霍城縣江蘇中學集體備課教案（試行稿）年級高一學科數學主備人王圣明第2稿教學內容：必修3第一章1.3算法案例教學目標（按考試大綱要求）知識與技能1.理解輾轉相除法與更相減損術中蘊含的數學原理，并能根據這些原理進行算法分析.2.了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數提高計算效率的實質.3.了解各種進位制與十進制之間轉換的規律，會利用各種進位制與十進制之間的聯系進行各種進位制之間的轉換.過程與方法在輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的學習過程中對比我們常見的約分求公因式的方法模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構思的巧妙.學習各種進位制轉換成十進制的計算方法，研究十進制轉換為各種進位制的除k取余法，并理解其中的數學規律.情感、態度與價值觀1.通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻.2.在學習古代數學家解決數學問題的方法的過程中培養嚴謹的邏輯思維能力，在利用算法解決數學問題的過程中培養理性的精神和動手實踐的能力.復備人：重點、突破難點：重點：1..理解輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的方法.2.秦九韶算法的特點3.各進位制表示數的方法及各進位制之間的轉換。難點:1.把輾轉相除法與更相減損術的方法轉換成程序框圖與程序語言2.秦九韶算法的先進性理解.3除k取余法的理解以及各進位制之間轉換的程序框圖的設計.修改補充：如何突出重點、突破難點1.在理解最大公約數的基礎上去發現輾轉相除法與更相減損術中的數學規律，并能模仿已經學過的程序框圖與算法語句設計出輾轉相除法與更相減損術的程序框圖與算法程序.2.探究秦九韶算法對比一般計算方法中計算次數的改變，體會科學的計算.3.在學習各種進位制特點的同時探討進位制表示數與十進制表示數的區別與聯系，熟悉各種進位制表示數的方法，從而理解十進制轉換為各種進位制的除k取余法.教學設計：教學過程一、創設情景，揭示課題1.教師首先提出問題：在初中，我們已經學過求最大公約數的知識，你能求出18與30的公約數嗎？2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數的方法來求最大公約數，如果公約數比較大而且根據我們的觀察又不能得到一些公約數，我們又應該怎樣求它們的最大公約數？比如求8251與6105的最大公約數？這就是我們這一堂課所要探討的內容.二、研探新知1.輾轉相除法例1求兩個正數8251和6105的最大公約數.（分析：8251與6105兩數都比較大，而且沒有明顯的公約數，如能把它們都變小一點，根據已有的知識即可求出最大公約數）解：8251＝6105×1＋2146顯然8251的最大公約數也必是2146的約數，同樣6105與2146的公約數也必是8251的約數，所以8251與6105的最大公約數也是6105與2146的最大公約數.6105＝2146×2＋1813，2146＝1813×1＋333，1813＝333×5＋148，333＝148×2＋37，148＝37×4＋0，則37為8251與6105的最大公約數.以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法.也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：第一步：用較大的數m除以較小的數n得到一個商q0和一個余數r0；第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大公約數；若r0≠0，則用除數n除以余數r0得到一個商q1和一個余數r1；第三步：若r1＝0，則r1為m，n的最大公約數；若r1≠0，則用除數r0除以余數r1得到一個商q2和一個余數r2；……依次計算直至rn＝0，此時所得到的rn－1即為所求的最大公約數.練習：利用輾轉相除法求兩數4081與20723的最大公約數.（答案：53）2.更相減損術我國早期也有解決求最大公約數問題的算法，就是更相減損術.更相減損術求最大公約數的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之.翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數.若是，用2約簡；若不是，執行第二步.第二步：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數.繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數.例2用更相減損術求98與63的最大公約數.解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減，即：98－63＝35，63－35＝28，35－28＝7，28－7＝21，21－7＝14，14－7＝7，所以，98與63的最大公約數是7.練習：用更相減損術求兩個正數84與72的最大公約數.（答案：12）3.比較輾轉相除法與更相減損術的區別（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯.（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到.三、創設情景，揭示課題我們已經學過了多項式的計算，下面我們計算一下多項式當時的值，并統計所做的計算的種類及計算次數.根據我們的計算統計可以得出我們共需要10次乘法運算，5次加法運算.我們把多項式變形為：再統計一下計算當時的值時需要的計算次數，可以得出僅需4次乘法和5次加法運算即可得出結果.顯然少了6次乘法運算.這種算法就叫秦九韶算法.四、研探新知秦九韶計算多項式的方法這就是我國南宋時期數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出的算法.這種算法就叫秦九韶算法.思考：對于f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，由內向外逐層計算一次多項式的值，其算法步驟如何？第一步，計算v1＝anx＋an－1.第二步，計算v2＝v1x＋an－2.第三步，計算v3＝v2x＋an－3.……第n步，計算vn＝vn－1x＋a0.思考：在秦九韶算法中，記v0＝an，那么第k步的算式是什么？vk＝vk－1x＋an－k（k＝1，2，…，n）.例1已知一個5次多項式為,用秦九韶算法求這個多項式當時的值.解：根據秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f（x）＝（（（（4x＋2）x＋3.5）x－2.6）x＋1.7）x－0.8按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當x＝5時的值：v0＝4；v1＝45＋2＝22；v2＝225＋3.5＝113.5；v3＝113.55－2.6＝564.9；v4＝564.95＋1.7＝2826.2；v5＝2826.25－0.8＝14130.2.所以，當x＝5時，多項式的值等于14130.2.思考：（1）例1計算時需要多少次乘法計算？多少次加法計算？（2）在利用秦九韶算法計算n次多項式當時需要多少次乘法計算和多少次加法計算？練習：利用秦九韶算法計算當時的值，并統計需要多少次乘法計算和多少次加法計算？五、創設情景，揭示課題我們常見的數字都是十進制的，但是并不是生活中的每一種數字都是十進制的.比如時間和角度的單位用六十進位制，電子計算機用的是二進制.那么什么是進位制？不同的進位制之間又有什么聯系呢？六、研探新知進位制是一種記數方式，用有限的\o"數字"數字在不同的位置表示不同的數值.可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制.現在最常用的是\o"十進制"十進制，通常使用10個\o"阿拉伯數字"阿拉伯數字0－9進行記數.對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示.比如：\o"十進制"十進數57，可以用\o"二進制"二進制表示為111001，也可以用\o"八進制"八進制表示為71、用\o"十六進制"十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的.表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示，如111001（2）表示二進制數，34（5）表示5進制數.電子計算機一般都使用二進制，下面我們來進行二進制與十進制之間的轉化.例1把二進制數110011（2）化為十進制數.解：110011＝125＋124＋023＋022＋121＋120＝32＋16＋2＋1＝51.例2把89化為二進制數.解：根據二進制數滿二進一的原則，可以用2連續去除89或所得商，然后取余數.具體的計算方法如下：因為89＝244＋1，44＝222＋0，22＝211＋0，11＝25＋1，5＝22＋1，所以，89＝2（2（2（2（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1＝126＋025＋124＋123＋022＋021＋120＝1011001（2）.這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中的各步所得的余數從下到上排列即可得到89＝1011001（2）上述方法也可以推廣為把十進制化為k進制數的算法，這種算法成為除k取余法.當數字較小時，也可直接利用各進位制表示數的特點，都是以冪的形式來表示各位數字，比如2*103表示千位數字是2，所以可以直接求出各位數字.即把89轉換為二進制數時，直接觀察得出89與64最接近故89＝64*1＋25同理：25＝161＋9，9＝81＋1，即89＝641＋161＋81＋1＝126＋124＋123＋120,位數6543210數字1011001即89＝1011001（2）練習：p45