廣東省茂名市電白區2024-2025學年高一上學期期中考

試

2024-2025學年度第一學期期中考試

局一數學

（考試時間：120分鐘，總分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知集合'={劉"叫，"則-5=（）

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-oo,0]

X2+1

2.函數/（%）=2^―^（%〉0）的最小值為（）

X

A.-1B.0C.1D.2

V—1

3.不等式，—20的解集是（）

2%+3

卜|%〈一^或1；

A.B.{x|x>l)

卜』1}D.卜一

C.

4.已知。w7?,貝1]〃>2是4〉2〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2

5.已知函數/（X）=。X為奇函數，則。―（)

2+1

A.2B.1

C.OD.-1

6.關于x的一元二次不等式5―1〉。的解集為<xo<x<；,,則。=（）

A1B.-1C.1或一1D.0.5

7/(x)-/(x2)

7.函數/(x)=X2—QX+1,對VX],X2￡(2,+8)且占w%2，八二;〉0，則實數Q的取值范圍為

()

A.(T,4)B.[4,+00)C.(-00,4]D.(4,+00)

8.記實數西,》2,…，X”的最小數為min"],%,…再}，若/(x)=min(x+l,x2-2x+l,-x+8),則函數

/(x)的最大值為()

9

A.4B.-C.1D.5

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列各組函數表示同一函數的是()

A.了=區與>=1

X

B.>=療與>=x

D./(x)=A/X2-9，g(x)=&+3-Vx-3

4

10.已知函數/(x)=x+—,下面有關結論正確的有()

X

A.定義域為(-叫0)U(0,+與B.值域為(-叫-4]U[4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上單調遞減D.圖象關于原點對稱

11.若a>0,b>Q,^.ab=a+b,則下列結論正確的是()

A.ab的最大值為4B./+〃的最小值為8

C.a+4b的最小值為9D.。的最小值為1

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/(月=4+萬受的定義域為.

X

13.已知函數/0)=。必+2+1,若/(2)=3,則/(—2)=.

X

14.若命題“VxeR,a(l+x)Wx2+3”為真命題，則實數a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合/={x|a-lWx〈2a+l},B=x2-2x<31.

(1)當a=2時，求/U8和/門(?8)；

(2)若“xeN”是“xe8”的充分不必要條件，求實數”的取值范圍.

16.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表:

每戶每月用水量水價

不超過1On?的部分2元/m3

超過1On?但不超過18m3的部分4元/n?

超過18m3的部分6元/n?

已知該城市對每戶居民每月收取環衛服務費10元、污水處理費1元/n?，如果某戶居民某月用水量為

xm3,需徼用水總費用為N元.

(1)求y關于x的函數解析式；

(2)若該城市某戶居民本月用水量為15m3,求此戶居民本月用水總費用；

(3)若該城市某戶居民本月用水總費用為50元，求此用戶本月用水量.

(3)若該城市某戶居民本月繳納的用水總費用為50元，求此用戶本月用水量.

17.已知函數/(x)=2.(丫.［1,+°°))-

(1)根據函數單調性的定義證明函數/(X)在區間［L+S)上單調遞減；

(2)若/(6)〉/(2a+3),求實數口的取值范圍.

.1

18.已知二次函數/(x)=2%-(4一2左)x+,.

(1)若函數/(%)是偶函數，求實數人的值；

(2)若存在x使/(x)<0成立，求上的取值范圍；

(3)當左=0時，求/(x)在區間［2a,a+1］上的最小值.

19.定義兩種新運算“十”與“?！保瑵M足如下運算法則：對任意的a/eR,有a^b=ab,

?7—b

a?b=----——p設全集"={x|x=(a十6)+(〃(8)6),一2<a?Z?<1且aeZ,b￡Z},

A={x\x=2(a十Z?)d--------,-l<a〈b<2且aeZ,beZ］、B=<x|x2-3x+m=0}.

b()

(1)求集合U；

(2)求集合A；

(3)集合48是否能滿足(?/)口5=0?若能，求出實數機的取值范圍；若不能，請說明理由.

2024-2025學年度第一學期期中考試

局一數學

（考試時間：120分鐘，總分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知集合'={中訓，”{劃41},則，n5=（）

A.[-1,1]B.[—1,0]C.[0,1]D.（—oo,0]

【答案】B

【解析】

【分析】解二次不等式得到集合8,再由集合交集的定義得到結果.

【詳解】解Y<1得—即8={x|—

A^n5={x|-l<x<0}=[-l,0].

故選：B

2.函數/（》）='=（%〉0）的最小值為（）

x

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據基本不等式的性質即可求解.

