第三篇立體幾何

專題02垂直問題的證明

常見考點

考點一線面垂直的判定

典例1.如圖，在正方體瓦G2中，E,尸分別是棱耳G,左8的中點，求證:

CV平面EAB.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

通過證明CFLBE和AB_LCF,進而可得證.

【詳解】

E,尸分別是棱比B的中點，

在RtABB[E和RtACBF中，BB〔=BC,B、E=BF,

所以三RtACBF,所以△/瓦=,

因為NB]BE+/EBC=9Q°,所以N3CP+ZEBC=90°,

所以/BOC=90°,即CFJ_3E,

又因為正方體ABC。-A3cB中，AB，平面BCCQ,CFu平面BCCQ,

所以ABLCF,AB和BE平面E4B內的兩條相交直線，

所以CV,平面EAB.

變式1-1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO是菱形，且PA=PC,判斷直線

AC與平面PB。是否垂直，并說明理由.

【解析】

【分析】

利用線面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】

設ACfW=O,連接尸0,

則ACL8D,且。為AC的中點,

因為R4=PC,則尸OLAC,

又因為POn8D=。，

所以AC，平面PBD

變式1-2.如圖，在VABC中，M為邊BC的中點，沿AM將折起，使點8

在平面ACM外.在什么條件下直線AM垂直于平面瓦WC?

【答案】AB^AC

【解析】

【分析】

根據線面垂直的判斷定理分析即可求解.

【詳解】

解：由線面垂直的判斷定理有，要使直線AM垂直于平面BMC,

則應有AM垂直于MC,且垂直于MB,即AM是上的高，

又因為M為邊的中點，

所以AB=AC,即在AB^AC的條件下直線AM垂直于平面BMC.

變式1-3.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，V3CC］為正三角形，ACLBC,

AG=2及,AG=M=2,P為B用的中點，證明：平面ACQ

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

按照線面垂直的判定，證明CG垂直平面AG尸內的兩條相交線即可.

【詳解】

ACy—2-\/2,AG==2,得AC；=41；+AG~,C]CJ_AJCJ,

因為V3CG為正三角形，所以ABBC為正三角形.因為尸為B片的中點.所以GPL用2,

因為CCII4B,所以C/^GC,因為GPnAG=￡,c/，AQu平面人?！?

所以ccj平面AGP.

考點二面面垂直的判定

典例2.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，ZABC=60°,PA±ABCD,

且E,M分別為BC,的中點，點F為棱PC上一動點，證明：平面AEFL平面尸A。

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用面面垂直的判定定理即可得到證明

【詳解】

連接AC,

因為底面ABC。為菱形，ZABC=60°,所以三角形A3C為等邊三角形，

因為E為BC的中點，所以AEL5c

又AD〃3C,所以AEJLAD.

因為PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,所以

因為A￡)nAP=A,所以AE_L平面ADP.

又AEu平面AEF,故平面A￡F_L平面PAD

變式2-1.如圖，正三棱柱ABC-^旦儲中，AB=4,M=3夜，M,N分別是棱AG，

AC的中點，E在側棱AA上，^AiE=2EA,求證：平面MEBJ_平面3加；

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據定義，在平面MEB中找一條線讓其垂直平面瓦W即可.

【詳解】

在正三棱柱ABC-A笈G中，相，平面ABC,3Nu平面ABC,則441LBN.

N是棱AC的中點，AABC為正三角形，則BNJ.AC.

AAjHAC=A,BN_L平面的￡C,MEu平面AA1c】C,BNLME.

又A5=4,M=3A/2,AE=2EA,EA=垃,4E=2也,

4￡ANr~

引7=”=夜，則△4EM和△㈤VE相似，故/AEM=/ANE,

AJ/KZAE

ZA^EM+ZAEN=ZANE+ZAEN=90°,則有ZME7V=9O。，故ENLME.

ENcBN=N,ME_L平面5E7V,且MEu平面"仍，平面MEB_L平面5石N.

變式2-2.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側面SDC,底面ABCD,

求證：平面SCD，平面S3C.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由面面垂直的性質可得3c，面SDC,根據面面垂直的判定即可證平面SCD1■平面

SBC.

【詳解】

證明：由底面ABCD為矩形，則BC_LCD,

'：^SDC1^ABCD,ffiSDCI^ABCD=CD,BC^ABCD,

：.BCL^SDC,又3Cu平面SBC,

平面SCO,平面SBC.

