湖南省長郡十八校2024-2025學年高一上學期12月檢測數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。={-1,0」,2,3,4},A={1,3},則即A=()

A.{0,2,4}B.{-1,0,2,4}C.{1,3}D.{-1,1,3}

2.已知弧長為兀的弧所對的圓心角為則該弧所在的扇形面積為()

3兀一兀-2兀-3兀

A.——B.-C.——D.——

2334

3.在平面直角坐標系中，若角。與夕的終邊關于>軸對稱，則角。與夕之間的關系滿足().

A.a+°=式B.a+J3=2kitCkGZ)

C.a+4=E(kEZ)D.a+/?=(2左+1)兀(左WZ)

4.4知函數/(x)=(x—a)(x—6)(其中a,b為常數,且6<a),若/⑺的圖象如圖所示，

則函數g(x)=，+6的圖象是()

5.函數/(x)=j_1+8x的單調遞減區間是()

A.（4,+oo）B.（0,4）C.（4,8）D.（-oo,4）

6.已知函數/(x)=d—x_i在區間［1,1.5］內的一個零點附近函數值用二分法逐次計算的結

果如下表所示，

X11.51.251.3751.3125

/W-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程》3一彳_1=0的一個近似根(精確度為0.1)為()

A.1B.1.5C.1.25D.1.3125

7.己知。=logs2,6=c=ln3,貝U〃、b、c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.已知二次函數〃x）=?x2+x+c（xeR）的值域為［0,”），則9+這的最小值為（）

ca

A.6B.8C.10D.12

二、多選題

9.已知命題p:X/x￡Re2-ar+l>0,則命題。成立的一個充分條件可以是()

A.ae［0,4)B.a=4C.ae(0,4)D.a=0

Y—3

10.關于函數〃x)=ln',下列結論正確的是()

A.若函數g(x)=ln(x-3)-ln(x+l),則與g(x)是同一個函數

B./(%)是奇函數

C./(%)的圖象關于點(1,0)對稱

D./(X)的值域為(-8,0)5。，+8)

1L已知定義域為(7,0)U(0，y)的函數“X)滿足:〃取)=〃x)+〃y)-4,且當X>1時,

〃力>4,則()

試卷第2頁，共4頁

A.〃T)=4

B.的圖象關于了軸對稱

C.〃x)在(0,+巧上單調遞減

D.不等式"2)+"x+2)<"x-1)+4的解集為(-5,-2)U(-2,-1)

三、填空題

12.已知幕函數/(x)=(/+a-5卜"的定義域是R,則。=.

13.在不考慮空氣阻力的條件下，飛行器在某星球的最大速度v(單位：km/s)和所攜帶

的燃料的質量M(單位：kg)與飛行器(除燃料外)的質量m(單位：kg)的函數關系式

近似滿足2。=。+”(。為常數).當攜帶的燃料的質量和飛行器(除燃料外)的質量相等

m

時，V約等于2.9km/s,當攜帶的燃料的質量是飛行器(除燃料外)的質量的13倍時，V約

等于5.8km/s,則常數6的值為.

_>0

_二一八關于X的方程/(%)—24(%)+。—1=O(Q￡R)有四個相

-ln(x+l),x<0

異的實數根，則。的取值范圍是.

四、解答題

15.計算：

+^(-10)2-2^x^/27-7i0x且；

I9J12J

(2)log5125+1g康+In直+2幅3+1iOg23-log98.

16.已知a>0,b>0,S.2a+b—4ab=0.

(1)證明：ab>^-

(2)求。+2〃的最小值.

17.已知函數/(%)='詈為奇函數.(e為自然對數的底數，e?2.718)

⑴求。的值及函數的值域；

(2)用函數單調性的定義證明函數無)在R上是增函數；

⑶求不等式/■(4一￡)+/(4-5*2-，卜0的解集.

18.已知函數/(x)=x|2a-x|+fev,aeR.

⑴當〃=_2時，若函數/(x)恰有兩個不同的零點，求實數。的值；

(2)當方=2時，若函數/(x)在R上是增函數，求實數。的取值范圍；

(3)當匕=2時，若存在實數ae[0,2],使得關于x的方程/(力-獷(2?)=0有三個不相等的實

數根，求實數f的取值范圍.