【詳解】根據題意可知/（x）=二^=x+->2.x--=2（x>0）,

XX\X

當且僅當》=L，即X=1時，等號成立.

X

故選：D

x—1

3.不等式-----20的解集是（）

2x+3

A.B.{x|x>l}

C.D.

【答案】A

【解析】

/(x)/(x)g(x)>0x—1

【分析】利用一4>0o<將分式不等式~~->0轉化成整式不等式求解.

g(x)、g"02x+3

Y—1(x-l)(2x+3)>03

【詳解】----->00'八),解得或一；

2%+32x+3w02

.??不等式上的解集為■或X21].

2x+3[2J

故選：A.

4.已知aeR,則a>2是/〉2q的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解不等式/〉2a，再根據不等式的解集即可得到答案.

【詳解】因為"一2?！?na(a-2)〉0na〉2或。<0.

所以a>2是/〉2a的充分不必要條件.

故選：A

【點睛】本題主要考查充分不必要條件，同時考查了二次不等式，屬于簡單題.

5.已知函數/(x)=a——紅為奇函數，則。=()

2+1

A.2B.1

C.0D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定條件，利用奇函數的定義列式計算即得.

2

【詳解】函數/(x)=a——的定義域為R,由函數/(x)為奇函數，得/(-x)+/(x)=0,

2+1

即a-----------Fci---------=2a-(--------1-------)=2a-2=0,

2一工+12X+11+2，2、+1

所以a=1.

故選：B

6.關于x的一元二次不等式①―1>。的解集為<x()<x<g>,則。=()

A.1B.-1C.1或一1D.0.5

【答案】B

【解析】

【分析】根據一元二次不等式的解集與一元二次方程根的對應關系可得結果.

【詳解】由題意得，0,；為方程(a—1)/+》+片—i=o的根，

tz2—1=0

?1.\11,,解得a=-1.

-(a-l)+-+a2-l=0

14'2

故選：B.

.y(x)-/(x)八

7.函數/(x)=V—"+1,對7玉,%€(2,+8)且X1w%,八上尸7^〉。，則實數。的取值范圍為

()

A.(F,4)B.[4,+CO)C.(-oo,4]D.(4,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】利用條件分析函數單調性，結合二次函數對稱軸可得結果.

/(X)-/(X,)八

【詳解】因為對VX1,%e(2,+8)且X產x2,->o,

所以/(x)在(2,+oo)上為增函數.

由/(x)=x2-ax+l得二次函數開口向上，對稱軸為直線x=|,

**?—?2,故QW4.

2

故選：C.

8.記實數西,》2,…，X"的最小數為min{X],/，…再J，若/(x)=min(x+l,x2-2》+1,-》+8),則函數

/(X)的最大值為()

9

A.4B.-C.1D.5

2

【答案】B

【解析】

【分析】由題意在同一個坐標系中，分別作出三個函數的圖像，再按要求得到/(X)的圖象，結合圖像易得

函數/(X)的最大值.

如圖所示，在同一個坐標系中，分別作出函數月=》+1,/=/一2》+1,8=—x+8的圖象,

而/(x)=min{x+l,x2-2x+l,-x+8}的圖象即是圖中勾勒出的實線部分，

要求的函數/(x)的最大值即圖中最高點A的縱坐標.

-7

(,1X=一

y=x+17/、9

由=_x+8聯立解得，9,故所求函數/(x)的最大值為：.

>―%j=-

1,2

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列各組函數表示同一函數的是()

A,>=區與>=1

X

B.y=療與J=x

D./(x)=A/X2-9>g(x)=Jx+3-Vx-3

【答案】BC

【解析】

【分析】同一個函數的定義是既有相同的定義域又有相同的表達式.

【詳解】A選項：定義域分別為：》/0和口，定義域不同，所以不是同一個函數；

3

B選項：定義域分別為：R和R,定義域相同，表達式分別是：歹二工和^二j±±=x,表達式相同，

x2+l

所以是同一個函數；

C選項：定義域分別為：R和R,定義域相同，表達式分別是：>=X和>=%,表達式相同，所以是同

一個函數；

D選項：定義域分別為：X23或XV-3和X23,定義域不同，所以不是同一個函數；

故選：BC.

4

10.已知函數/(x)=x+—,下面有關結論正確的有()

x

A,定義域為(-叫0)U(0,+s)B.值域為(-叫-4]U[4,+s)

C.在(-2,0)U(0,2)上單調遞減D.圖象關于原點對稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據題意，結合定義域的求法，基本不等式，以及函數單調性的定義和奇偶性的判定的方法，逐

項判定，即可求解.