變式2-3.已知AB是圓的直徑，Bl垂直圓所在的平面,C是圓上任一點.求證:平面

43<7，平面尸4。

p

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

先證直線平面PAC,再證平面ABC,平面PAC.

【詳解】

證明：「AB是圓的直徑，C是圓上任一點，二ZACB=90。，

???PA1平面ABC,BCu平面ABC,

???BCLPA,又PAnAC=A,

BC,平面PAC,又BCu平面ABC,

平面A3C_L平面尸AC.

【點睛】

本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應用，考查垂直關系的

簡單證明.

考點三線面垂直的性質

典例3.如圖，已知尸0,平面A8C,AC=3C,。為A8的中點，求證：AB1PC.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

通過線面垂直證明線線垂直即可.

【詳解】

證明：因為AC=BC,。為AB的中點，所以AB_LCD,

又尸0_L平面ABC,ABI平面ABC,所以AB_LPO,

又C￡>c尸0=0,且C。、尸Ou平面PDC,

所以平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以AB_LPC.

變式3-1.如圖所示，尸是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，2=1,P

在平面ABC內的射影為BF的中點0.證明R4，班\

【答案】證明見解析

【解析】

連結AD,則易知AD與郎的交點為。，利用線面垂直的判定定理及性質定理，即可

得證.

【詳解】

證明：連結AD,則易知AD與跖的交點為。，如圖所示：

由正六邊形的性質可得BP_LAO,

VBFA.PO,BFLAO,PO^AO=O,

：.3尸_1_平面AOP,

,?B4u平面AOP,

?\PAYBF.

變式3-2.如圖，在三棱錐P-ABC中，CD1AB,垂足為。，尸。,底面ABC,垂足

為。，且。在C。上，求證：ABA.PC.

p

B

【答案】證明見解析

【解析】

通過線面垂直證得尸A3,結合。。，43得回，平面尸0。，即可得證.

【詳解】

證明：底面ABC,向底面ABC,:.PO±AB.

在CO上,..POcCD=O.

又CDJ_A3,

二AB_L平面POC.u平面尸OC,.-.AB±PC.

【點睛】

此題考查線面垂直的性質和判定的綜合應用，利用線面垂直得線線垂直.

變式3-3.如圖，在空間四邊形PABC中，AC=BC,NACB=90。，AP=BP=AB.求

【答案】見詳解

【解析】

【分析】

先證線面垂直，進而由線面垂直推出線線垂直.

【詳解】

取43中點。，連結PD,CD.

■.■AP=BP,:.PD±AB.?：AC^BC,

CD_LAB.PD(~\CD=D,「.AB，平面尸CD.

?.?PCu平面PCD,:.PCA.AB.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的性質定理，屬于基礎題型.

考點四面面垂直的性質

典例4.在三棱錐尸-ABC中，。,￡分別為4民4(7的中點，且C4=CB.

⑴證明：BC〃平面PDE；

⑵若平面尸CD，平面ABC,證明：ABLPC.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)由中位線定理，可得小〃BC,再根據線面平行的判定定理，即可證明結果.

(2)由題意可證AB_LCD,再根據面面垂直的性質定理，可證平面尸CD,由

此即可證明結果.

(1)

證明:因為。，E分別為AB,AC的中點，

所以DE〃8C,

又OEu平面PDE,8co平面POE,

所以BC〃平面PDE；

(2)

證明：因為C4=CB,。為48的中點，ABLCD,

又平面PCD，平面ABC

平面PCDC|平面ABC=CD,

所以AB，平面尸CO

又PCu平面尸CD

所以AB_LPC.

變式4-1.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA=PD,底面ABCD是矩形，側面B4O

J_底面ABC。，E是AD的中點.

(1)求證：AD〃平面PBC；

(2)求證：平面B4。

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用底面是矩形，得到AD〃BC,進而證明〃平面P3C；

(2)由AB_LAD,再由面面垂直的性質定理證明.

【詳解】

(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，?.?底面ABCD是矩形，

J.AD//BC,

又AOO平面尸BC,BCu平面PBC,

...AD〃平面PBC；

(2)證明：?底面ABC。是矩形，

J.ABLAD,

又：側面陰。，底面A3C。，側面物r)n平面48CD=AO,4BU平面A3CO,

.?.A3,平面PAD.

