專題09概率

考點一：古典概型

1.（2023?北京）某銀行客戶端可通過短信驗證碼登錄，驗證碼由0,1,2,....9中的四個數字隨機組成

（如"0013"）.用戶使用短信驗證碼登錄該客戶端時，收到的驗證碼的最后一個數字是奇數的概率為（）

I1-11

A.-B.一C.-D.—

24816

2.（2023?河北）某旅游愛好者想利用假期去國外的2個城市和國內的3個城市旅游，由于時間所限，只能

在這5個城市中選擇兩個為出游地.若他用"抓閹”的方法從中隨機選取2個城市，則選出的2個城市都在國

內的概率是（）

3113

A.-B.-C.-D.—

52310

3.（2023?江蘇）從甲、乙、丙、丁4名同學中任選3名同學參加環保宣傳志愿服務，則甲被選中的概率為（）

1123

A.—B.-C.—D.一

4334

4.（2023春?福建）"敬驊號"列車一排共有A、B、C、D、F五個座位,其中A和尸座是靠窗位，若小曾同

學想要坐靠窗位，則購票時選到A或歹座的概率為（）

1234

A.—B.-C.—D.一

5555

5.（2023春?湖南）某中學高二年級從甲、乙兩個紅色教育基地和丙、丁兩個勞動實踐基地中選擇一個進

行研學，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.-

6432

6.（2023,云南）單項選擇題是標準化考試中常用的題型，是從A、8、C、。四個選項中選擇一個正確答案.

假設考生有一個單項選擇題不會做，他隨機選擇一個答案，答對的概率是（）

1?1

A.1B.-C.-D.-

324

7.（2022春?天津）從2名女生和3名男生中任選2人參加社區服務，則選中的2人都是女生的概率為（）

8.（2022春?浙江）袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中隨機摸出1個球,

則摸到黃球的概率是（）

9.（2022秋?福建）隨機投擲一枚質地均勻的骰子，出現向上的點數為奇數的概率是（）

10.（2022春?貴州）同時拋擲兩枚硬幣，則兩枚硬幣都是“正面向上〃的概率為（）

1123

A.一B."C.-D.一

4234

11.（2021春?天津）盒中有3個大小質地完全相同的球，其中1個白球、2個紅球，從中不放回地依次隨

機摸出2個球，則兩次都摸出紅球的概率為（）

11_25

A.—B.-C.-D.一

3236

12.（2021春?福建）從甲、乙、丙三位同學中，任選兩位同學參加數學競賽，則甲同學被選中的概率是（）

2111

A.-B.-C.—D.一

3236

13.（2021秋?福建）根據防疫要求，需從2名男醫生和1名女醫生中任選2名參加社區防控服務，則選中的

2名都是男醫生的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.-

6323

14.（2021秋?河南）同時擲兩個均勻骰子，向上的點數之和是7的概率是（）

1111

A.—B.-C.—D.—

34612

15.（2021?湖北）中國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是"每

個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和如4=2+2,6=3+3,8=3+5,…，現從3,5,7,11,13

這5個素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于16的概率是（）

,1132

A.—B.—C.—D.一

105105

16.（2021秋?廣東）連續拋擲兩枚骰子，向上點數之和為6的概率為（）

1151

A.—B.—C.—D.一

1211366

17.（2023?山西）從1,2,3,4這4個數中，不放回地任意取兩個數，兩個數都是偶數的概率是.

18.（2023春?新疆）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，則恰好出現一次6點的概率是.

19.（2022秋?廣東）從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學參加活動，則甲、乙兩人中恰有一人被選中的

概率為.

20.（2021秋?貴州）從1,2,3,4,5這五個數中任取一個數，則取到的數是偶數的概率為.

21.（2023春?新疆）從3名男生。力,c和2名女生X。中隨機選出2人參加社區志愿者活動，每人被選到的

可能性相同.

（1）寫出試驗的樣本空間；

⑵設M為事件"選出的2人中恰有1名男生和1名女生"，求事件M發生的概率.

22.(2022春?遼寧)為形成節能減排的社會共識，促進資源節約型.環境友好型社會的建設，某市計劃實

行階梯電價.調查發現確定階梯電價的臨界點是市民關注的熱點問題.現從關注此問題的市民中隨機選出

200人，將這200人按年齡分組，第一組［15,25),第二組［25,35),第三組［35,45),第四組［45,55),第五

組［55,65).作出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中。的值；

⑵假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，請估計全市關注此問題的市民年齡的平均數；

⑶現在要從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查，求

從第二組中恰好抽到2人的概率.

