2024年秋季學期高二年級校聯體第二次聯考

業,、、九

數1r學

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規定的位置上。

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合要求的。

1.已知拋物線C：/=4x的焦點為尸，拋物線上的點河（2,20）到焦點廠的距離為

A.1B.2C.3D.4

2.已知直線4：x-y-l=0,/2:xj+1=0,則4與。的距離為

A.1B.2C.72D.2及

3.若橢圓焦點在無軸上且橢圓經過點（0,2）,c=3,則該橢圓的標準方程為

2222

A%v1D1y1

A.-----1-----=1B.-----1-----=1+=1D

94134cTT-

4.已知兩個向量3=（1,T,2）,b=（2,x,j）,且刃后，則x+＞的值為

A.2B.4C.6D.8

%2+（,_1）2=］的周長，則〃二

5.已知直線％-即+2=0平分圓C：

A.2B.4C.6D.8

22

6.已知拋物線r=16x的準線經過雙曲線?-方=1伍中0）的一個焦點，則該雙曲線的漸近線方

程為

A.y=±-^xB.y=±2xC.y=±^-xD.y=±^3x

7.在直四棱柱中，底面/BCD為等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,

AB=A.A=4,E為棱AA,的中點，則BBX到平面EDBX的夾角余弦值為

V30V70

B.

1010

Vio3V10

D.

1010

高二數學第1頁共4頁

8.已知雙曲線C:鵬-仁=1的左、右焦點分別為耳、B，A,3是雙曲線上關于原點對稱的兩點,

97

并且|/B|=2c,則△/BE的面積等于

A.6B.7C.8D.9

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知直線4：x+@+1=0,12：—l)x+y+。=0,則下列說法正確的是

A.當a=l時，直線4的傾斜角為135。B.當/i，/?時，

C.若4〃4,則a=—1D.直線4始終過定點(-1,0)

10.如圖，正方體/5CD-4瓦G2的棱長為1,w是4G上的中點，以下說法正確的是

AM4c的面積是定值走

A.

2

與萬？同向的單位向量是一^~，^~，^~、

B.

7

C.方與方雙夾角的余弦值為—

6

D.平面ABXD的一個法向量是。,1,—1)

22

11.已知橢圓C：|j+=~=1,耳￡分別為它的左右焦點，點43分別為它的左右頂點，已知定點

N(4,4),點M是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有

A.存在4個點/,使得/邛*=90°

25

B.直線M4與直線斜率乘積為定值-彳

1118

C時+配有最小值二

D.|融網+|即|的取值范圍為[4行,14]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線/過點(1,2),傾斜角為45°，則直線/的縱截距為.

13.已知圓/+/—2x+6y=/—10(廠>0)與直線x—>+1=0相切，貝什=.

22

14.雙曲線C:^2=1的離心率為.

m3m

高二數學第2頁共4頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知△/BC的頂點分別為42,2),5(4,-2),C(-6,2).

(1)求8c邊的中線所在直線的方程；

(2)求8c邊的垂直平分線所在直線的方程.

16.(15分)已知橢圓C:三+*=1(a>6>0),M為橢圓上一點，耳,用分別為它的左右焦點，M

到耳居距離之和為4,離心率e=心.

一2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=x-1與橢圓交于48兩點，求|“回的長以及三角形面積.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，側棱尸4,底面且

PA=2,AB=BC=6,AD=CD=5￡為PC中點.

(1)求點C到平面EAD的距離；

(2)求平面PBC與平面胡。夾角的正弦值.

高二數學第3頁共4頁

18.(17分)已知圓G：/+V+2x—4〉+1=0,圓。2:工2+J??—4x—5=0.

(1)證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長；

(2)已知過點(0,1)的直線/與圓G交于48兩點，且04,03,求直線/的斜率.

19.(17分)設拋物線C:/=2。武0>0)的焦點為尸，已知點尸到圓E:(x+gy+r=1上一點

的距離的最大值為2.

(1)求拋物線。的方程；

22

(2)已知耳鳥是雙曲線二—匕二1左右焦點，過右焦點月的直線/與。交于N兩點.證明：

22

ZF2FXM=ZF2FXN.

高二數學第4頁共4頁

2024年秋季學期高二年級校聯體第二次聯考

數學參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.【答案】C

【詳解】由焦半徑公式得：|附=/+券=2+1=3.故選：C

2.【答案】C

(一。=V2.故選:

【詳解】由題意得，4與4的距離dC.

VFH1

3.【答案】B

【詳解】由題意得橢圓焦點在x軸上且經過點(0,2),所以6=2,c=3,a2=b2+c2=13,

橢圓的標準方程為三+/=1.故選：B.

134

4.【答案】A

1-12

【詳解】allb?~=—=—,=—2,y=4,x+y=2.故選：A.