19.設集合A是至少有兩個元素的實數集，集合尸(4)={2|2=孫"廣€4且工力耳，稱集合

尸(A)為集合A的積集.

⑴當A={1,2,4,8,32}時，寫出集合A的積集-A)；

⑵若A={4%，/，%}是由4個正實數構成的集合，求其積集打A)中元素個數的最小值；

(3)若4={4%，/，%}是由4個有理數構成的集合，積集E(A)=~8,-求

集合A中的所有元素之和.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BADABDDCACDCD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】根據補集的概念求出答案.

【詳解】^A={-1,0,2,4}.

故選：B

2.A

【分析】求出扇形的半徑，利用扇形的面積公式可求得結果.

=--3

【詳解】由題意可知，扇形的半徑為rK,

3

13幾

因此該扇形的面積為5=丁兀、3=工.

22

故選：A.

3.D

【分析】根據題意得到。+尸=兀，即可求解.

【詳解】由題意，角。和夕的終邊關于y軸對稱，

貝!]a+/?=（2左+1）兀（ZeZ）.

故選：D.

4.A

【分析】由圖可得b<-l<0<a<l,計算出g（0）并結合指數函數性質即可得解.

【詳解】由圖可得

則有g（O）=a°+b=b+l<0,且該函數為單調遞減函數.

故選：A.

5.B

【分析】先求出函數定義域，由復合函數單調性可知，只需求解仁-d+8x在（0,8）內的單

調遞增區間，結合開口方向和對稱軸，得到答案.

答案第1頁，共14頁

【詳解】由題意得一一+8彳>0,解得0〈尤<8,故〃x）=:的定義域為（0,8）,

y—X+8%

由于y=[在（。,+8）上單調遞減，由復合函數單調性可知，

故只需求解f=-無2+8x在（0,8）內的單調遞增區間，

仁-尤?+8x開口向下，對稱軸為尤=4,故（0,4）即為所求.

故選：B

6.D

【分析】由零點存在性定理和1.375-1.3125=0.0625<0.1,得到方程的一個近似根為1.3125.

【詳解】由于=在R上為連續函數，

/（1.375）=0.2246>0,/（1.3125）=-0.05151<0,

且1.375-1.3125=0.0625<0.1,

Jfj]1.5-1=0.5>0.1,1.5-1.25=0.25>0.1,1.375-1.25=0.125>0.1,均不合要求，

故方程尤3_彳_1=0的一個近似根為1.3125,D正確

故選：D

7.D

【分析】利用指數函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出。、6、。的大小關系.

【詳解】因為對數函數yTogs》、y=lnx在（0,+co）上均為增函數，

所以，a=log52<log5亞=；,c=ln3>Ine=1,

因為指數函數y=在R上為減函數，則g<d<U°=i，即;<6<1,

因止匕，c>b>a.

故選：D.

8.C

【分析】根據二次函數的值域得到故口>0，C>O，ac=J,變形后利用基本不等式求出最

小值.

【詳解】二次函數〃力二垢+小豌口對的值域為乩依）,

故。>0,A=I2—4ac=0,故ac=：,

答案第2頁，共14頁

二匚|、|八。+2。+2+c2+2tz+2c./22\o/\

所以c>0,----+----=--------------=4/+/+8（〃+c）

caac'）

>Sac+8x2\[ac=2+8=10,

當且僅當/=c2,a=c=g時，等號成立，

故史工+T的最小值為10.

ca

故選：c

9.ACD

【分析】分。=0和4力0兩種情況，結合二次函數的性質得到不等式，求出。e[o,4）,命題

P成立的一個充分條件是。e[0,4）的子集，得到答案.

【詳解】VxeR,ax2-6ix+l>0,當。=0時，1>0,滿足要求，

a>0

當。片0時，需滿足《八2,八，解得0<。<4,

A=（-a）-4a<0

綜上，ae[0,4）,命題P成立的一個充分條件是。目0,4）的子集，

故ae[0,4）,ae（O,4）,a=0均滿足要求.

故選：ACD

10.CD

【分析】利用函數相等的概念可判斷A選項；利用函數奇偶性的概念可判斷B選項；利用

函數對稱性可判斷C選項；利用對數函數的值域可判斷D選項.

