河南省多校2024-2025學年高二(上)期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.曲線卷+3=1與曲線三+若=l(k<4)的()

A.長軸長相等B.短軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

2.已知數列｛an｝的通項公式為c1n=泳+6,且2和7是｛an｝中的兩項，則6=()

A.-3B.-2C.1D.3

3.已知中心在原點的雙曲線C的一條漸近線的斜率為2,且一個焦點的坐標為(0,回)，則C的方程為()

u,)

4設p為an+an+3=an+1+a?+2,q為”｛an｝是等差數列”，則p是4的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.若直線/:a久一by—4=0與圓。:/+/=4相離，則點P(a力)()

A.在圓。外B.在圓。內C.在圓。上D.位置不確定

6.設P為橢圓裝+卷=1上一動點，Fi，F2分別為橢圓的左、右焦點，Q(T,0)，則四2|+IPQI的最小值

為()

A.8B.7C.6D.4

7.設等差數列｛總和也｝的前n項和分別為5.和T”若含=翟|，則言韓￡=()

7924

A.gB.7C.巖D.2

34iz

8.已知F為拋物線E:久2=2py(p>0)的焦點，△ABC的三個頂點都在E上，且F為△力BC的重心.若

\FA\+|FB|的最大值為10,則p=()

A.1B.2C.3D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.記等差數列｛an｝的前幾項和為Sn，59=27,a2+a10=10,則()

A.cii——5B.S6=2C.Sn>S3D.S7=a7

10.已知直線的勺方程為ax—y—a=0,N(3,3),則下列結論正確的是()

A.點M不可能在直線，上

B,直線計亙過點(1,0)

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C.若點M,N到直線珀勺距離相等，貝M=2

D.直線/上恒存在點Q,滿足麗?麗=0

11.如圖，在三棱錐4-BCD中，BD1BC,AB_L平面BCD,AB=BC=BD=2,E,F,G,”分別為

AB,BD,BC,CD的中點，M是EF的中點，N是線段GH上的動點，貝lj()

A.存在a>0,b>0,使得前=。而+6旗

B,不存在點N,使得MN1EH

C.|而|的最小值為浮

D.異面直線力G與EF所成角的余弦值為爭

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在空間直角坐標系。-%yz中，點P(a,0,2b-3)與QQ,0,b)關于原點0對稱，則點Q的坐標為.

13.記數列｛an｝的前幾項和為S”已知S九+i+S九t=2S九+2幾(?122)且臼=1,a2=3,貝！)冊=.

14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓

29

的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓。:a+方=l(a>b>0)及其

蒙日圓。，。的離心率為坐，點4B,C,。分別為蒙日圓。與坐標軸的交點，AB,BC,CD,2。分別與。

相切于點E,F,G,H,則四邊形力BCD與四邊形EFGH的面積的比值為.

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四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

設也?｝為遞增的等差數列，其前幾項和為Sn,已知的=6,且2s5=送.

(1)求的通項公式；

(2)求使Sn>3an成立的的最小值.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，四邊形4BCD是矩形，PA=AB=2,AD=4,PB=2",PD=2衽，N

為CD的中點.

(1)證明：PA1BN;

(2)求直線與平面PBN所成角的正弦值.

17.(本小題12分)

已知F是拋物線C:y2=2px(0<p<3)的焦點，P(x°,4)是C上一點，且P在C的準線上的射影為Q,

\PQ\=5.

(I)求C的方程；

(2)過點P作斜率大于9的直線1與C交于另一點M,若△PFM的面積為3,求/的方程.

18.(本小題12分)

如圖，在斜三棱柱ABC—AiBiCi中，平面44停停1平面4BC,△2BC是邊長為2的等邊三角形，

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C,。為AC的中點，且41。=2,。為4停的中點，E為AD的中點，麗而；

4

①設向量五為平面ABC的法向量，證明：EF-a=O;

(H)求點力到平面BCD的距離；

(III)求平面BCD與平面B1DC夾角的余弦值.

19.(本小題12分)

已知雙曲線C*噲=1(口>°力〉。)的離心率為2,左、右焦點分別是％，F2,P是C的右支上一點，PF1

的中點為Q，且IQF1HQ0=1(。為坐標原點)，4是C的右頂點，M,N是C上兩點(均與點4不重合).

①求C的方程；

(II)若M,N不關于坐標軸和原點對稱，且MN的中點為H,證明：直線。H與直線MN的斜率之積為定值；

(III)若M,N不關于y軸對稱，且AM1AN,證明：直線MN過定點.

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參考答案

1.D

2.B

3.0

4.C

5.B

6.B

7.4

8.D

9.ACD

1Q.ABD

11.BCD

12.（0,0,1）

13.n2—n+l,nEN*

14.1

15.⑴

設公差為d,d>0,

因為的=6,且2s5=送，

所以2x（5x6+^d）=（6+2d）2,解得d=2或4=—3（舍），

故斯=6+2（n-l）=2n+4；

⑵

由（1）可得，Sn=僑+2：+4）71=話+5n,

^Sn>3an,則?I?+5n>6n+12,解得n>4,

故九的最小值為5.

