…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數學下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、最大值是周期是6π，初相是的三角函數的表達式是（）

A.

B.

C.

D.

2、函數f（x）=x2+2（a-1）x+2在區間（-∞；6]上遞減，則a的取值范圍是（）

A.[-5；+∞）

B.（-∞；-5]

C.（-∞；7]

D.[5；+∞）

3、已知O是△ABC的外心，且P是線段AB上任一點（不含端點），實數λ，μ滿足則的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4、已知向量等于（）A、-34B、34C、55D、-555、已知集合A={1，3，m2}，B={1，m}，A∪B=A，則m=（）A.3B.0或3C.1或0D.1或3評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)6、【題文】若偶函數滿足且當時，則函數的零點個數為____個．7、某年級先后舉辦了數學、音樂講座，其中聽數學講座43人，聽音樂講座34人，還有15人同時聽了數學和音樂，則聽講座的人數為______人．8、若點P（-3，y）是角α終邊上一點，且則y的值是______．9、若那么=______．10、已知圓錐的底面半徑為1，母線長與底面的直徑相等，則該圓錐的體積為______．11、已知△ABC的周長為26且點A，B的坐標分別是（-6，0），（6，0），則點C的軌跡方程為______．評卷人得分三、證明題(共5題，共10分)12、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．13、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．16、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評卷人得分四、作圖題(共2題，共12分)17、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．18、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴格要求）

參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、A【分析】

由題意可知所求函數的解析式為y=Asin（ωx+φ）的形式；

因為三角函數最大值是故振幅A=

又周期6π=解得ω=

初相是可得φ=

故所求三角函數的表達式為：y=sin（x+）

故選A

【解析】【答案】由題意可知所求函數的解析式為y=Asin（ωx+φ）的形式；由振幅，周期，初項的意義可得A，ω，φ的值，進而可得解析式．

2、B【分析】

由題意可得：函數f（x）=x2+2（a-1）x+2；

所以函數的對稱軸為x=1-a；

所以二次函數的單調減區間為（-∞；1-a]；

又因為函數f（x）=x2+2（a-1）x+2在區間（-∞；6]上遞減；

所以6≤1-a；即a≤-5．

故選B．

【解析】【答案】根據題意求出二次函數的對稱軸；即可得到函數的單調減區間，再結合題意進而得到答案．

3、C【分析】

∵O是△ABC的外心，且

∴以OA；OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形；且對角線OC等于邊長。

因此；在菱形OACB中，△ACO與△BCO都是等邊三角形。

∵∴||=||=||=||=||=2

以O為原點；CO所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖所示。

可得A（-1，），B（-1，-）；C（-2，0）

∴=（1，），可得=（1，）=（）；

同理得=（1，-）=（-）

因點P在直線AB：x=-1上，設P（-1，y），（-），可得=（1；y）

∵=（）+（-）=（（λ-μ））

∴=1；可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）

因此=（）=1+（）≥1+×2=2

當且僅當λ=μ=1時，的最小值是2

故選：C

【解析】【答案】根據向量的加法法則和三角形外心的性質，證出四邊形OACB是由兩個正三角形拼成的菱形，由算出||=2且菱形的各邊長都等于2．以O為原點，CO所在直線為x軸建立直角坐標系，可得A、B、C各點的坐標，設P（-1，y）可得=（1，y），結合題中向量等式證出正數λ，μ滿足=1，由此結合基本不等式求最值，即可算出的最小值．

4、C【分析】【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】解：∵B∪A=A；∴B?A；

∵集合A={1，3，m2}；B={1，m}；

∴m=3，或m2=m

∴m=3或m=0；

故選：B

【分析】根據兩個集合之間的關系，得到B?A，當一個集合是另一個集合的子集時，根據兩個集合的元素之間的關系得到關系式，解方程即可．二、填空題(共6題，共12分)6、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】107、略

【分析】解：根據題意；設聽數學的學生為集合A，聽音樂的學生為集合B；

則card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；

則card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）=43+34-15=62；

即聽講座的人數為62；

故答案為：62．

根據題意，設聽數學的學生為集合A，聽音樂的學生為集合B，由題意可得card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；由集合的交、并集的元素數目關系可得card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）；計算可得答案．

本題考查集合的交集運算，關鍵是轉化思路，把原問題轉化為集合的交集、并集問題．【解析】628、略

【分析】解：∵|OP|=

∴sinα==-．

∴y=-．

故答案為：-．

求出|OP|；利用任意角的三角函數的定義，通過sinα求出y的值．

本題是基礎題，考查任意角的三角函數的定義，待定系數法的應用．【解析】-9、略

【分析】解：若∴∈（），cosθ=-=-

那么=-=-

故答案為：-．

利用同角三角函數的基本關系求得cosθ的值，再利用半角公式求得=-的值．

本題主要考查同角三角函數的基本關系，半角公式的應用，屬于基礎題．【解析】-10、略

【分析】解：底面半徑為r=1；母線長為l=2；

所以圓錐的高為h=

所以圓錐的體積為。

V=πr2h==．

故答案為．

根據勾股定理求出圓錐的高；再利用公式計算圓錐的體積．

本題考查了圓錐的體積計算問題，是基礎題目．【解析】11、略

【分析】解：由題意可得|BC|+|AC|=14＞AB；故頂點A的軌跡是以A；B為焦點的橢圓，除去與x軸的交點．

∴2a=14，c=6，∴b=故頂點C的軌跡方程為=1（x≠±7）．

故答案為=1（x≠±7）．

由題意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故頂點A的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，除去與x軸的交點，利用橢圓的定義和簡單性質求出a、b的值；即得頂點C的軌跡方程．

本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用．解題的易錯點：最后不檢驗滿足方程的點是否都在曲線上．【解析】=1（x≠±7）三、證明題(共5題，共10分)12、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．13、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據三角形的外角性質推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】首先作CD關于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發現∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AF