【詳解】對于函數〃x）=ln=,有=>0,解得x<T或x>3,

人?1?1

丫一q

所以，函數的定義域為（-<?,-1）53，收），

對于函數g（x）=ln（x-3）-ln（x+l）,有解得x>3,

所以函數義"）=111（工-3）-山（犬+1）的定義域為（3,+0））,

所以這兩個函數的定義域不相同，A錯；

對于B選項，因為函數/（尤）的定義域為（為,-1）口（3,y）,定義域不關于原點對稱，

所以函數/'（X）不是奇函數，B錯；

答案第3頁，共14頁

oYq_丫iY_i_i-y-q

對于c選項，因為〃2-尤)=ln、^=ln二口=ln與2=-111二=一〃耳,

2—尤+1—x+3x~3x+1

所以函數/(%)的圖象關于點(1,0)對稱，C對；

對于D選項，因為當龍￡(-8,-1)時，x+l<0,

則----=-------=1----->1,此時，f(x)=\n---->0,

x+1x+1x+lX+1

當無￡(3,+oo)時，x+1>4,貝!J0<---<—,-----=------=1------￡(0,1),

x+14x+1x+1x+1

丫-q

此時"x)=ln±/<0,

綜上所述，函數〃x)的值域為(3,O)U(O,心)，D對.

故選：CD.

11.ABD

【分析】A選項，賦值法得到了(1)=4,進而賦值得到/(-1)=4；B選項，令》=-1得，

〃r)=〃x),B正確；C選項，令x=x"y=三，0<%<々，由定義法得到在(0,+巧

玉

上單調遞增，C錯誤；D選項，變形得至叱(2x+4)</(x-l),在BC基礎上，得到不等式，

求出解集.

【詳解】A選項，/(孫)=/(x)+/(y)_4中，令無=y=l得=

解得/⑴=4,

令x=y=T得=4,解得〃-1)=4,A正確；

B選項，/(孫)=/(x)+〃y)—4中，令y=T得，

/(-^)=/(x)+/(-l)-4=/(x),故〃x)的圖象關于了軸對稱，B正確；

C選項，/(?)=/(x)+/(y)_4中，令x=髭,y=上，其中Ov&vx?,

x\

則〃3)-/(元1)=7—V4>

因為當X>1時，/(x)>4,且手>1，所以/］彳卜4,

所以〃(西)>。，/伍)>/(%)，

答案第4頁，共14頁

所以〃尤)在(。,+巧上單調遞增，c錯誤；

D選項,因為〃孫)=/(x)+〃y)—4,所以〃2)+/(x+2)—4=〃2x+4),

故/(2)+/(x+2)</(尤-l)+4=〃2)+/(x+2)—4</(x-l),

即*2尤+4)<〃x-l),

由BC選項知，在(0,+")上單調遞增，又為偶函數，

尤一l|)n|2x+4|<|尤一］,且2x+4w0,x—l彳0,

|2x+4|<卜-1|兩邊平方得尤2+6x+5<0,

彳導—5<x<-1,x片一2,x21,

所以不等式“2)++2)<"x-1)+4的解集為(-5,-2)U(-2,-1),D正確.

故選：ABD

【點睛】抽象函數的單調性或奇偶性研究，通常情況下要利用賦值法，得到特殊點的函數值,

再進行合理賦值，結合函數的單調性的定義，奇偶性的定義進行求解

12.2

【分析】根據幕函數的系數為1，求出。的值，再結合募函數的定義域進行檢驗即可.

【詳解】因為函數/■(元)=(1+。-5卜。為塞函數，則/+._5=1,即標+a-6=0,

解得a=2或a=-3,

當4=2時，函數/(x)=f的定義域為R,合乎題意；

當a=-3時，函數〃同=-=*的定義域為國元片0},舍去.

綜上所述，a=2.

故答案為:2

13.3

【分析】根據題意得到方程組，聯立求出2?=4,進而求出人=3.

M—M

【詳解】由題意得，當〃=加,一=1時，2a=b+—=b+l@,

mm

M-M

當一=13時，2“=b+—=b+13@,

mm

答案第5頁，共14頁

空(空、

②-①得，2"2丁-1=12,解得2看=4,負值舍去，

I71

29

所以6+1=2工=4,解得6=3.

故答案為：3

14.(-co,0)u(l,+oo)

【分析】分析函數〃尤)的性質并作出圖象，令/(x)=r,把問題轉化為方程2勿+。-1=0

有兩個不等實根，再確定根所取值情況，結合一元二次方程根的分布求解.

