<々，

...3%<3也，即3.一3*<0，

又?.3'+1>0，3*+1>0，

，/(%)一/(%2)<。，即/(%)</(々)，

???當。為任意實數時，“X)是R上的增函數.

【小問2解析】

法一：假設存在實數。使〃可為奇函數.

3<3

對VxeR,由=得=

3-3x3

Cl—=—dH-----

3X+13V+1

3-3x333+33

即2a=-----------1-----------Cl——,

3、+l3l+l3X+12

3

存在實數。,使/（%）為奇函數.

法二：假設存在實數。使〃可為奇函數.

???〃龍）的定義域為R,

/（0）=a—T--=0,:.a=—,

''3°+12

當"5時‘小）=5一門’

則人—工=￡3小3>3

1723-x+l23X+121+3，

=--3+^-=--+^—=-/（x）,

23X+123V+1'）

3

存在實數a=5使/（%）為奇函數.

20.果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多

可種植36棵，種植成本y（萬元）與果樹數量x（百棵）之間的關系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

（1）根據以上表格中的數據判斷：y=ax+人與y=c?+d哪一個更適合作為y與x的函

數模型；

（2）已知該果園的年利潤Z（萬元）與X,y的關系為z=2y—0.5,則果樹數量X為多

少時年利潤最大？

【答案】（1）y=cgd比y=ax+b更適合作為y與x的函數模型.

（2）1024百棵

【解析】

【分析】（1）分別代入數據，確定對應回歸方程，進而確定模型;

（2）根據確定的函數模型，進而可得z=-64?+44）,再利用換元法，結合二次

函數性質可得最值情況.

【小問1解析】

①若選擇y=ox+人作為y與x的函數模型：

16

CL---

1=a+b"，所以

將點（1,1）,（4,4.2）的坐標分別帶入y=+得＜c,解得,

4.2=4〃+/?

b=---

15

161

y=—x----

1515

143

此時當x=9時，y=—^9.53,當x=16時，y=17,所得數據分別與表格中的7.4和

10.6相差較大.

②若選擇y=c4+d作為＞與x的函數模型:

16

c=一

1=c+d5

將（1,1）,（4,4.2）的坐標分別帶入＞=°?+1，得＜,ccJ解得＜

4.2=2c+d,11

a二--------

5

16廠11

y——Vx----,

55

3753

此時當x=9時，丁=彳=7.4,當x=16時，y=《=10.6,所得數據分別與表格中的7.4

和10.6相符合.

綜上所述，y=cgd比y=ox+人更適合作為，與x的函數模型.

【小問2解析】

由題意，該果園最多可種3000x36=108000棵該品種果樹，故xe[0,1080],

由（1）知，需選用的y與X的模型為y=—與，

z=2y-0.1x=]?-g一±*=一*卜一64。+44）,

令/=[0,1080],6回]

64/+44)=」”32)2+98,回0,6炳］.

10V)10V)

當/=32,即尤=1024時，zmax=98(萬元).

又?.?102400+3000a34,

???當果樹數量為1024百棵(每畝約34棵)時，年利潤最大.

21.已知函數/(%)是定義在R上的奇函數，函數g(x)是定義在R上的偶函數，且

/(x)+g(x)=ev.

(1)求函數/(%),g(x)解析式；

’27、(x)1

(2)解關于x的不等式glog/」og3——<flog^-logj—+-.

I9x)I9271e

【答案】(1)

e'+e^

g(x)=

2

(2)(3,9).

【解析】

【分析Ml)由題意，根據奇偶函數的定義，可得/(—x)+g(-x)=-/(x)+g(x)=eT,

結合已知解方程組可解;

(2)由題意得,glOg/」Og3——-fTog/?log3一<-,令

I9XI9X)e

t=\og1X-\og3一—,解得看<一1,再解log]%」og3—<—1即可.

§%e9x

【小問1解析】

是奇函數,g(%)是