4

【詳解】對于A中，函數/(x)=x+—有意義，則滿足XW0,

X

所以函數/(x)定義域為(-co,0)U(0,+co),所以A正確；

4I4

對于B中，當x>0時，可得X+—N2,義一二4,

當且僅當》=&時，即x=2時，等號成立，所以/(x)24；

X

41I

當x<0時，可得%+—=-[(-x)+-]<-2A(-x)x——=—4,

XXV-X

當且僅當—X=—3時，即x=—2時，等號成立，所以/(x)〈一4,

X

所以函數/(x)的值域為(―co,-4]U[4,+co),所以B正確；

4

對于C中，函數/(x)=x+—在(-2,0),(0,2)上單調遞減，所以C不正確；

x

對于D中，函數/(x)定義域為(-叫0)11(0,+8),關于原點對稱，

且滿足/(-x)=-x--=-(x+-)=—/(x)，所以函數/(x)為奇函數，

XX

函數的圖象關于原點對稱，所以D正確.

故選：ABD.

11.若a>0,b>0,^.ab=a+b,則下列結論正確的是（）

A.ab的最大值為4B./+〃的最小值為8

C.a+4b的最小值為9D.。的最小值為1

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式可得ab22J茄，利用換元法解不等式得4,可得選項A錯誤；利用

/+〃22仍可得選項8正確；由a+b=ab得5+工=1,結合基本不等式可得選項C正確；原式可變

ba

形為6=」一，根據a〉0,6>0可得選項D錯誤.

a-1

【詳解】由=。+仇。+63得，ab>2sl~ab.

令，=?K（%〉0）,則/一2/20，

>2,ab>4,當且僅當a=6=2時ab取得最小值4,選項A錯誤.

/+/22^22x4=8，當且僅當Q=6=2時，/+〃取得最小值8,選項B正確.

由Q+b=〃b得'+'=1,

ba

.?.Q+46=（Q+初［工+』］=@+竺+522^^+5=9，

\ba）ba\ba

n4b3

當且僅當g=」，即b=—,a=3時a+43取得最小值9,選項C正確.

ba2

由。+6=。6得6=&,

a—1

?：a>0,b>0,：.a>\,選項D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/（》）=4+萬受的定義域為.

X

【答案】{x|x<2且XH0}

【解析】

【分析】由定義域的定義可知：①分母不為0；②偶次根式被開方數為非負數，列出不等式解得范圍即可.

【詳解】八，；.卜,42且xwO}.

2-x>0'

故答案為：卜,《2且》片0}.

ab

13.已知函數/(X)=Q/+—+1,若/(2)=3,則/(—2)=.

X

【答案】—1

【解析】

【分析】構造奇函數，由奇函數的性質求/(-2)的值.

【詳解】令g(x)=/(x)-l=ax3+—,

X

定義域為：(-8,O)U(O,+8),定義域關于原點對稱，

則g(一工)=Q(一X)H----——ax—二—g(x),

—XX

則g(x)為奇函數，

.-.g(-2)=-g(2)=-(/(2)-l)=-2

故答案為：-1.

14.若命題“VxeR,a(l+x)<x2+3”為真命題，則實數a的取值范圍是.

【答案】[—6,2]

【解析】

【分析】利用判別式法即可得到答案.

【詳解】由題意得VxeR,f一。。+力+320,

即VxeR,/一辦一。+320,

則△=/—4(3-a)40,解得—6<a<2.

故答案為：[-6,2].

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合2=何a-lWx〈2a+l},B=x2-2x<31.

(1)當a=2時，求/U8和/門(?8)；

（2）若“xeN”是“xeB”的充分不必要條件，求實數”的取值范圍.

【答案】（1）AV]B={x\-1<x<5},Nc（Q8）={x|3<x<5}；

（2）{a|a<-2或0<aW1}.

【解析】

【分析】（1）根據不等式求解集合A、B,由集合的交、并、補運算即可求解；

（2）由題意得A是8真子集，討論A為空集，A為非空集兩種情況，再根據集合的包含關系求解.

【小問1詳解】

a=2時，A={x\l<x<5},

-2x—3=（x—3）（x+l）40,所以可得一1WXW3,

則8=卜|一1<%<3},所以NU8={x|—l〈x<5},

。5={》|》<一1或》〉3},所以Zc（Q8）={x|3<x<5}；

【小問2詳解】

若“xeN”是“xeB”的充分不必要條件，則A是5的真子集，

若。一1〉2。+1,即a<—2,則N=0滿足題意，

a—12—1

若a2—2,則此時〈°,、且兩等號不能同時取得，解得OWaWl,

2a+l<3

所以OWaWl,

綜上。的取值范圍是{。|。<一2或OWaWl}.