【詳解】函數Ax)的定義域為(T田),當尤＜0時,函數〃無)=Tn(x+l)在(-1,0)上單調遞

減，

當尤20時,函數/'(尤)=-/+2x在［0,1］上單調遞增，在［L+8)上單調遞減，

在坐標系內作出函數/(X)的圖象,

令/(X)=，，方程r(尤)-24(x)+a-1=0(。eR)有四個相異的實數根,

則方程g(t)=/一2af+a-l=。有兩個不等實根。,4(4＜芍)，

函數y=/(x)的圖象與直線、=4,〉=/2的圖象一共有4個交點,

匿［公：或［°<了1

由圖象知,

0<z2<1［t2=1［t2>1

:<。fg(0)=a-l<0

解得a＜0；

0<r2<r何［g⑴=_q>0

4=。p(0)=a-l=0

無解;

t2=l'侍［g(l)=-a=0

0<?!<lzsfg(0)=?-l>0

解得。＞1,

t2>1，佝［g⑴=_q<0

所以a的取值范圍是(-°°,0)5L+8).

答案第6頁，共14頁

故答案為：(YO,0)51,yO)

15.(1)4

⑵2

2

【分析】(1)利用指數的運算性質計算可得所求代數式的值；

(2)利用對數的運算性質、換底公式計算可得所求代數式的值.

1

【詳解】⑴原式若"山屋L河+—一："

⑵原式=3-3+雪3+2.叱隹二+2.更也4+1，

23In2ln3223In22In322

16.(1)證明過程見解析

⑵:

【分析】(1)由基本不等式得到2〃+匕22缶從而得到4H22A/^,證明出結論;

(2)變形得到“+：=1，由基本不等式的妙用求出最小值.

【詳解】(1)已知。＞0,人＞0,且2〃+Z?=4而,

由基本不等式得+BP4ab＞2^/2^,解得abwg,

當且僅當2a=b,即。=1,6=1時，等號成立，證畢;

2

(2)因為且2〃+b=4而，

所以

所以。+26=(。+26)「-1-+-1-]=幺+4+1+223+2、回萬

\\2b4a)2b42a4\2b2a

當且僅當導=，，即4=6=1時，等號成立，

2b2a4

9

故。+2》的最小值為:

4

17.(l)a=—l,(-1,1)

(2)證明見解析

⑶[-2,0]

【分析】(1)利用奇函數的性質求出，再求出函數值域.

(2)利用函數單調性的定義，結合指數函數單調性推理證明.

答案第7頁，共14頁

(3)利用函數奇偶性和單調性，把不等式轉化為代數不等式，再借助一元二次不等式求解.

【詳解】(1)因為函數/=為奇函數，定義域為R,所以〃r)+〃x)=o.

所以-----+-----=0=------+-----=0n(〃+l)e+1=0

e-x+lex+lex+lex+l'八)

因為e'+lwO,所以。+1=0,所以a=—1.

所以"x)=K=l-二17，

ex+lex+l

i_92

因為％cR,所以e，+l>l=0<-^~;vl=-2<-^<0——1<1---<1,即

e+1e+1e+1

/(x)e(-l,l).

所以函數f(x)的值域為：(-1,1).

(2)設占<%，

周外—e二l_(e*T(eJlHe=l)(eJl)2d一內

人」"2)八)-西rg-d+i)e+i)一(41取+

因為玉<々，所以0<e*YeH,于是砂-9>0,e也+1>0,*+1>0,

所以〃9)-〃孑)>。即〃%2)>〃不).

所以函數/■(“在R上單調遞增.

(3)由廣(4-1+/(4-5x2T)W0n/(4T)W-14-5x2-)

因為函數f(x)為奇函數，且在R上單調遞增.

所以/(4-*)4/(5x-4)=>45x2一工-4n(2一，『-5x2一，+4W0

所以(2-*-1)(2-*-4/0=^l<2"x<4=>0<-x<2^-2<x<0.