2xy

5.【答案】A

【詳解】由/+(歹—1)2=1,可得圓心為(0,1),因為直線x-即+2=0平分圓C：

/+(>—1)2=1的周長,

所以直線過圓的圓心，則0—a+2=0,解得。=2.故選：A.

6.【答案】D

_2_匕2

【詳解】已知拋物線/=16X的準線為x=-4,所以雙曲線=10/0)的一個焦點為

4b2

22

(—4,0),所以4+/=4?，解得〃=12,所以雙曲線亍一七=1的漸近線方程為產土氐?故選:

7.【答案】B

【詳解】底面/BCD為等腰梯形，AB〃CD,4D=DC=BC=2,AB=4,

如圖，在底面/BCD中，過點。作垂足為〃，

以。為坐標原點，分別以加，比，的所在直線為x,%z軸，建立空間直

角坐標系。-中z.

則D(0,0,0),B瓜3,0),用瓜3,4),E(g,-1,2),

DB{=(V3,3,4),DE=(73,-1,2),麗=(百,3,0),設平面瓦明的法向量

高二數學答案第1頁共7頁

為"=(x,y,z),

n-DB.=0f6x+3y+4z=0

則一」，所以「，兩式相減可得2y+z=0,

n-DE=0[y/3x—y+2z=0

令y=V3，解得z——2-\/3,x=5,

則平面EDBl的一個法向量為工=(5,-26)，麗=(0,0,4)

4X(-2A/3)273V30

則BB、到平面區0月的夾角正弦值sin。=k°s(函，力，BBt-n

|阿同4J25+3+122A-10

cos。=Vl-sin20=2/1^,故選：B.

10

8.【答案】B

【詳解】由雙曲線的對稱性以及8是雙曲線上關于原點對稱的兩點可知，A,B，O三點共

線，連接/片,/5，圻;|/同=2。=閨"則四邊形";3g為矩形，所以/耳，陽,

阿|=|”|，

22_

由雙曲線C:土一匕=1可得。=3,b=^7,貝！I

97

c=yla2+b2=J9+7=4，

所以|/同=|耳m=2c=8,所以以片「+忸耳『=|/訐=64,

又上周T即向幺團-以劇=2a=6,

所以|必『+忸耳『一2卜司忸耳|=36,解得|/|忸用=14,

所以LB號=；|百網1=7.故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.【答案】ABD

【詳解】對于A,當。=1時，直線-x+y+l=0,故斜率先=-1,則傾斜角為135。，A正確,

對于B,4U等價于a-1+a=0,解得a=g,故B正確，

對于C,若4〃/?，。(。一1)-1=0且awa—l,故a=故C錯誤，

對于D,4：無+即+1=0令了=0且x+l=0,解得x=-l,y=0,故恒過(-1,0),D正確，故選：

ABD.

10.【答案】BC

【詳解】A選項：VM在4G上且4G///C,

到NC的距離等于4G到4C的距離，則為定值1，

高二數學答案第2頁共7頁

??MAC——*1,V2=――?故A選項錯誤；

ATVX/IC22

如圖所示建系，力(1,0,0),川1,1,0),￡>(0,0,0),

與而同向的單位向量為瀉=V6V6V6

B選項：=J,]/

\AM\A

故B選項正確；

C選項：益=(0,1,0),W=(|,1,l),而=(-1,0,0),函=(1,1,1)

__1

cos=—%=乎，故C選項正確；

\AB\\DM\lx^|6

D選項：設元=(1,1,一1)，

則風.元=lxl+lxl+lx(—l)w0,Z0-n=-lxl+0xl+0x(-l)^0,

即西不垂直萬，石不垂直力，-1）不是面/耳。的一個法向量，故D選項錯誤；故選:

BC.

11.【答案】AD

【詳解】對于A中，由橢圓C:江+2=1,可得。=5,6=3,c=4,

259

<l<tanZ^CO=-=-<V3,可得45。〈/片CO<60。，所以90。</片2工<120。，故在第一象

b3

限有點加，使得/片其g=90。，根據對稱性四個象限各有一個，一共4個，所以A正確；

22%

對于B中，設M@y),則全+方=1,且/(一5,0),8(5,0),nj^x2-25--y/,

yyy2y29

則《=-石為定值，所以B錯誤.

對于C中，由橢圓的定義，可得I即|+|%|=10,

則

層+金=[向+尚]（麗+心」）$]2

高二數學答案第3頁共7頁

\MFA\ME\I-I

當且僅當晨?二方詈時，即吹=M片=5時等號成立，所以C錯誤.

