2024-2025學年北京市海淀區高二上學期10月月考數學檢測試題（一）一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．圓關于直線對稱的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．7．如圖，在四面體A-BCD中，點O為底面△BCD的重心，P為AO的中點，設，，，則（

）

A． B．C． D．8．已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．9．《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.其中正確的是（

）

①四棱錐為“陽馬”②四面體為“鱉臑”③四棱錐體積的最大值為④過點作于點，過點作于點，則面A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④10．已知圓直線，點在直線上運動，直線分別與圓相切于點．則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦AB長為C．最短時，弦AB直線方程為D．直線AB過定點二、填空題（本大題共8小題）11．已知空間向量、，若，則．12．動直線與一點.當點到直線的距離最大時，直線的方程為（填一般式）.13．已知圓的半徑為3，則的值為.14．已知空間三點，，.若空間中點滿足平面，則符合條件的一個點的坐標是.15．過點與圓相切的直線方程為．16．如圖，正三棱柱中，AB＝2，，，D為BC的中點．當時，，此時，直線AD與直線所成的角的余弦值為．

17．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數k的取值范圍是18．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為線段，交點，為線段上的動點，則以下結論正確的是.①當時，平面；②當時，平面；③線段的最小值為；④直線，所成角取值范圍為.三、解答題（本大題共4小題）19．已知圓過點和，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)經過點的直線與垂直，且與圓相交于兩點，求.20．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點.(1)證明.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)求點到平面的距離.21．如圖，在四棱錐中，，，為等腰直角三角形，，平面交平面于直線，，分別為棱，的中點.(1)求證：；(2)設，則：①求平面與平面夾角的正切值；②在棱上是否存在點，使得平面?若存在，求的值，若不存在，說明理由.22．對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且，這種“變換”記作.繼續對數列進行“變換”，得到數列，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．（1）試問和經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由；（2）求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；（3）證明：一定能經過有限次“變換”后結束．

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，則由，知，即故選B．2．【正確答案】D【詳解】設，則，所以，解得：，，．所以點的坐標為．故選：D3．【正確答案】D【詳解】因為與垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.4．【正確答案】A【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A5．【正確答案】C分、兩種情況討論，結合已知條件可得出關于實數的不等式（組），由此可解得實數的取值范圍.【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】由圓，得，則圓心坐標為，半徑為1，設關于直線的對稱點為，則，解得，圓關于直線對稱的圓的標準方程為．故選：B．7．【正確答案】B【詳解】取的中點為，連接，由重心的性質可知，，且三點共線.因為所以．故選：B．

8．【正確答案】B【詳解】由得，所以直線l過定點，依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，由點到直線的距離公式可得．故選:B.9．【正確答案】C【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，在塹堵中，，側棱平面，A選項，，又，且，則平面，四棱錐為“陽馬”，故正確；B選項，由，即，又且，平面，，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，四面體為“鱉膈”，故B正確；C選項，在底面有，即，當且僅當時取等號，，最大值為，故C錯誤；D選項，因為，，，平面，所以平面，故D正確；故選：C.10．【正確答案】B【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即，最短時，面積最小，故當時，最短，即，，故A錯誤；由上述可知，時，最短，故最小，且最小值為，所以，故B正確；當最短時，則，又，所以，，，可設的直線方程為，圓心到直線的距離，解得或，由于直線在圓心的右側，且在直線的左側，所以，所以，即直線的方程為，故C錯誤；設圓上一點，，，，，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直線過定點為，故D錯誤．故選：B．11．【正確答案】1【詳解】因為、且，所以，則，即，解得，所以.故12．【正確答案】【詳解】因為，即，故直線恒過定點為直線與直線的交點，聯立方程解得直線恒過定點；當點與定點構成的直線與垂直時，點到直線的距離最大，此時必有，即，解得.則，解得，故直線的方程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】圓的一般方程寫成標準方程為，由圓的半徑為可知，，得.故14．【正確答案】（答案不唯一）.【詳解】，，設平面的法向量為，則，.令，則，..設點的坐標為，則.由題知，，即.點的坐標滿足，其中.令，則.故（答案不唯一）.15．【正確答案】或【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因為，可知點在圓外，當直線過點且斜率不存在時，，顯然與圓相切；當直線過點，且斜率存在時，設方程為，即，則，解得，故方程為；綜上所述：直線方程為或.故或.16．【正確答案】；.【詳解】