即所求不等式的解集為：[-2,0]

18.(1)。=±1

⑵-iWaWl

答案第8頁，共14頁

/、??\x2-（2a+2]x,x>2a

【分析】⑴寫出=x2〃一％-2%={zx，分av-1,a=—1,〃=1,

11\-x2+（2a-2）x,x<2a

-IvavO,0<（7<l,等情況，結合函數圖象，求出零點個數，得到〃=±1；

（2）根據函數的對稱軸和特殊點函數值，得到當即-”“41時，〃元）在

R上單調遞增；

（3）分0*41和1<〃42兩種情況，結合函數單調性，得到當/（2〃）<"（2〃）<"〃+1）時，

關于X的方程/（力=/（2。）有3個不等實根，即4"4R<（a+l）2,所以l<t<，a+：+2],

設/[伍）=；。+1+2],故只需,<旗4）皿，求出〃⑷1mx=〃⑵=[求出實數，的取值范圍

是葭]

【詳解】（1）〃=一2時，f（x）=x\2a~x\-2x=\/,么°,

[—X+\2a-2）x,x<2a

當了之2。時，的對稱軸為％=a+l,

當xv2a時，/（%）的對稱軸為x=a-l,

當av-l時，2〃<〃一1<1+1,

此時函數圖象如下：

其中令/一（2〃+2）%=0,解得x=2a+2或0,滿足要求，

令一+（2。-2）尤=0,解得x=2a-2<2a,滿足要求，0舍去，

故此時有3個零點，不合要求，舍去；

當Q=-1時，

答案第9頁，共14頁

X2,X>-2

故"x)=

一f—4x,x<—2

令Y=o得x=0,滿足要求，

令一%2—4%=0,解得了=-4或0（舍去）,

滿足f（x）恰有兩個不同的零點;

當“=1時'/⑺弋二『2'

令X2一4%=0,解得％=4或0（舍去）,

令_爐=0,解得兀=0,滿足要求，

滿足了（“恰有兩個不同的零點；

當一IvavO時，a-l<2a<a+l,

畫出函數圖象，如下：

令％2_（2a+2）x=0,解得％=0或2。+2,滿足要求,

令—幺+（2a—2）x=0得％=2。—2或0（舍去），滿足要求,

此時“可有3個不同的零點，不合題意;

當0<a<l時，a-1<2a<a+\,

畫出函數圖象，如下：

答案第10頁，共14頁

令f—（2a+2）x=0,解得x=2a+2或。（舍去）,

令-42+（2々-2卜=0得％=2〃-2或0,滿足要求,

此時“X）有3個不同的零點，不合題意；

當a>l時，2a>a+l>a-l,畫出函數圖象，如下:

令-f+（2a-2）%=0,解得x=2a-2或0,

故此時有3個零點，不合要求，舍去；

綜上，/（力恰有兩個不同的零點，則，=±1;

x2+(2—2〃)羽x22a

(2)Z?=2時，/(x)=x|2a-x|+2%=<

-x2+(2+2〃)％,x<2a

當x之2〃時，/（%）的對稱軸為尤=a-1,

當xv為時，/（%）的對稱軸為％=。+1,

答案第11頁，共14頁

并且（2a）+（2—2Q）?2a=—（2〃）+（2+2〃）?2〃=4〃，

故當〃一142〃4々+1,即-IWQKI時，/（x）在R上單調遞增;

/（x）-以2〃）=。的解即為方程=口2〃）的解，

當OWaVl時，〃可在R上單調遞增；

故關于x的方程/（力=tf（2a）不可能有三個不等的實根，

當1<〃W2時，2〃〉〃+1>々一1,

〃x）在（-M+1）上單調遞增，在（。+1,2。）上單調遞減，在（2”,+e）上單調遞增,

當/（2〃）<力（2〃）</（々+1）時，關于%的方程"元）=以2〃）有3個不等實根，

即4a<4at<（a+1）2,

因為a>l,所以---|,

ClH----F2，故只需，<力（。）

a

由對勾函數性質可知，〃（）

a=:ClH----F2在ae（L2]上單調遞增,

a

9

故〃⑷“小卜二

故若存在實數ae[0,2],使得關于x的方程/（x）_/（2a）=0有三個不相等的實數根,

實數/的取值范圍是

【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法，使不等

式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含

參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不

等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.

19.（1）F（A）={2,4,8,16,32,64,128,256}

（2）5

答案第12頁，共14頁

【分析】(1)根據題意，得到"A)={2,4,8,16,32,64,128,256}；

(2)不妨設0<%<%<%<%，推出尸(A)中的元素個數大