16.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表:

每戶每月用水量水價

不超過1On?的部分2元/m3

超過1On?但不超過18m3的部分4元/n?

超過18m3的部分6%/m3

已知該城市對每戶居民每月收取環衛服務費10元、污水處理費1元/n?，如果某戶居民某月用水量為

xm3,需徼用水總費用為歹元.

（1）求N關于x的函數解析式;

(2)若該城市某戶居民本月用水量為15m3,求此戶居民本月用水總費用;

(3)若該城市某戶居民本月用水總費用為50元，求此用戶本月用水量.

3x+10,0<x<10

【答案】(1)J=J5X-10,10<X<18；

7x-46,x>18

(2)65元；

(3)12m3.

【解析】

【分析】(1)分段寫出歹關于x的解析式，再寫成分段函數即可；

(2)將x=15代入y=5x-10,求解即可；

(3)由題意可知當10<x<18時，40<j^<80,令5x—10=50,求解即可.

【小問1詳解】

解：當0<x410時，j=2x+x+10=3x+10；

當10<工<18時_};=20+4(x-10)+x+10=5x-10；

當x〉18時，y=2xl0+8x4+6(x-18)+x+10=7x-46.

3x+10,0<x<10

所以y=<5x-10,10<x<18；

7x-46,x>18

【小問2詳解】

解：把x=15,代入y=5x-10,得y=65.

所以此戶居民本月用水費用為65元.

【小問3詳解】

解：當10<x<18時，40<了480,

所以令5x—10=50,得x=12,

所以此戶居民本月用水量為12m3.

(3)若該城市某戶居民本月繳納的用水總費用為50元，求此用戶本月用水量.

17.已知函數/(x)=2.(xe[l,+co)).

X+1

(1)根據函數單調性的定義證明函數/(X)在區間[L+S)上單調遞減；

(2)若/(/)〉/(24+3),求實數口的取值范圍.

【答案】(1)證明見詳解

(2)[1,3)

【解析】

/\I\(》2一X)(國心-1)

【分析】(1)任取王〉々21,作差/&)一/(》2)=(7+1：了+1),分析每一個因式的正負，進而

得到/(xj—/(%)<0,可判斷單調性；

a2>1

(2)根據第一問得到的函數單調性以及函數定義域可列式<2a+321,解不等式即可得到答案.

a“<2cl+3

【小問1詳解】

任取x1>x2>l,

x+X；-xx^-X_(x-Xj)(%1%-1)

則/(xj-/(々)=等2_XJXJ2222

因為再>/21,則(x：+1)>0,x2-X,<0,%[X2-1>0,

則/(西)一/(》2)<0，故/GO在［1,+°°)上單調遞減.

【小問2詳解】

由(1)得，/(X)在［1,+8)上單調遞減,

a2>la<-1或a>1

所以，《2a+3>l,解得<a>-1

a2<2a+3—1<Q<3

所以lWa<3,即所求范圍是［1,3).

,1

18.已知二次函數/(x)=2/一(4-2左)x+,.

(1)若函數/(x)是偶函數，求實數左的值；

(2)若存在x使/(x)<0成立，求人的取值范圍;

(3)當)=0時,求/(x)在區間［2a,。+1］上的最小值.

【答案】(1)2(2)(3,+00)o(-oo,l)

(3)答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據偶函數的定義列出等式求解即可；

(2)依題意可知對應方程2/—(4-2左)x+,=0有兩個不等的根，所以A〉0；

(3)/(x)是對稱軸為x=l開口向上的拋物線，該題屬于定軸動區間類型，只需討論對稱軸在

里面還是外面即可知道/(x)的單調性，進而知道/(x)的最小值.

【小問1詳解】

若函數/⑴是偶函數，則/(—x)=/(x),故有2/+(4-2左)》+：=2/一(4一2左)x+g,

得2(4—2左)x=0對任意x都成立，

所以4—2左=0,得左=2

【小問2詳解】

91

若存在X使/(x)<0成立，則八=(4—2k)—4乂2義5〉0,

解得左>3或左<1,所以人的取值范圍是(3,+co)U(—8,1)；

【小問3詳解】

193

當左=0時，/(X)=2X2-4X+-=2(X-1)

為對稱軸是x=1開口向上的拋物線，

因為a+l>2a,所以。<1,

當。+1<1即aWO時，/(x)在［2a,a+1］單調遞減，

/(X)血n=/(a+l)=2(a+lT)-5=2°2一5；

當2a21即g<a<1時，/(x)在［2a,a+1］單調遞增，

31