因為為正三棱柱，且為中點，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為AB＝2，，則，則，所以，即，設平面的法向量為，則，取，則，所以平面的一個法向量為，又，時，，解得，此時，設直線AD與直線所成的角為，則，即直線AD與直線所成的角的余弦值為.故；17．【正確答案】或．【詳解】圓，則圓心為，半徑，設兩切點為，則，因為，在中，，所以,因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故或．

18．【正確答案】①③④【詳解】因為分別是的中點，平面,不在平面內，所以平面，①正確；取為中點，如圖以為軸建系，當時，,假設平面，則,但是矛盾，所以假設不成立，②錯誤；因為為線段上的動點，所以，所以所以,當時，,③正確；因為所以所以設直線，所成角為，,令，當，因為，所以，即得，所以.故①③④19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設圓心，又圓過點和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標準方程為.（2）由題意經過點且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.20．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為，為的中點，所以，因為棱柱直三棱柱，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，則平面，又平面，所以，在矩形中，，為的中點，所以，

所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以；（2）取的中點，連接，由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.由，，則，，，，.設平面的法向量為n=x,y,z，又，，則即令，則.設直線與平面所成的角為，又，則，故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知平面的一個法向量為，，，所以點到平面的距離為.21．【正確答案】(1)證明見解析(2)①4；②存在，【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面直線，所以（2）①取的中點，連接，，由題意可得：，且，則為平行四邊形，可得，且，，，平面平面，

則平面，由，平面，則，又因為，為的中點，可得，，，兩兩垂直

如圖，以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，，，，可得，，

設平面的法向量n=x,y,z，則，

令，則，，即，

由題意可知：平面的法向量，可得，

所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值，故正切值為4，②由①可得：，

設，，則，可得，解得，即，可得，

若平面AEF，則，可得，解得，所以存在點，使得平面，此時.22．【正確答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【詳解】分析：（1）根據定義，可得不能結束，數列能結束，并可寫出數列；（2）經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件，先證明，則經過一次“變換”，就得到數列，從而結束，再證明命題“若數列為常數列，則為常數列”，即可得解；（3）先證明引理：“將數的最大項一定不大于數列的最大項，其中”，再分類討論：第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰，（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，，第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時，證明第二類數列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數列.詳解：（1）數列不能結束，各數列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現，不會出現所有項均為的情形．數列能結束，各數列依次為；；；．（2）解：經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．若，則經過一次“變換”就得到數列，從而結束．當數列經過有限次“變換”后能夠結束時，先證命題“若數列為常數列，則為常數列”．當時，數列．由數列為常數列得，解得，從而數列也為常數列．其它情形同理，得證．在數列經過有限次“變換”后結束時，得到數列(常數列)，由以上命題，它變換之前的數列也為常數列，可知數列也為常數列．所以，數列經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．（3）證明：先證明引理：“數列的最大項一定不大于數列的最大項，其中”．證明：記數列中最大項為，則．令，，其中．因為，所以，故，證畢．現將數列分為兩類．第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．下面證明第二類數列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數列．不妨令數列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）①當數列中只有一項為時，若()，則，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；若，則；此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；若，則；；，此數列各項均不為，為第一類數列．②當數列中有兩項為時，若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；若()，則，，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列．③當數列中有三項為時，只能是，則，，，此數列各項均不為，為第一類數列．總之，第二類數列至多經過次“變換”，就會得到第一類數列，即至多連續經歷次“變換”，數列的最大項又開始減少．又因為各數列的最大項是非負整數，故經過有限次“變換”后，數列的最大項一定會為，此時數列的各項均為，從而結束．點睛：本題考查數列的綜合運用、新定義問題及分類討論思想，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.2024-2025學年北京市海淀區高二上學期10月月考數學檢測試題（二）一、單選題（本大題共10小題）1．已知，，且，則（