23.(2021秋?吉林)一個盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支為一等品(記為A，4,A),2支為二等品

(記為與，BQ,從中隨機抽取2支進行檢測.

⑴寫出這個試驗的樣本空間Q;

(2)求抽取的2支圓珠筆都是一等品的概率.

24.(2021秋?青海)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學單位時間內引體向上的次數，乙組記

錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示.

880X789

001

（1）如果X=7,求乙組同學單位時間內引體向上次數的平均數；

⑵如果X=8,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學單位時間內引體向上次數和為17的概

率.

考點二：概率基本性質

1.（2023?江蘇）甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，如果每人譯出密碼得概率均為0.3,則密碼被破譯的概率

為（）

A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6

2.（2023春?新疆）甲、乙兩人進行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為0.3,甲、乙射擊

是否中靶相互獨立，則至少有一人中靶的概率為（）

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

3.（2021春?天津）某產品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產品中隨機抽取1

件進行檢測，設''抽到一等品〃的概率為0.65,〃抽到二等品〃的概率為0.3,貝『‘抽到不合格品〃的概率為（）

A.0.95B.0.7C.0.35D.0.05

4.（多選）（2022春?浙江）從甲袋中摸出一個紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個紅球的概率是從

兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為:

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為:

D.2個球中恰有1個紅球的概率為3

5.（2023春?湖南）自2018年國家實施鄉村振興戰略以來，農村電商行業蓬勃發展，規模不斷擴大.農村電

商暢通了農產品進城渠道，加速推進了農業數字化.圖1為我國2018年至2022年農村電商行業農產品網絡

零售額的變化情況，圖2為A市2022年農產品網絡零售量占比扇形圖.

?零售額/萬億元調味其他

食品

0.65%

11%

0.5休閑

0.4滋補食品

0.3食品30%

14%

0.2茶葉糧油

0.122%

O20182019202020212022扇份

⑴請根據圖1簡要描述我國2018年至2022年農產品網絡零售額的變化趨勢;

⑵從A市2022年網絡零售農產品中隨機抽取一件，估計抽取的產品是糧油或茶葉的概率；

⑶已知某農產品帶貨主播每天零售額超過1萬元的概率為0.6,假定每天的銷售情況互不影響，求該主播任

意兩天中至少有一天零售額超過1萬元的概率.

考點三：事件的相互獨立性

1.（2023?河北）某足球隊進行點球訓練，假設守門員不變，球員甲進球的概率為0.9,球員乙、丙進球的

概率均為0.8.若3人各踢點球1次，且進球與否相互獨立，則至少進2球的概率是（）

A.0.784B.0.864C.0.928D.0.993

2.（2022?北京）某天甲地降雨的概率為0.2,乙地降雨的概率為0.3.假定這一天甲、乙兩地是否降雨相互

之間沒有影響，則兩地都降雨的概率為（）

A.0.24B.0.14C.0.06D.0.01

3.（2022春?天津）甲、乙兩人獨立地破譯密碼，己知甲、乙能破譯的概率分別是:則兩人都成功破譯的

34

概率是（）

.11711

A.—B.-C.—D.—

1221212

4.（2022?湖南）甲地下雨的概率為0.5,乙地下雨的概率為。.4,兩地是否下雨相互獨立，則兩地同時下雨

的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.6D.0.8

3

5.（2022春?浙江）甲、乙兩人進行羽毛球單打比賽，假定甲每局獲勝的概率都是:，且每局比賽結果互不

4

影響，則在三局兩勝制的比賽中，甲獲勝的概率為.

6.（2023?山西）某人參與一種答題游戲，需要解答4民C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為p,

p,k且各題答對與否互不影響，若他全部答對的概率為)

Ny

(1)求。的值；

(2)若至少答對2道題才能獲獎，求他獲獎的概率.

7.(2023春?浙江)浙江某公司有甲乙兩個研發小組，它們開發一種芯片需要兩道工序，第一道工序成功

1312

的概率分別為:和［.第二道工序成功的概率分別為J和:根據生產需要現安排甲小組開發芯片4乙小組

開發芯片2,假設甲、乙兩個小組的開發相互獨立.

⑴求兩種芯片都開發成功的概率；

⑵政府為了提高該公司研發的積極性，決定只要有芯片研發成功就獎勵該公司500萬元，求該公司獲得政

府獎勵的概率.