1111

|A/Z^|\MF2\

對于D中，由點N在橢圓外，設直線科,穿與橢圓相交于乂,生，

如圖所示，則（pw|+|5=W周+|NlM=|g|=J（4+4）2+42=46,

因為|叫|=4,且|跖V|+|M|=2a+pW|-|M^=10+pW|-|M^,

可得|兒叫-|好閆”|,gp\MN\-\MF2\<4,

所以（pW|+MFJL=10+MM—|也印=10+的|=14,所以|跖V|+|M|平底14],

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】1

【詳解】由題意知，斜率為tan45o=l,貝！1直線方程為尸2=x-l,令即尤=0,y=l,

直線/的縱截距為1.故答案為：1.

【答案】豆

13.

2

【詳解】由已知圓得標準方程為（》-球+3+3）2=/（，＞0）的圓心為（1,-3）,半徑為『，依題意,

|1-（-3）+1|5V25&

=三一.故答案為:

F

14.【答案】2或友

3

【詳解】當機＞0,所以e="里”=2.當加＜0,e?尸=巫，故答案為：2或氈.

y/my/-3m33

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.

【詳解】（1）設BC中點。的坐標為（%,%）,則/=寸=-1,%==干=0,----------------2分

???8C邊的中線/。過點/（2,2）,0（—1,0）兩點,

2-0

AD所在直線方程為y-o=（X+1）------------------------------------------------------------5分

2-（-1）

即2x—3y+2=0；6分

高二數學答案第4頁共7頁

(2)???刀)的斜率左=2-(-2]二42=--------------------------------------8分

-6-4105

.?.8C的垂直平分線的斜率左=*,---------------------------------------------10分

2

.-.BC的垂直平分線所在直線的方程為y-0=|(x+l),即5x—2y+5=0.-------------13分

16.

【詳解】(1)由題意得2。=4,------------------------------------------------1分

二=理解得c=g,a=2,---------------------------------------------------3分

a2

故〃=a2—c2=4—3=1，--------------------------------------------------4分

丫2

故橢圓方程為二+/=1；------------------------------------------------------5分

4

y=x-l

(2)由爐2，得5——8x=o,----------------------------------------------7分

—+y=1

所以三角形AOB面積：S=-\AB\d=l-x—x—=-----------------------15分

2112525

17.

【詳解】(1)設AC與BD交點為O,連接OE,則OE//R4,所以平面/5C。，

所以0c三條直線兩兩互相垂直，---------------------------------------------1分

以。所在的直線分別為x,V,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。制z,

---------------2分

由題意知。/=1,。。=2,

則A(-l,0,0),5(0,-1,0),C(l,0,0),r>(0,2,0),P(-l,0,2),￡(0,0,1)

AD=(1,2,0),AE=(1,0,1)------3分

設平面的法向量為萬=(七,必,zj,

高二數學答案第5頁共7頁

n-AD=玉+2yx=0

可取3=(2,—1,—2).6分

n-AE=Jr1+4=0

AC?亢4_4

%=(2,0,0),則點C到平面EAD的距離：d=----------------------9分

\n\(4+1+43

(2)PD=(1,2,-2),AD=(1,2,0),PS=(1,-1,-2),BC=(1,1,0),

設平面尸BC的法向量為成=（%2，%/2）,

n-PB=x,—%—2Z9=0

則—22可取3=(1,—1,1).------------------------------------------------------------12分

n-BC=x2+y2=0

—，/--\蘇方1<

所以cos(m,n)=?~?=-7=~產=-

'7\m\-\n\73x799

所以平面P8C與平面P/。夾角的余弦值為V,----------------------------------------------14分

9

所以平面尸8c與平面夾角的正弦值為叵.----------------------------15分

9

18.

【詳解】（1）圓。1化成標準方程為卜+1）2+5-2『=4,圓心G（-l,2）,半徑q=2,-------------1分

圓G化成標準方程為（無-2『+必=9,圓心C?（2,0）,半徑々=3,-------------------------------------2分

由-止l<|CC|=V^=W<4+2=5,所以兩圓相交，---------------------------4分

兩圓方程作差得（xl+/+2x—4y+1）—（x?+—4x—5）=6x—4y+6=0.-----------------------------5分

即公共弦所在直線的方程為3x-2y+3=0.圓G的圓心到直線距離為：

（2）由題可知，設/（%,必）,8（//2），①當直線斜率不存在時，直線與交點在y軸上，顯然不滿足

題意。------------------------------------9分

②當直線斜率存在時，設直線/方程為：>=依+1

將了=丘+1代入/+了2+2%-4了+1=0,Mx2+（^+l）2+2x-4（fcc+l）+l=0,

整理得，（l+/c2）x2+（2-2k）x-2=0,A=（2-2左丫+8（1+左2）>0,-----------------------------------11分

由一元二次方程根與系數的關系得士+馬=2-十-2答k，再f=丁-2磊，----------------------12分

1.~vK1?/C

高二數學答案第6頁共7頁

2

/.y1y2=(依i+1)(依2+1)=kxxx2+x2)+l=--------------------------------------14分

由CM-LO8可得再入2+%>2=°，---------------------------