）A． B． C．6 D．12．直線的傾斜角是（

）A．45° B．135° C．120° D．90°3．已知空間向量，，則（

）A． B． C．1 D．24．在空間直角坐標系中，點P(1，2，-3)關于坐標平面xOy的對稱點為（

）A．(-1，-2，3) B．(-1，-2，-3) C．(-1，2，-3) D．(1，2，3)5．若，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，6．如圖，在正方體中，為CD的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，空間四邊形OABC中，，點M是OA的中點，點N在BC上，且，設，則x，y，z的值為（

）A． B． C． D．9．已知在棱長均為的正三棱柱中，點為的中點，若在棱上存在一點，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，點E是側面內的一個動點，若點E滿足，則點E的軌跡為（

）A．圓 B．半圓 C．直線 D．線段二、填空題（本大題共5小題）11．已知向量，則．12．已知點的中點坐標為．13．如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為14．正四棱錐所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的正切值為．15．棱長為1的正方體中，若點為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是.①平面平面②四面體的體積是定值③可能是鈍角三角形④直線與AB所成的角可能為三、解答題（本大題共4小題）16．在長方體中，，點在AB上，且．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．17．如圖，已知直三棱柱中，若為AB的中點.

(1)求異面直線與所成角的余弦值(2)求二面角的余弦值．18．如圖，在四棱錐中，平面為正三角形，分別為棱PD，PB的中點.(1)如圖，O為棱AD的中點，以為坐標原點建立空間直角坐標系，是否合理？請說明理由；(2)求證：平面PCD；(3)求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值．19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且，點為棱DP的中點.(1)在棱BC上是否存在一點，使得∥平面PAN？如果存在，確定點N的位置，如果不存在，請并說明理由；(2)若二面角的余弦值為時，求棱DP的長度，并求點A到平面BCM的距離．

答案1．【正確答案】A【詳解】由可得，解得，故選：A2．【正確答案】B【詳解】由得，故斜率為則傾斜角為135°，故選：B3．【正確答案】D【詳解】∵，，則，∴.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】在空間直角坐標系中，兩點關于坐標平面xOy對稱，則這兩點的橫坐標、縱坐標都不變，它們的豎坐標互為相反數，所以點P(1，2，-3)關于坐標平面xOy的對稱點為(1，2，3).故選：D5．【正確答案】B【詳解】由題意，向量，，因為，可得，即，解得.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】設正方體的棱長為2，如圖所示建立空間直角坐標系，則，可得，且平面的法向量，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C．7．【正確答案】C【詳解】建立空間直角坐標系，如圖，則，，，所以，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離.故選：C.8．【正確答案】C【詳解】依題意，所以.故選：C.9．【正確答案】B【詳解】如圖，設點為的中點，取的中點，連接，，

則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個平面，∴平面，此時，故選：B10．【正確答案】B【詳解】如圖，設與交點為，取中點，連接，是中點，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，則，所以，設正方體棱條為a，則，顯然，所以，在正方形內點到點的距離為，其軌跡是以為圓心的半圓，故選：B．11．【正確答案】【詳解】因為，則，所以.故答案為.12．【正確答案】【詳解】由題意可得：的中點坐標為，即.故答案為.13．【正確答案】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.14．【正確答案】【詳解】對于正四棱錐，

設，可知為的中點，取的中點，連接，，可得平面，平面，則，且，∥，因為，可得，可知二面角的平面角為，因為正四棱錐的所有棱長均為2，則，，可得，所以側面與底面所成二面角的正切值為.故答案為.15．【正確答案】①②③【詳解】在正方體中，為線段上的動點（不含端點），對于①：因為平面，即平面，且平面，所以平面平面，故①正確；對于②：連接，

因為且，即為平行四邊形，則，即，平面，平面，可得平面，可知四面體的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，所以四面體的體積是定值，故②正確；對于③：因為正方體的棱長為1，所以，若是上靠近的一個四等分點，則，所以，此時，因為，此時為鈍角，是鈍角三角形，故③正確；對于④：過點作，交于，正方體中平面，則平面，平面，，直線與所成的角為，設，則，有，，中，，而，故④錯誤.故①②③.16．