12

8.(2023,云南)甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，甲、乙成功破譯的概率分別為不；.

23

⑴求甲、乙都成功破譯密碼的概率；

(2)求至少有一人成功破譯密碼的概率.

專題09概率

考點一：古典概型

1.（2023?北京）某銀行客戶端可通過短信驗證碼登錄，驗證碼由0,1,2,....9中的四個數字隨機組成

（如"0013"）.用戶使用短信驗證碼登錄該客戶端時，收到的驗證碼的最后一個數字是奇數的概率為（）

I11

A.-B.一C.—D.—

24816

【答案】A

【分析】根據古典概型概率公式計算.

【詳解】驗證碼的最后一個數字有10種不同結果，其中奇數占5種，

所以收到的驗證碼的最后一個數字是奇數的概率為g.

故選：A

2.（2023?河北）某旅游愛好者想利用假期去國外的2個城市和國內的3個城市旅游，由于時間所限，只能

在這5個城市中選擇兩個為出游地.若他用"抓閹”的方法從中隨機選取2個城市，則選出的2個城市都在國

內的概率是（）

3113

A.—B.-C.-D.—

52310

【答案】D

【分析】列舉出所有的基本事件，得到基本事件的總數，找出滿足條件的事件數，由概率公式求解即可.

【詳解】設國外的2個城市和國內的3個城市分別為：44，耳鳥,星，

則隨機選取2個城市的基本事件為：（A，A）,（A，4），（A，5），（4，旦），（4,4），

（432）,（4,83）,（4，耳）,（483），（氏83）共10種，

選出的2個城市都在國內的情況為：（4也）,（四,片）,（與W）共3種，

3

故所求概率尸=歷.

故選：D.

3.（2023?江蘇）從甲、乙、丙、丁4名同學中任選3名同學參加環保宣傳志愿服務，則甲被選中的概率為（）

1123

A.-B.—C.-D.一

4334

【答案】D

【分析】列舉出所有的基本事件，然后得到甲被選中的情況，利用古典概型求解即可

【詳解】從甲、乙、丙、丁4名同學中任選3名同學共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），

4種情況，

3

甲被選中共有3種情況，故對應的概率為

故選：D

4.（2023春?福建）"敬驊號"列車一排共有A、B、C、。、產五個座位，其中A和尸座是靠窗位，若小曾同

學想要坐靠窗位，則購票時選到A或歹座的概率為（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用古典概率求解作答.

【詳解】小曾購票的不同結果有5個，它們等可能，而小曾選到A或尸座的結果有2個，

2

所以購票時選到A或尸座的概率為y.

故選：B

5.（2023春?湖南）某中學高二年級從甲、乙兩個紅色教育基地和丙、丁兩個勞動實踐基地中選擇一個進

行研學，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.-

6432

【答案】D

【分析】根據古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】任選一個基地研學，共有4種選擇，則紅色教育基地有2種選擇，所以選擇紅色教育基地的概率

是?

故選：D

6.（2023?云南）單項選擇題是標準化考試中常用的題型，是從A、5、C、O四個選項中選擇一個正確答案.

假設考生有一個單項選擇題不會做，他隨機選擇一個答案，答對的概率是（）

111

A.1B.—C.—D.一

324

【答案】D

【分析】由古典概型的概率公式求解.

【詳解】該考生選擇的答案可以為：A,B,C,D,其中正確答案只有一個，故答對的概率是1.

4

故選：D

7.（2022春?天津）從2名女生和3名男生中任選2人參加社區服務，則選中的2人都是女生的概率為（）

3131

A.—B.-C.—D.—

521010

【答案】D

【分析】根據題意直接計算概率即可.

【詳解】從2名女生和3名男生中任選2人參加社區服務，

記女生分別為男生分別為L2,3,

則所有可能情況為ab,al,a2,a3,bl,。2,63,12,13,23,

總共有10種方案，

選中的2人都是女生，有1種方案，

則所求概率為：.

故選：D

8.（2022春?浙江）袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中隨機摸出1個球，

則摸到黃球的概率是（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】根據古典概型直接求得即可.

【詳解】5個大小質地完全相同的球，黃球有3個，則隨機摸出1個球，有5種方法，摸到黃球有3種方法，

3

所以摸到黃球的概率為手

故選：C.

9.（2022秋?福建）隨機投擲一枚質地均勻的骰子，出現向上的點數為奇數的概率是（）

11-12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】C

【分析】分別求出點數向上的結果數和向上的點數為奇數的結果數，由古典概率可得答案.

