作業44等比數列的概念[分值：100分]單選題每小題5分，共45分【基礎鞏固】1．下列數列是等比數列的是()A．1,11,111,1111 B．1，－2,4，－8C．1,5,25，－125 D．22,32,42,522．已知等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式為an＝3n＋2(n∈N*)，則該數列的公比是()A.eq\f(1,9)B．9C.eq\f(1,3)D．33．若2，a,6成等比數列，則a等于()A．1B．±2eq\r(3)C．2D．－24．在各項都為正數的數列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，則a4等于()A．108B．54C．36D．185．已知數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足bn＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an))，則“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件6．等比數列{an}的公比|q|>1，{an}中有連續四項在集合{－54，－24，－18,36,81}中，則q等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)7．(5分)若{an}為等比數列，且a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q＝________.8．(5分)在△ABC中，若sinA，sinB，sinC成公比為eq\r(2)的等比數列，則cosB＝________.9．(12分)已知數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式，判斷它是否為等比數列．(1)an＝3n；(3分)(2)an＝5×32－n；(3分)(3)an＝n－1；(3分)(4)an＝3.(3分)10．(10分)已知在等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝1，求a1＋a3的取值范圍．【綜合運用】11．“a，b，c成等比數列”是“b＝eq\r(ac)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下》，其意思為“一根一尺長的木棰，每天截取其一半，永遠都取不完”．設第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，則eq\f(a1＋a2,a5)等于()A．18B．20C．22D．2413．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三個整數解，構成等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前三項，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的第四項是()A．8B.eq\f(1,2)C．8或2D．8或eq\f(1,2)14．(5分)在等比數列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.【創新拓展】15．(5分)已知在等差數列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數列，把各項按如圖所示排列，則從上到下第10行，從左到右的第11個數值為________．(13分)在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及eq\f(bsinB,c)的值．等比數列的概念1．B[由等比數列的定義可知，只有B滿足題意，其余均不滿足．]2．D[設公比為q，等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式為an＝3n＋2(n∈N*)，則a1＝33＝27，a2＝34＝81，∴eq\f(a2,a1)＝q＝3.]3．B[由eq\f(a,2)＝eq\f(6,a)，所以a＝±2eq\r(3).]4．B[因為an＋1＝3an，即eq\f(an＋1,an)＝3，所以數列{an}是公比為3的等比數列，所以eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝3，又a1＝2，所以a4＝54.]5．A[若數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數列，公比為q，則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))＝|q|，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數列，充分性成立，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數列，設公比q＝2，令數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為：2,4,8，－16，－32，…，滿足eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))＝2，但eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))不是等比數列，必要性不成立，∴“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數列”是“數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數列”的充分不必要條件．]6．C[∵{an}中的項必然有正有負，∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的連續四項為－24,36，－54,81.∴q＝－eq\f(3,2).]7．1或－2解析因為eq\f(a3,a2)＝q，所以a3＝a2q＝2q，因為eq\f(a4,a3)＝q，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.8.eq\f(3,4)解析因為sinA，sinB，sinC成公比為eq\r(2)的等比數列，所以sinB＝eq\r(2)sinA，sinC＝2sinA，由正弦定理可知b＝eq\r(2)a，c＝2a，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2×a×2a)＝eq\f(3,4).9．解由等比數列的定義可知，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一個與n無關的常數，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比數列．(1)eq\f(an,an－1)＝eq\f(3n,3n－1)，不是常數，故不是等比數列；(2)eq\f(an,an－1)＝eq\f(5×32－n,5×32－n－1)＝eq\f(1,3)，是等比數列；(3)eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n－1－1)＝eq\f(n－1,n)，不是常數，故不是等比數列；(4)eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,3)＝1，是等比數列．10．解設等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q(q≠0)，由等比數列的定義可知a1＝eq\f(1,q)，a3＝q，所以a1＋a3＝q＋eq\f(1,q)，當q>0時，a1＋a3＝q＋eq\f(1,q)≥2eq\r(q·\f(1,q))＝2，當且僅當q＝1時，等號成立；當q<0時，a1＋a3＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－q＋\f(1,－q)))≤－2eq\r(－q·\f(1,－q))＝－2，當且僅當q＝－1時，等號成立．綜上所述，a1＋a3的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．11．D[充分性：若a，b，c成等比數列，則b2＝ac且ac>0，則b＝±eq\r(ac)，即充分性不成立；必要性：若b＝eq\r(ac)，取a＝b＝c＝0，則a，b，c不成等比數列，即必要性不成立．因此，“a，b，c成等比數列”是“b＝eq\r(ac)”的既不充分又不必要條件．]12．D[設這根木棰總長為1,每天截取其一半，剩下的部分記為an，則{an}是首項a1＝eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2)的等比數列，所以a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,4)，…，a5＝eq\f(1,32)，所以eq\f(a1＋a2,a5)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,4),\f(1,32))＝24.]13．D[不等式x2－5x－6<0的解集為{x|－1<x<6}，其中成等比數列的三個整數為1,2,4，若數列前3項為1,2,4，則第4項為8，若數列前3項為4,2,1，則第4項為eq\f(1,2).]14．－4解析由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋2))2＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋3))，解得a＝－4或a＝－1，當a＝－1時，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不滿足條件；當a＝－4時，等比數列為：－4，－6，－9，…，滿足條件．15．275或8解析設等差數列{an}的公差為d，因為a2＋a4＝16，所以a1＋2d＝8，①因為a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，②聯立①②解得d＝3或d＝0，當d＝3時，a1＝2，an＝3n－1.由題圖可得第10行第11個數為數列{an}中的第92項，即a92＝3×92－1＝275；當d＝0時，an＝8，所以a92＝8.16．解(1)∵a，b，c成等比數列，∴b2