習(xí)題課倒序相加法、裂項(xiàng)相消法求和[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)形式會(huì)用倒序相加法和裂項(xiàng)相消法求和．一、倒序相加法求和例1已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x).(1)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)＋f(1－x)＝1；(2)an＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))，其中m∈N*，n＝1,2，…，m.求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和．反思感悟倒序相加法求和適合的題型一般情況下，數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限但比較多，且與首末等距離的兩項(xiàng)之和均相等，這時(shí)，我們可以利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，利用倒序相加法求和．當(dāng)然，首末兩項(xiàng)的和需要結(jié)合題意主動(dòng)發(fā)現(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練1請(qǐng)利用教材上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，計(jì)算sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.二、裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題已知數(shù)列an＝eq\f(1,nn＋1)，如何求{an}的前n項(xiàng)和Sn.知識(shí)梳理常見的裂項(xiàng)形式：(1)eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(2n,2n＋12n＋1＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1)；(4)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))；(5)eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(6)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝ln(n＋1)－lnn.例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若an>0，設(shè)bn＝log2(3an＋3)，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項(xiàng)和．反思感悟關(guān)于裂項(xiàng)相消法(1)操作步驟：把數(shù)列的通項(xiàng)公式分解成兩個(gè)形式相同的表達(dá)式的差的形式(有時(shí)在差的前面有系數(shù))，求和時(shí)有些部分可以相互抵消，從而達(dá)到求和的目的．(2)步驟書寫：為發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)后消去的項(xiàng)有哪些，有兩種方式：一是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止；也可以把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分別結(jié)合，從而確定消完后剩余的項(xiàng)．(3)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,Sn)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.1．知識(shí)清單：(1)倒序相加法求和．(2)裂項(xiàng)相消法求和．2．方法歸納：倒序相加法、裂項(xiàng)求和法．3．常見誤區(qū)：裂項(xiàng)求和中要關(guān)注正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是否相同及相消后前后剩余的項(xiàng)數(shù)．1．已知an＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，則a1＋a2＋a3＋…＋a80等于()A．7B．8C．9D．102．?dāng)?shù)列eq\f(1,2×5)，eq\f(1,5×8)，eq\f(1,8×11)，…，eq\f(1,3n－13n＋2)，…的前n項(xiàng)和為()A.eq\f(n,3n＋2)B.eq\f(n,6n＋4)C.eq\f(3n,6n＋4)D.eq\f(n＋1,n＋2)3．設(shè)函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(2,2x＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5))的值為()A．9B．11C.eq\f(9,2)D.eq\f(11,2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(x,1－x)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,10)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))＝________.習(xí)題課倒序相加法、裂項(xiàng)相消法求和例1(1)證明f(1－x)＝eq\f(41－x,2＋41－x)＝eq\f(4,2·4x＋4)＝eq\f(2,4x＋2)，∴f(x)＋f(1－x)＝eq\f(4x,2＋4x)＋eq\f(2,4x＋2)＝eq\f(4x＋2,4x＋2)＝1.(2)解設(shè){an}的前m項(xiàng)和為Sm，則Sm＝a1＋a2＋…＋am＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,m)))＋f(1)，①又Sm＝am＋am－1＋…＋a1＝f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,m)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))，②①②相加，得2Sm＝f(1)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,m)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)))＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－2,m)))))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,m)))＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))))＋f(1)＝m－1＋2f(1)＝m－1＋2×eq\f(2,3)＝m＋eq\f(1,3)，∴Sm＝eq\f(m,2)＋eq\f(1,6)，∴數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為eq\f(m,2)＋eq\f(1,6).跟蹤訓(xùn)練1eq\f(89,2)解析令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，則S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，兩式相加可得2S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin21°＋sin289°))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin22°＋sin288°))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin289°＋sin21°))＝89，故S＝eq\f(89,2)，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝eq\f(89,2).問(wèn)題an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).例2解(1)設(shè)等比數(shù)列{an＋1}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Tn，因?yàn)镾2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，易知q≠1，所以T2＝eq\f(a1＋11－q2,1－q)＝4，①T4＝eq\f(a1＋11－q4,1－q)＝20，②由eq\f(②,①)得1＋q2＝5，解得q＝±2.當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝eq\f(1,3)，所以an＋1＝eq\f(4,3)×2n－1＝eq\f(2n＋1,3)；當(dāng)q＝－2時(shí)，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1.所以an＝eq\f(2n＋1,3)－1或an＝－(－2)n＋1－1.(2)因?yàn)閍n>0，所以an＝eq\f(2n＋1,3)－1，所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，所以eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項(xiàng)和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(n,2n＋2).跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝a1＋6d，,a1＋7d－2a1＋2d＝3，))解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.(2)由(1)得Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n(n＋2)，∴bn＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋…＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).隨堂演練1．B[因?yàn)閍n＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋…＋eq\r(81)－eq\r(80)＝9－1＝8.]2．B[因?yàn)閑q\f(1,3n－13n＋2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－1)－\f(1,3n＋2)))，所以Sn＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,8)＋\f(1,8)－\f(1,11)＋…＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－1)－\f(1,3n＋2)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3n＋2)))＝eq\f(n,6n＋4).]3．B[∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(2,2x＋1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2,2－x＋1)＝eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2·2x,2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x＋1)))＝eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2·2x,1＋2x)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2x)),2x＋1)＝2，設(shè)S＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))＋…＋fe