【詳解】隨機投擲一枚質地均勻的骰子，點數向上的結果有6種，其中向上的點數為奇數的有3種

所以出現向上的點數為奇數的概率是

62

故選：C

10.（2022春?貴州）同時拋擲兩枚硬幣，則兩枚硬幣都是"正面向上"的概率為（）

1123

A.—B."C.-D.一

4234

【答案】A

【分析】根據題意將所有的實驗情況一一列舉出來，再將符合題意的情況一一列舉，根據古典概型，可得

答案.

【詳解】同時拋擲兩枚硬幣的所有實驗情況為：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

兩枚硬幣都是“正面向上"的實驗情況為（正，正），

根據古典概型，概率為P=J,

4

故選：A.

11.（2021春?天津）盒中有3個大小質地完全相同的球，其中1個白球、2個紅球，從中不放回地依次隨

機摸出2個球，則兩次都摸出紅球的概率為（）

1125

A.—B.-C.-D.一

3236

【答案】A

【分析】利用列舉法列出所有可能結果，再根據古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】記1個白球為A,2個紅球分別為b,

現從中不放回地依次隨機摸出2個球，則可能結果有Aa、Ab>aA.ab、bA、6a共6個，

其中兩次都摸出紅球的有必、ba,

21

所以所求概率尸=2=W.

63

故選：A

12.（2021春?福建）從甲、乙、丙三位同學中，任選兩位同學參加數學競賽，則甲同學被選中的概率是（）

2111

A.-B.-C.—D.一

3236

【答案】A

【分析】列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所

求事件的概率.

【詳解】從甲、乙、丙三位同學中，任選兩位同學參加數學競賽，則所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙

丙，共3種，

其中，事件"甲同學被選中"所包含的基本事件有：甲乙、甲丙，共2種，

2

故所求概率為尸=4.

故選：A.

13.（2021秋?福建）根據防疫要求，需從2名男醫生和1名女醫生中任選2名參加社區防控服務，則選中的

2名都是男醫生的概率為（）

11-12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】B

【分析】利用列舉法即可求解.

【詳解】解：將2名男醫生記為生,%,1名女醫生記為b

從2名男醫生和1名女醫生中任選2名參加社區防控服務，所有可能情況有：

（4，%）,（q,b）,（電/）共3種

選中的2名都是男醫生的情況為：（勾,《），共1種

所以選中的2名都是男醫生的概率為：

故選：B.

14.（2021秋?河南）同時擲兩個均勻骰子，向上的點數之和是7的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

34612

【答案】C

【分析】求出同時擲兩個均勻骰子出現的所有基本事件數，及點數和為7的所有基本事件數，然后可計算

概率.

【詳解】同時擲兩個均勻骰子，基本事件有6x6=36種，其中點數和為7的有16,25,34,43,52,61共6種，所

以概率為尸=￡=，.

366

故選：C.

【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的個數.可用列舉法.

15.（2021?湖北）中國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是"每

個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和如4=2+2,6=3+3,8=3+5,…，現從3,5,7,11,13

這5個素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于16的概率是（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】B

【分析】先求出3,5,7,11,13這5個素數中隨機選取兩個不同的數的所有可能結果，然后再求出其和

等于16的結果，根據等可能事件的概率公式可求.

【詳解】解：從3,5,7,11,13這5個素數中，隨機選取兩個不同的數共有點=10鐘可能，

其和等于16的結果（3,13）,（5,11）2種等可能的結果，

21

所以概率尸=示=不

故選：B.

16.（2021秋?廣東）連續拋擲兩枚骰子，向上點數之和為6的概率為（）

.1151

A.—B.—C.—D.一

1211366

【答案】C

【分析】基本事件總數”=6x6=36,利用列舉法求出向上的點數之和為6包含的基本事件有5個，由此能求

出向上的點數之和為6的概率.

【詳解】解：連續拋擲兩枚骰子，

基本事件總數”=6x6=36,

向上的點數之和為6包含的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5個，

..?向上的點數之和為6的概率是尸=三.

36

故選：C.

17.(2023?山西)從1,2,3,4這4個數中，不放回地任意取兩個數，兩個數都是偶數的概率是.

【答案】|

6

【分析】利用古典概型的概率求解.