16.解：（1）證明：由P4=AB=2,AD=4,PB=2&，PD=2非,

可得PA?+AB2=PB2,PA2+AD2^PD2,

貝IJPA1AB,PA1AD,

又48CtAD=A,ABu平面力BCD,ADu平面48CD,

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所以P2J.平面48CD,

因為BNu平面2BCD,

所以PA1BN；

(2)以AB、AD,4P所在直線分別為工、y、z軸建立空間直角坐標系，如圖:

則4(0,0,0),5(2,0,0),P(0,0,2),N(l,4,0),

屈=(2,0,0),=(2,0-2),麗=(1,4,一2),

設平面PBN的法向量為五=(x,y,z),

fn-P5=2x-2z=0

人"rrPN=%+4y—2z=O'

取y=1,可得x=z=4,則3=(4,1,4),

設直線4B與平面PBN所成角為仇

則sin。=|cos(拔用|=耳=產展=n％

11\AB\-\n\2xj3333

即直線4B與平面PBN所成角的正弦值為：堡I

17.解：(1)由題可知，拋物線C:y2=2px(0<p<3)的準線方程為久=—1

因為P(%o,4)在拋物線C上，|PQ|=5,

所以16=2p(5-$，解得p=2或p=8(舍)，故拋物線C的方程：y2=4x；

(2)由⑴,P(4,4),尸QO),

設直線［為y-4=k(x-4),且k>p

2

聯立直線Z與拋物線y2=4x,有MN一4(2/—2k+l)x+16(fc-l)=0,

令點M的坐標為(x,y),

H6(2/c2-2fc+l)2-4fc2-16(/c-l)2>0

4(2/c2-2/c+1)

4(k-l)2

%+4=2

有k,解得x=-fc2-'

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故|PM|=，（4—x）2+（4—y）2=,1+的1|=|1+'2.4（2窿1）,

3k—4

點F到直線/的距離為d=再不冠，

所以的面積為S=~\PM\-d=我1+卜23（29）.卷*=2（2k弋31）=3,

解得k=2或卜=未舍），所以直線/的方程為2x-y-4=0.

18.①證明：連接BO,

因為A4i=4iC,。為AC的中點，

所以41。1AC,

因為平面4413。1平面2BC,平面44停停C平面ABC=AC,ArOu平面44停停,

所以41。1平面4BC,

因為8。u平面ABC,OCu平面48C,

所以4。1BO,&O1OC,

因為△4BC為等邊三角形，所以B。1AC,

則OB、OC、&0兩兩垂直，

以點。為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系,

則4(0,—1,0),B(國0,0),C(0,l,0),

&(0,0,2),Ci(0,2,2),D(0,il),

由標=函=(0,1,2),可得當(4,1,2),

由E為AD的中點，BF=；BB],可得E(0,—],今,尸

則方=（居/。），

可知之〃西，而西=（0,0,2）,EF-OA^=0,

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則EF-a=0.

（II）解：屈=（居1,0）,麗=（展-1,0）,而=（避

設平面BCD的法向量為拓=（%i,yi,zD，

m-DB=-Vi-Zi=0

則，——>L2

[m-CB=71=0

令第1=2,則yi=2避，Z]=避，有=（2,2避），

則點4得到平面BCD的距離為d=與半=4；：黑1°孝=噌

H，22+（2W）+（73）19

（皿）解：函=（8,0,2）,CD=

設平面B1DC的法向量為B=（X2,y2,z2）,

（n-CB1=4%2+2Z2=0

則%=—^y2+Z2=0，

令Z2=淄，則％2=-2,丫2=2避，即￡=（-2,24,避），

.—>一\m-n-4+12+3_______________11

則COS（a,力=而同=加+（2我2+（我2X』J2）2+（2⑶2+（我2=西，

故平面BCD與平面B1DC夾角的余弦值為吉.

19.解：（I）因為Q為PFi的中點，。為Fi&中點,

所以|PF2|=2|QO|,

所以IPF1I-IPF2I=2|QFj—2|QO|=2（|Q%HQO|）=2=2a,即a=1,

又e=（=2,貝!Jc=2,所以b=[c?一次=避,

2

所以雙曲線的標準方程為白=1;

（H）設M（Xi,yi）,N（K2,y2）,H（Xo,y。），

因為M,N不關于坐標軸和原點對稱，且MN的中點為H,

722

1-7-1=1

則3

22

2-732=T

|%卜

兩式相減可得（右-犯）01+久2）=（力一嗎乃+及）

（yi-y2）（yi+y2）_12

Hn丫一丫2y0

即（X1-X2）（X1+X2）_%1-%2,2%0_"