變式4-1.如圖所示，△PDC所在的平面與長方形ABC。所在的平面垂直.

⑴求證：BC〃平面P/M；

(2)求證：BC±PD.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴根據給定條件利用線面平行的判定推理作答.

(2)由面面垂直的性質可得3C_L平面PDC,再利用線面垂直的性質推理得證.

(1)

因四邊形ABCD是長方形，則而BCU平面PD4,4)u平面PZM,

所以3c〃平面

(2)

長方形ABCD中，則BC，CD,平面PDC±平面ABCD,平面PDC[\平面ABCD=CD,

BCu平面ABCD,則有平面PDC,又PDu平面PDC,

所以BCJ.PD.

變式4-2.如圖，P是四邊形ABC。所在平面外的一點，四邊形ABC。是ZDAB=60。的

菱形，PA=PD,平面PAD垂直于底面ABC。，G為4D邊的中點.求證：

A

(1)3G，平面PAD；

(2)AD±PB.

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴利用面八4￡>，面ABCD得至U3G_L平面PAD；

⑵證明">"L面尸3G,從而得

(1)

???四邊形ABC。是"4?=60。的菱形，

為等邊三角形，又G為AD的中點，：.BG±AD,

又?.?平面平面ABC。，BGu平面ABCD,平面2⑦口平面=短)，

/.3G_L平面PAD；

⑵

VPA=PD,G為AD的中點，/.PGLAD,

又BGLAD,BGC\PG^G,BG,尸Gu平面PBG,

，AD,平面P3G,又?.?尸3u面PBG,

AD±PB.

鞏固練習

練習一線面垂直的判定

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，陰，平面ABCD,AD±CD,AD//BC,陰=40=8=2,

PF1

BC=3.E為PD的中點，點/在PC上，5.—=",求證：aa平面出D

【答案】證明見解析

【解析】

由陰，CO,AO,CD即可得出.

【詳解】

因為陰，平面ABC。，CDu平面ABC。，

所以陰J_CD,

又因為ADLCD,PAoAD^A

所以8,平面PAD.

2.如圖，在四棱錐F—ABCD中，PB_L平面ABC。，ABLBC,AD//BC,AD=2BC,

點E為棱P。的中點.

P

⑴求證：CE〃平面血&

⑵求證：平面

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)構造平行四邊形證明線面平行即可；

(2)根據線面垂直得線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直.

【詳解】

(1)證明：取B4中點R連接ERBF,因為E為PD中點，尸為陰中點,

又因為BC〃AD,且=

所以EF/IBC,且EF=BC.

所以四邊形BCE/為平行四邊形，

所以CE〃班

因為CE.平面朋瓦BFu平面朋3

所以CE〃平面PAB.

(2)因為尸3,平面A8CD,ADu平面48co

所以PB_L4)

又因為ABL3C,AD//BC

所以M_LAB,

又ABcPB=B,48、必u平面以8

所以ADL平面PAB.

3.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABC。是正方形，如，平面A3CD.

⑴求證：BC//平面PAD；

(2)求證：ACJ■平面PB￡).

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用線面平行的判定定理即可證得；

(2)利用線面垂直的性質定理及線面垂直的判定定理即可證得.

(1)

由底面A3CD是正方形，.?.BC7/AD

又3C<Z平面PAD,ADu平面PAD,3C〃平面PAD

(2)

?.?PD_L平面A3CD,ACu平面ABCD,:.PD±AC

又底面ABC。是正方形，；.LAC

又BDC\PD=D,8￡),尸￡)(=平面尸8￡),；.47_1_平面汽8￡(

4.如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,

AB=AD=2,CD=4,用為CE的中點.

⑴求證：3A///平面AD￡F；

⑵求證：BCL^^BDE.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

(1)取OE中點N,連結MN,AN,證明四邊形何W為平行四邊形，從而可證

3A///平面42EF；

(2)先證明瓦〃平面ABCD,可得EDLBC,再利用勾股定理，證明5C_L8D,利

用線面垂直的判定定理，證明平面BDE.

(1)

證明：取OE中點N,連結MN,AN.

在△EDC中,M,N分別為EC,ED的中點，

所以MN//CD,^.MN=~CD.

由已知AB〃CD,AB=^CD,

所以MN//AB,且A?V=AB.

所以四邊形為平行四邊形.

所以3M//AN.