【詳解】解：從1，2,3,4這4個數中，不放回地任意取兩個數基本事件為：12,13,14,23,24,34,

共6個，

其中兩個數都是偶數的有：24,共1個，

所以兩個數都是偶數的概率是尸=3,

故答案為：—

6

18.(2023春?新疆)將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，則恰好出現一次6點的概率是.

【答案】得

【分析】由古典概型的概率公式計算即可.

【詳解】將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，兩次骰子的點數的樣本點共有6x6=36個，

恰好出現一次6點的樣本點有1x5+5x1=10個，

故所求概率尸=整=[.

3618

故答案為：

1o

19.(2022秋?廣東)從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學參加活動，則甲、乙兩人中恰有一人被選中的

概率為.

2

【答案】I

【分析】列舉出所有的基本事件，并確定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

【詳解】從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學參加活動，則所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3種

情況，

其中"甲、乙兩人中恰有一人被選中"所包含的基本事件為：甲丙、乙丙，共2種情況，

故所求事件的概率為尸=2

2

故答案為：—

20.(2021秋?貴州)從1,2,3,4,5這五個數中任取一個數，則取到的數是偶數的概率為.

【答案】|2

【分析】根據古典概型直接得解.

【詳解】由已知1,2,3,4,5這五個數中，

2

偶數為2,4,所以偶數的概率為：，

2

故答案為：—.

21.(2023春?新疆)從3名男生。，瓦c和2名女生羽，中隨機選出2人參加社區志愿者活動，每人被選到的

可能性相同.

⑴寫出試驗的樣本空間；

(2)設M為事件"選出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M發生的概率.

【答案】⑴答案見解析

(2)1

【分析】(1)根據題意由試驗結果可直接列出試驗的樣本空間；

(2)由事件M所占基本事件個數和古典概型計算公式求解即可.

【詳解】(1)試驗的樣本空間為：

Q={(a,Z?),(a,c),(tM：),(a,y),(b,c),SX),S,y),(cx),(Gy),(x,y)},共10種結果.

(2)選出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有結果為(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)共6

種，

因此事件M發生的概率為P(M)=［=j

22.(2022春?遼寧)為形成節能減排的社會共識，促進資源節約型.環境友好型社會的建設，某市計劃實

行階梯電價.調查發現確定階梯電價的臨界點是市民關注的熱點問題.現從關注此問題的市民中隨機選出

200人,將這200人按年齡分組，第一組［15,25),第二組［25,35),第三組［35,45),第四組［45,55),第五

組［55,65).作出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中。的值；

(2)假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，請估計全市關注此問題的市民年齡的平均數；

⑶現在要從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查，求

從第二組中恰好抽到2人的概率.

【答案】(1)0.035

(2)41.5歲

⑶」

10

【分析】(1)由頻率分布直方圖即可求出。的值

(2)由圖得出同組中的每個數據所在組區間的中點值，即可求出全市關注此問題的市民年齡的平均數.

(3)求出第一組和第二組分層抽樣的人數，再列出從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查的所有可能方法，

得出第二組中恰好抽到2人的方法總數，即可求出從第二組中恰好抽到2人的概率.

【詳解】(])由題意及圖得，組距=10,

10x(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,

解得：a=0.035.

(2)由題意，(1)及圖得，組距=10,a=0.035

平均數為：10x(20x0.01+30x0.015+40x0.035+50x0.030+60x0.01)=41.5,

???全市關注此問題的市民年齡的平均數為41.5歲.

(3)由題意，(1)(2)及圖得，組距=10,a=0.035,

第一組人數：200x0.010x10=20,

第二組人數：200x0.015x10=30,

從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，

20

，第一組抽取：5x—.2,

30

第二組抽取：5、和獷3,

從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查,

設這五人分別為：％,外，4也也，

則共有下列10種抽取方法：

（fl1M2），（可，4），（6也），（01也），（。2，4），（。2也），（。2也），（4也），（4也），02也），

其中從第二組中恰好抽到2人的為3種，倡也）,伍也）,但也），

3

二從第二組中恰好抽到2人的概率為：「=5，

.從第二組中恰好抽到2人的概率為：本3

23.（2021秋?吉林）一個盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支為一等品（記為4，4，&），2支為二等品

（記為片，層），從中隨機抽取2支進行檢測.

⑴寫出這個試驗的樣本空間Q；

⑵求抽取的2支圓珠筆都是一等品的概率.

【答案】⑴（A,4）,（A，A）,（A'4）,（A'B?）,（4,A）,（4,旦）,（怎用）,（AW）,（綜與）.

⑵上

10

【分析】（1）直接寫出樣本空間即可；

（2）計算2支圓珠筆都是一等品的樣本數，得到概率.

【詳解】（1）試驗的樣本空間。為：（A，4），（A，A），（A，4），（4也），（4，A），（4,4），（4，5），

（4,4），（4，名），（呂聞.

（2）抽取的2支圓珠筆都是一等品有（A，4），（A，A），（4,4）3種情況，故概率p=5.

24.（2021秋?青海）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學單位時間內引體向上的次數，乙組記

錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示.

甲乙

880X789

001

（1）如果X=7,求乙組同學單位時間內引體向上次數的平均數；

（2）如果X=8,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學單位時間內引體向上次數和為17的概

率.

【答案】（1）7.75

⑵；

【分析】（1）根據題意，當X=7時，乙組數據分別為7,7,8,9,由平均數的計算公式計算可得答案;

（2）由列舉法列出全部基本事件，即可分析"從甲、乙兩組中隨機選取一名同學"和事件C包含的情況數目，

由古典概型公式計算可得答案.

【詳解】（1）根據題意，當X=7時，乙組數據分別為7,7,8,9,

計算這組數據的平均數為了=%（7+7+8+9）=7.75,

（2）根據題意，記甲組四名同學為A，&,A，4，他們單位時間內引體向上次數依次為8,8,10,10,

乙組四名同學為尾，B2,B3,B4,他們單位時間內引體向上次數依次為8,7,8,9；

記"選出的兩名同學單位時間內引體向上次數和為17"為事件C,

分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有4x4=16個，

B）,

依次為（A，4），（A，層），（A，4），（4，BJ,（4，4），（4，2（4,為），（兒,凡），（A3,4），

（A,

（4,B2）,（4,B3）,（A，約），44），（A4,B2）,（4,BJ,（4,s4）,

而C中的結果有4個，依次為（A，坊），（4，坊），（A，B2）,（A4,BJ,

411

故尸（0=；7=:，即要求事件的概率為：.

1644

考點二：概率基本性質

1.（2023?江蘇）甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，如果每人譯出密碼得概率均為0.3,則密碼被破譯的概率

為（）

A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6

【答案】C

【分析】甲乙都不能譯出密碼得概率為A=0.49,密碼被破譯的概率為1-片，得到答案.

【詳解】甲乙都不能譯出密碼得概率為6=（l-0.3）x（l-0.3）=049,

故密碼被破譯的概率為1-片=0.51.

故選：C

2.（2023春?新疆）甲、乙兩人進行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為0.3,甲、乙射擊

是否中靶相互獨立，則至少有一人中靶的概率為（）

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

【答案】B

【分析】利用相互獨立事件，以及對立事件概率公式，即可求解.

【詳解】至少有一人中靶的對立事件為沒有人中靶，

則兩人沒有人中靶的概率為尸=04x0.7=0.28,

所以至少有一人中靶的概率尸=1-0.28=0.72.

故選：B

3.（2021春?天津）某產品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產品中隨機抽取1

件進行檢測，設"抽到一等品"的概率為0.65,"抽到二等品”的概率為0.3,貝「抽到不合格品”的概率為（）

A.0.95B.0.7C.0.35D.0.05

【答案】D

【詳解】"抽到一等品"與"抽到二等品"是互斥事件，所以"抽到一等品或二等品”的概率為0.65+0.3=0.95,

"抽到不合格品"與"抽到一等品或二等品”是對立事件，故其概率為1-0.95-0.05.

故答案為D.

4.（多選）（2022春?浙江）從甲袋中摸出一個紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個紅球的概率是從

兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為4

0

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為:

D.2個球中恰有1個紅球的概率為g

【答案】ACD

【分析】根據獨立事件乘法公式計算2個球都是紅球的概率，判斷A;利用對立事件的概率計算方法求得2

個球不都是紅球的概率，判斷B;根據對立事件的概率計算判斷C;根據互斥事件的概率計算可判斷D.

【詳解】設"從甲袋中摸出一個紅球"為事件4,從"乙袋中摸出一個紅球”為事件

則P（A）=；，尸（4）=；，

對于A選項，2個球都是紅球為44,其概率為!xg=。，故A選項正確，

對于B選項，"2個球不都是紅球"是"2個球都是紅球”的對立事件，其概率為1-。=金，故B選項錯誤，

66

對于C選項，2個