又因為4Vu平面4)￡F,且BMC平面ADEF,

所以//平面42EF.

⑵

證明：在矩形AT>￡F中，EDVAD.

又因為平面ADEF，平面ABCD,

且平面AD￡F口平面ABCD=AD,

所以瓦)_L平面A3CD.

因為BCu平面ABCZ).

所以￡D，3C.

在直角梯形ABCD中，AB=AD^2,CD=4,可得BC=2五.

在△BCD中，BD=BC=2貶,CD=4,

\S^IBD2+BC2=CD2,所以BCLBD.

因為8￡>cDE=￡),班^力石匚平面^^,

所以3C_L平面3￡>E.

練習二面面垂直的判定

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中,四邊形A3CD是菱形，尸A=PC,E為尸3的中點.

p

⑴求證:〃面AEC;

（2）求證:平面AEC±平面PDB.

【答案】（1）要證明線面平行，則可以根據線面平行的判定定理來證明.

（2）對于面面垂直的證明，要根據已知中的菱形的對角線垂直，以及ACJ■面也犯來

加以證明.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）由題意得只需在平面AEC內找一條直線與直線PD平行即可.設

AC[\BD=O,連接EO,由三角形中位線可得?。11萬。即得；（2）連接PO,由題意

得POLAC,又底面為菱形，則AC_LBD,由面面垂直的判定定理即得.

試題解析：（1）證明：^AC^BD=O,連接E0,因為O,E分別是BD,PB的中

點，所以

而面AEC,E0u面AEC,所以PD〃面AEC

（2）連接P0,因為PA=PC,所以AC,尸O,又四邊形ABCD是菱形，所以ACL8D

而POu面尸3D,BDu面PBD,PO[}BD=O,所以AC_L面尸3。

又ACu面AEC,所以面AEC_L面尸3。

p

考點：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理；

6.四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，NAD為等腰直角三角形，NAPD=90。,

面PAD上面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分別為PC和BD的中點.

(1)求證：EF〃面PAD；

(2)求證：面PDCL面PAB；

P

B

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據線面平行的判定定理，只需在面PAD內找到一條線與EF平行，由中點想

到中位線，即可證出；(2)根據面面垂直的判定定理，只需在其中一個面內找到一

條直線垂直于另一個平面即可.

【詳解】

(1)連接AC,「ABCD為矩形，且F是BD的中點，，AC必經過F

又E是PC的中點，所以，EF〃AP.

EF在面PAD外，PA在面內,EF〃面PAD.

(2)VffiPADlffiABCD,CD±AD,ffiPADAffiABCD=AD,；.C"面PAD,

又APu面PAD,.\AP±CD

又?.,APLPD,PD和CD是相交直線，AP±ffiPCD

又APu面PAB,所以，面PABL面PDC

【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的應用，牢記定理條件

是解題關鍵.

7.如圖，在四棱柱A2CD-4環物中，平面AA四，底面ABCD,且乙鉆C=(

(1)求證:BC〃平面ABG；

(2)求證：平面A平面A3c.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

【詳解】

(1)立體幾何中線面平行的證明，可根據線面平行的判定定理來進行證明，只需證

明直線與該平面內的某一直線平行即可，一般常用的方法是平行四邊形對邊平行的

性質或者是三角形中位線與底邊平行的性質；(2)可根據面面垂直的判定定理來進

行證明，一般思路是“面面垂直。線面垂直o線線垂直”的過程.

試題解析：(1)在四棱柱ABCD-44GA中，BCUBQ

因為3C平面ABg,Beu平面ABJCJ,

所以3c〃平面ABG.

(2)因為平面AA叫，底面A3CD,平面AA叫c底面ABCD=AB,3Cu底面ABC。，

jr

且由/ABC=5知ABLBC,

所以3CL平面

又BCUBG,

故耳CJ平面AAB耳.

而4Gu平面4耳G,

所以平面AA881平面ABC.

8.如圖所示，在四棱錐P-ASCD中，ADUBC,ADYAB,面筋8_1面上鉆.

p

求證：(1)AD//平面PBC；

(2)平面P3C_L平面

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)由題可得4)〃BC,根據線面平行的判斷定理可證/⑦〃平面PBC；

(2)由題，易得3C_LAB,再利用面筋8_1面245可得灰」面上45,即得證.

【詳解】

⑴■「AZ)//BC,BCu面P3C,A￡)U面P3C,.\AD//平面尸BC

(2)VAD//BC,ADLAB；.BC1,AB

?.?面上48，面45。￡>,面PABc面ABCD=AS,BCu面ABCD,BCl^PAB,

又BCu面BBC，，面PBC_L面PLB

【點睛】

本題主要考查了空間幾何中平行以及垂直的判斷定理和性質定理，熟悉定理是解題

的關鍵，屬于較為基礎題.

練習三線面垂直的性質

9.P為正方形ABCD所在平面外一點，PA±ffiABCD,AE±PB,求證：AE±PC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由已知中P為正方形ABCD所在平面外一點，物_1_面488,結合正方形的幾何特

征,我們易得到平面PAB,由線面垂直的性質得到BC±AE,結合已知中

及線面垂直的判定定理，得到平面P3C,最后再由線面垂直的判定定理，即可

得至（JAE1PC.

【詳解】

證明：VMlffiABCD,

：.B\A_AD

X,'BC//AD

J.PALBC

又由ABLBC,PA^AB=A

.,.BC,平面PAB

又AEu平面PAB

：.BC±AE

又由AELPB,BCnPB=B

二4八平面PBC

又「PCu平面PBC

：.PC±AE

【點睛】

本題考查知識點是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握

正方形的幾何特征及線面垂直的判定定理和性質是解答本題的關鍵.

10.如圖，已知在正方體ABCD-A4G2中，E為AC的中點.求證：CEA.BD.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

由正方體性質知比），AC且AA，面ABCD,再根據線面垂直的性質BD,由

線面垂直的判定及性質即可證結論.

【詳解】

連接AC,在正方體A8CD-A4GQ中&)_LAC且AA，面ABC。,

又5￡>u面ABC。，則AA，5D,>AAPIAC=A,AA、ACu面AC￡A,

所以8〃_1面4<^￡4,又CEu面ACGA，即CE_LBD.

11.如圖，在三棱錐S-A5c中，AB^AC,SB=SC.求證：SAVBC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

轉化為證明線面垂直，再利用線面垂直的性質得出結論.

【詳解】

如圖：取BC的中點。，連接SD、AD.

因為AB=AC,S3=SC,所以ACBC,SDLBC.又5/不位>=。，SDu平面SAO,ADu

平面&W,所以BC_L平面&4D又SAu平面SAD,所以81_LBC.

12.如圖，正方體ABC。-ABCQ中，求證ACL8。.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

證明80與平面MC垂直后可得線線垂直.

【詳解】

證明：如圖，連接AC,

ABCD是正方形，則ACL8D,

又44,，平面ABC。，BDu平面A5CD,所以

AA^AC=A,AA，ACu平面A",所以跳〃平面A",

又因為ACu平面AAC,所以BD_LAG.

練習四面面垂直的性質

13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是直角梯形，且AD〃BC,ABLBC,

BC=2AD,已知平面陰8,平面A3CO,E,F分別為BC,PC的中點.

求證：（1）ABH平面DEF-,

（2）DEF.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）由四邊形皿方是平行四邊形，利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）利用面面垂直的性質定理，以及線面垂直的定義，可得BCLPB,又因為

BC1DE,利用線面垂直的判定定理可得命題成立.

【詳解】

證明：（1）因為仞/ABC,BC=2AD,E為BC的中點.，

所以AD0E,所以四邊形4）班是平行四邊形，

所以

又因為ASa平面DEF,DEu平面。呼

所以AB〃平面OEF.

（2）因為平面平面ABCD

平面RIBc平面ABCD=A5

AB1.BC,BCu平面ABCD

所以平面

因為PBU平面R48

所以BCLPB

因為分別為BC,PC的中點，

所以EF//BB,所以3c_L￡F

因為BC1AB

所以BCLOE

因為￡)Eu平面￡>￡F,￡Fu平面￡)￡F,DE[\EF=E

所以2C_L平面DEF.

14.如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是半圓弧上異于C,

。的點.

(1)證明：直線平面3MC；

(2)在線段A"上是否存在點尸，使得MC//平面尸3D?說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由面面垂直的性質可得3CL平面CMD,繼而得BCLZMf,結合DMLOW可

證；

(2)當P為AM的中點時，MC〃平面P6D,連結AC交8。于。，連結。P,由MC

//0P可證.

【